2024-2025学年吉林省长春市四县区联考高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省长春市四县区联考高一（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.样本数据5，7，4，6，12，10，11，9的第70百分位数次为(

)A.7 B.9 C.9.5 D.102.已知复数z=2+i，则i2025z−A.15−2i5 B.−153.下列叙述中，错误的是(

)A.数据的标准差比较小时，数据比较分散

B.样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响

C.极差为一组数据中最大值与最小值的差

D.任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变4.已知向量a，b，其中|a=2，|b|=2，且(a−A.π4 B.π6 C.π25.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(

)A.8 B.7 C.5 D.36.从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为(

)A.15 B.13 C.257.下列命题中，正确命题的个数是(

)

①如果a，b是两条平行直线，那么a平行于b所在的任何一个平面；

②如果直线a和平面α满足a//α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；

③如果直线a，b和平面α满足a//α，b//α，那么a//b；

④如果直线a，b和平面α满足a//b，a//α，b⊄α，那么b//α；

⑤如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB//α．A.0 B.1 C.2 D.38.文峰塔建于清道光三十年(1850年)，具有镇洪水和象征人文鼎盛的寓意，现为重庆市文物保护单位，该塔为七级楼阁式砖石结构，底层以条石筑成，塔身呈六边形，逐层向上收窄，顶部为六角攒尖葫芦宝顶.其建筑特色和地理位置(南山之巅)使其成为俯瞰山城的重要观景点.某校“文峰数智社”为了测量其高度，设文峰塔高为AB，在与点B同一水平面且共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为30°，45°，60°，且CD=DE=22m，则文峰塔的高AB约为(

)

(参考数据：A.24m B.27m C.30m D.33m二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(−2,0)，b=(1,1)，则下列结论正确的是(

)A.|a|=|b| B.(a+b)//b

C.a与b10.在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试.为了解学生的成绩情况，抽取了样本容量为n的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在[50,100]，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出如图所示的频率分布直方图、若在样本中，成绩落在区间[50,60)的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为(

)A.n=200 B.估计考生成绩的众数为72

C.估计考生成绩的中位数为71 D.估计该市考生成绩的平均分为70.611.下列命题中，正确的是(

)A.在△ABC中，A>B，则sinA>sinB

B.在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立

C.在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形

D.在△ABC中，若B=60°，b2=ac，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z=−i(1+i)，则|z|=______．13.在矩形ABCD中，AB=1，AD=3，点M在对角线AC上，点N在边CD上，且AM=14AC，DN14.菱形ABCD的边长为3，∠B=60°，沿对角线AC折成一个四面体，使得平面ACD⊥平面ABC，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为BC，A1B1的中点．

(1)求证：AB⊥DE．

16.(本小题15分)

某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品.下面是检验员从一批产品中随机抽样的6件产品的评分：10.19.810.09.710.09.8经计算得16i=16xi2=98.03，其中xi为抽取的第i件产品的评分.i=1，2，3，…，6．

(1)求这组样本平均数和方差；17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AD//BC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2．

(1)求证：CE//平面PAB；

(2)求证：DC⊥平面PAC；

(3)求直线EC与平面PAC所成角的正弦值．18.(本小题17分)

Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q(p>q)，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙同时答对的概率为12，恰有一人答对的概率为512．

(1)求p和q的值；

(2)试求两人共答对319.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=acosB+35b．

(1)求cosA的值；

(2)当BC与BC边上的中线长均为2时，求△ABC的周长；

(3)当△ABC内切圆半径为1时，求△ABC答案解析1.【答案】D

【解析】解：因为8×70%=5.6，

所以数据4，5，6，7，9，10，11，12的第70百分位数为10．

故选：D．

根据百分位数的求解计算即可求解．

本题考查了百分位数的求解，属于基础题．2.【答案】D

【解析】解：因为z=2+i，所以z−=2−i，所以i2025z−=i2−i=3.【答案】A

【解析】解：对于A，数据的标准差比较小时，数据比较集中，故A错误；

对于B，因样本数据的中位数是将数据从小到大排列后得到的，

改变少数几个极端值，只要不改变这组数据的顺序，中位数不变，故B正确；

对于C，由极差的定义可知，数据的极差即是一组数据的最大值与最小值的差，故C正确；

对于D，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，故D正确．

故选：A．

利用样本数字特征的基本概念逐项判断，可得出合适的选项．

本题主要考查了标准差、中位数，极差和平均数的定义，属于基础题．4.【答案】A

【解析】解：设向量a，b的夹角为θ，

∵|a|=2，|b|=2，

且(a−b)⊥a，

∴(a−b)⋅a=a2−a⋅b=0，

即(2)2−5.【答案】D

【解析】解：设圆台较小底面半径为r，

则另一底面半径为3r．

由S=π(r+3r)⋅7=84π，解得r=3．

故选：D．

设圆台较小底面半径为r，由圆台的侧面积公式可计算出结果．6.【答案】B

【解析】解：从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，

基本事件有15个，分别为：

(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，

(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，

其中数字之和为3的倍数的有5个，分别为：

(1,2)，(1,5)，(2,4)，(3,6)，(4,5)，

∴抽到的2张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为P=515=13．

故选：B．

利用古典概型、列举法能求出抽到的27.【答案】C

【解析】解：①如果a，b是两条平行直线，那么a平行于b所在的任何一个平面(除去直线a和直线b所在的同一个平面)，故错误；

②如果直线a和平面α满足a/​/α，那么a与平面α内的任何一条直线平行或异面；显然错误．

③如果直线a，b和平面α满足a/​/α，b/​/α，那么a/​/b也可能异面或相交，故错误；

④如果直线a，b和平面α满足a/​/b，a/​/α，b⊄α，那么b/​/α；根据线面平行的判定和性质，故正确．

⑤如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB//α.故正确．

故选：C．

直接利用线面平行的判定和性质的应用判定①②③④的结论．

本题考查的知识要点：线面平行的判定和性质，主要考查学生对基础知识的理解和应用，属于基础题．8.【答案】B

【解析】解：根据题意可知，设AB=x，在与点B同一水平面且共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为30°，45°，60°，

