2024-2025学年吉林省长春市汽开三中高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省长春市汽开三中高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−3x≥0}，B={x|−2<x≤2}，则(A.(−2,0] B.(0,2] C.(0,3] D.(0,2)2.已知函数f(x)=(x+a−2)(x2+a−1)为奇函数，则a的值是A.3 B.1或3 C.2 D.1或23.设a=e−1，b=ln12，A.c<a<b B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b4.已知x∈R，则“x>2”是“lnx>0”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知函数f(x)=(12)xA.116 B.14 C.4 6.为研究某种植物的生长高度y(单位：cm)与光照时间x(单位：小时)之间的关系，研究人员随机测量了12株该种植物的光照时间和生长高度，得到的回归方程为y=2.5x+30，则样本(6.5,45.2)的残差的绝对值为(

)A.1.05 B.1.15 C.1.25 D.1.357.学校放三天假，甲、乙两名同学打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天，则甲乙选择同一天的概率是(

)A.12 B.16 C.138.已知函数f(x)=e|x+1−m|满足f(1−x)=f(x−1)，则(

)A.f(x)≥f(m) B.f(x−1)≥f(m)

C.函数f(x)−x有1个零点 D.函数f(x)−m有1个零点二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列结论正确的是(

)A.一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5)，经过分析、计算，得x−=−1，y−=8，y关于x的经验回归方程为y=−3x+a，则a​=5

B.若随机变量ξ，η满足η=3ξ−2，则D(η)=9D(ξ)

C.若随机变量X～N(2,σ2)，P(X<4)=0.84，则10.甲，乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的球，其中甲盒子中有3个红球，4个白球，乙盒子中有2个红球，3个白球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，再从乙盒子中随机取出一球.事件A1=“从甲盒子中取出的球是红球”，事件A2=“从甲盒子中取出的球是白球”，事件B=“从乙盒子中取出的球是红球”.A.P(B|A2)=13 B.P(A11.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c满足f(0)=0A.a+b=c

B.对于任意a>0，f(x)有三个零点

C.对于任意a<0，f(x)有两个极值点

D.存在a>0，使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)对称中心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=2213.已知幂函数f(x)=(2m−3)xm2−1，则f(−2)=14.已知实数a，b满足a>1且b>1，则6loga3b+lo四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在[1,8]上的最大值为3．

(1)求a的值；

(2)当x∈[1,8]时，2−f(x)16.(本小题15分)

甲、乙两人共同参加某公司的面试，面试分为初试和复试，若初试不通过，则不用参加复试，复试通过则被录用，否则不被录用.已知甲通过初试和复试的概率分别为23,13，乙通过初试和复试的概率均为12，两人是否通过面试相互独立．

(1)求甲、乙两人至少有1人通过初试且没有通过复试的概率；

(2)设两人中被录用的人数为X17.(本小题15分)

已知函数f(x)=ex+x2，g(x)=xlnx+(a+1)x．

(1)求曲线y=g(x)在(1,g(1)处的切线方程；

(2)若f(x)≥g(x)18.(本小题17分)

2025年春晚舞台上，机器人扭秧歌表演成为一大亮点.参与表演的机器人Unitree A1由中国某科技企业制造，其具备出色的负载能力和环境适应能力，可应用于巡检与监控、物流运输、安防与救援等场景.现统计出机器人Unitree A1在某地区2024年2月至6月的销售量，数据如表：月份x23456销售量y4555m70110用最小二乘法得到UnitreeA1的销售量y关于月份x的回归直线方程为y=bx+5.6，且相关系数r=0.98，销售量y的方差sy2=540．

(1)求b​的值(结果精确到0.1)；

(2)(i)求m的值；

(ii)现从这5个月份中随机有放回地抽取3次，每次抽取1个月份，设抽取到销售量大于60的月份次数为X，求X的分布列和方差．19.(本小题17分)

为引导乡村老年人参与全民健身活动，积极倡导和践行健康生活方式，某乡村开展“趣味套圈圈玩出‘年轻态’”志愿者服务活动，旨在丰富老年人的精神文化生活，营造尊老、爱老、敬老的浓厚和谐邻里氛围.活动开始，志愿者为大家讲解游戏规则：参加活动的每位老年人均可领2个圈圈且均需用完，一个圈圈只能套一次奖品(奖品为一瓶洗发水)，每次套中奖品与否相互独立，套中的奖品可被老年人带走.已知王大爷每次套中奖品的概率为p(0<p<1)，张大爷每次套中奖品的概率为23p．

(1)若p=13，王大爷套完两次后，记王大爷套中的奖品的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；

(2)王大爷、张大爷都套完两次后，求两人总共套中的奖品个数为参考答案1.B

2.C

3.B

4.A

5.C

6.A

7.C

8.D

9.ABD

10.AD

11.AB

12.(0,+∞)

13.−8

14.6

15.解：(1)当0<a<1时，f(x)=logax在[1,8]上单调递减，

此时f(x)max=f(1)=0≠3，不满足题意；

当a>1时，f(x)=logax在[1,8]上单调递增，

此时f(x)max=f(8)=loga8=3，

解得a=2；

(2)令m=log2x，

因为x∈[1,8]，所以m∈[0,3]，

所以2−f(x)−f(x)+t≥0⇔2−m−m+t≥0⇔t≥m−2−m在16.(1)设事件A表示“甲、乙两人至少有1人通过初试且没有通过复试”，

甲通过初试且没有通过复试的概率为P1=23×(1−13)=49，

乙通过初试且没有通过复试的概率为P2=12×(1−12)=14，

所以P(A)=1−(1−P1)(1−P2)=1−(1−49)×(1−14)=X012P7131所以E(X)=1×1317.(1)由于g(1)=a+1，导函数g′(x)=lnx+a+2，g′(1)=a+2，

因此函数g(x)在(1,g(1))处的切线为y−(a+1)=(a+2)(x−1)，即(a+2)x−y−1=0．

(2)根据f(x)≥g(x)可知，ex+x2≥xlnx+(a+1)x，x∈(0,+∞)，

所以exx−lnx+x−(a+1)≥0在x∈(0,+∞)上恒成立，

设函数F(x)=exx−lnx+x−(a+1)，那么导函数F′(x)=(x−1)(ex+x)x2，

当x∈(1,+∞)时，F′(x)>0，F(x)在(1,+∞)单调递增，

当x∈(0,1)时，F′(x)<0，F(x)在(0,1)上单调递减，

因此x=1时，函数F(x)取得最小值为F(1)=e−a，

根据题意知e−a≥0，即a≤e，因此a的取值范围为(−∞,e]．

18.(1)根据题意可知，x−=15(2+3+4+5+6)=4,i=15(xi−x−)2=4+1+0+1+4=10，

由sy2=15i=15(yi−y−)2=540，得i=15(yi−X0123P8365427∴E(X)=0×8125+1×36125+2×54