则BC=xtan30∘=3x,BD=xtan45∘=x,BE=xtan60∘=33x，

又CD=DE=22m，

所以在△BEC中，cos∠BEC=BE2+EC2−BC22BE⋅EC=13x2+9.【答案】CD

【解析】解：对于A：|a|=(−2)2+02=2，|b|=12+12=2，A错误；

对于B：a+b=(−1,1)，b=(1,1)，−1×1+1×1=0，−1≠1，则(a+b)⊥b，(a+b)/​/b不成立，B错误；

对于C：cos<a，b>=a⋅b|10.【答案】ACD

【解析】解：由频率分布直方图可知(0.004+0.01+x+0.03+0.04)×10=1，解得x=0.016，

所以n=320.16=200，故A正确；

由频率分布直方图可知众数落在区间[70,80)上，则考生成绩的众数为75，故B错误；

由于0.16+0.30=0.46<0.5，0.46+0.40=0.86>0.5，所以中位数位于区间[70,80)内，

同时可知考生成绩的中位数为：70+10×0.50−0.460.86−0.46=71，故C正确；

由频率分布直方图可知样本中，

考生成绩的平均分为：x−=55×0.16+65×0.3+0.4×75+0.1×85+95×0.04=70.6，

可估计整体学生的平均分为70.6，故D正确．

故选：ACD．

根据频率分布直方图的特征先计算x，再计算样本数即判断A选项，由频率分布直方图计算众数、中位数、平均数并估计总体即可判定11.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查了正弦定理余弦定理解三角形、三角函数的单调性、诱导公式、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

A.在△ABC中，由正弦定理可得sinA>sinB⇔a>b⇔A>B，即可判断出正误；

B.在锐角△ABC中，由π2>A>π2−B>0，可得sinA>sin(π2−B)=cosB，即可判断出正误；

C.在△ABC中，由acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sin2A=sin2B，得到2A=2B或2A=π−2B即可判断出正误；

D.在【解答】

解：对于A，由A>B，可得：a>b，利用正弦定理可得：sinA>sinB，故A正确；

对于B，在锐角△ABC中，A，B∈(0,π2)，∵A+B>π2，∴π2>A>π2−B>0，∴sinA>sin(π2−B)=cosB，因此不等式sinA>cosB恒成立，故B正确

对于C，在△ABC中，由acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，

∴sin2A=sin2B，

∵A，B∈(0,π)，

∴2A=2B或2A=π−2B，

∴A=B或A+B=π2，

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，故C错误．

对于D，由于12.【答案】2【解析】解：z=−i(1+i)=1−i，则|z|=2．

故答案为：2．

13.【答案】73【解析】解：以{AB,AD}为基底向量，

则AC=AB+AD，

MN=MC+CN=34AC−23AB=34(AB+AD)−2314.【答案】15π

【解析】解：如图所示，O1，O2分别为△ABC和△DAC的外接圆圆心，

因为菱形ABCD，∠B=60°，所以△ABC和△DAC为等边三角形，

设E为AC的中点，连接DE，BE，则DE⊥AC，BE⊥AC，

又因为平面ACD⊥平面ABC=AC，所以DE⊥平面ABC.，

分别过O1，O2作垂直平面ABC和平面ACD的直线，

则交点O为四面体ABCD外接球的球心，

因为EB=DE=32−(32)2=332，四边形OO1EO2为矩形，

15.【答案】证明见解析；

2．

【解析】(1)证明：取AB中点H，连接EH，HD，

在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为BC，A1B1的中点，

故EH//BB1，DH/​/AC．

又∵BB1⊥AB，∴AB⊥EH，AB⊥HD，

∵EH∩HD=H，EH，HD⊂平面EHD，

故AB⊥平面EHD．

∵DE⊂平面EHD，∴AB⊥DE．

(2)解：∵AA1=3，AB=AC=2，BB1⊥平面ABC，

∴EH⊥平面ABC，∴三棱锥A−BCE的体积为：

VA−BCE=VE−ABC=13S16.【答案】平均数9.9，方差0.02；

15．【解析】(1)由题意可知，x−=10.1+9.8+10.0+9.7+10.0+9.86=9.9，

所以样本方差为s2=16i=16(xi−x−)2=16i=16xi2−x−2=98.03−9.92=0.02；

(2)设事件A为两次都抽到一等品，

用a1，a2，a3表示抽取的6件产品中的三个一等品，用b1，b2，b3表示抽取的6件产品中的三个二等品，

则该试验的样本空间可表示为Ω={(a1,a2)，(a1,a3)17.【答案】证明见解析；

证明见解析；

105【解析】(1)证明：如图：取PA的中点M，连接BM，ME，

则ME/​/AD，且ME=12AD，又AD//BC且BC=12AD，

所以ME/​/BC且ME=BC，

所以四边形BCEM为平行四边形，

所以BM/​/CE，又BM⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，

所以CE/​/平面PAB．

(2)证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，

由题设易知ABCD为直角梯形，且∠B=∠BAD=90°，BC=12AD

则AC2=AB2+BC2=2，所以AC=2，

因为BA=BC=1，∠BAC=45°，所以∠DAC=45°，

在△ACD中，由余弦定理可得CD2=AC2+AD2−2AC⋅AD⋅cos∠DAC=2，

所以AC2+CD2=AD2，即DC⊥AC，

因为AC∩PA=A，AC，PC⊂平面