2024-2025学年广东省东莞市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省东莞市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=52−i(i是复数单位)，则复数z为A.2+i B.−2+i C.−2−i D.2−i2.若{e1,e2}A.{e1, e1+e2}3.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为(

)A.互斥 B.相互对立 C.相互独立 D.相等4.在复平面内，O为坐标原点，复数1−i，−1+2i对应的向量分别是OM，ON，则MN对应的复数为(

)A.−2+3i B.i C.2−3i D.−i5.一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，侧面积为310π，则该圆台的体积为A.7π3 B.7π C.2π3 6.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题一定正确的是(

)A.若m⊥α，m//n，且α⊥β，则n//βB.若m⊥α，m⊥n，且α⊥β，则n⊥β

C.若m⊥α，n//β，且α//β，则m⊥nD.若m//α，n//β，且α//β，则m//n7.甲、乙两人组成“莞队”参加答题活动，每轮活动甲、乙各答一道题目，已知甲每轮答对题目的概率为23，乙每轮答对题目的概率为12.在每轮活动中，甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.则“莞队”在两轮活动中答对3道题目的概率为A.13 B.23 C.198.如图，欲测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，在C，D两观测点处测得塔顶A的仰角分别为30°，45°，并测得∠BDC=120°，CD=30m，则塔高AB为(

)A.153m

B.15m

C.30二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知随机事件A与B，若P(A)=34,P(B)=2A.P(A−)>P(B−) B.若A与B相互独立，则P(AB−)=112

10.下列有关向量与复数的结论正确的有(

)A.若非零向量a, b, c满足a⋅b=a⋅c，则b=c

B.若非零复数z1，z2，z3满足z1z211.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BCA.若点D在线段BB1上，则DA+DC1的最小值为25

B.该三棱柱可完全放入体积为6π的球中

C.表面积为π的球可以完全放入该三棱柱中

D.若动点P满足BP=三、填空题：本题共3小题，共15分。12.从某中学抽取6名同学，他们的数学成绩如下：87，85，83，90，92，93(单位：分)，则这6名同学数学成绩的第75百分位数为______(单位：分)．13.在长方形ABCD中，AB=2，AD=3，E为AB的中点，F为BC边上靠近C的三等分点，AF与DE交于点M，则cos∠EMF=______．14.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，在A1B四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3bsinC−ccosB=0．

(1)求B；

(2)若b=716.(本小题15分)

某班级举办“以赛促学，挑战自我”数学竞赛活动，活动后将参赛的40名学生成绩分成5组：①50≤x<60，②60≤x<70，③70≤x<80，④80≤x<90，⑤90≤x≤100.通过统计分析，得到如图所示的频率分布直方图，已知①组、②组的频率之和为0.4，①组和⑤组的频率相同．

(1)估计此次考试成绩的众数、平均数；

(2)已知②组学生成绩的平均数和方差分别为64和50，④组学生成绩的平均数和方差分别为84和70，据此计算②组和④组所有学生成绩的方差．

参考公式：S2=nn+m17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别是BD，AP的中点．

(1)证明：EF//平面PBC；

(2)若PA=PC=22，求直线PC与平面PBD18.(本小题17分)

现有一个质地均匀的正n面体骰子，n个面分别标有数字1到n．

(1)当n=4时，设计一种“点数游戏”：任意抛掷两次这个骰子，以骰子与桌面接触的面上的数字的乘积为游戏结果.甲、乙两人玩这种“点数游戏”，规定每次游戏结果大于5时甲获胜，游戏结果小于5时乙获胜．

①试判断这种游戏是否公平？并说明理由；

②若约定先获胜3次“点数游戏”者赢得比赛，并获得100元奖金.当甲获胜2次，乙获胜1次时，“点数游戏”因意外而中止，现决定将100元奖金分给甲、乙两人，请应用概率知识设计合理的奖金分配方案；

(2)当n=8时，任意抛掷一次这个骰子，以它与桌面接触的面上的数字为试验结果.请构造适当的事件M，N，Q，使P(MNQ)=P(M)P(N)P(Q)成立，但不满足M，N，Q两两独立．19.(本小题17分)

如图一，在矩形ABCD中，AB=5,AD=25.将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A′−BCD．

(1)当三棱锥A′−BCD的体积最大时，求点B到平面A′CD的距离；

(2)当二面角A′−BD−C的大小为120°时，求cos∠A′BC；

(3)如图二，在三棱锥O−EFG中，已知∠OEF=α，∠FEG=β，∠OEG=γ，其中α、β、γ∈(0,π2).若二面角O−EF−G的大小为θ，试利用α参考答案1.A

2.D

3.C

4.A

5.B

6.C

7.A

8.D

9.BCD

10.BC

11.ACD

12.92

13.−14.74

1115.(1)由3bsinC−ccosB=0，结合正弦定理得3sinBsinC−sinCcosB=0，

因为C∈(0,π)，sinC≠0，所以3sinB−cosB=0，即cosB=3sinB，

所以tanB=sinBcosB=33，结合B∈(0,π)，可知B=π6；

(2)由余弦定理b2=16.(1)根据题意可知，10a+10b=0.410(0.04+0.015+a)=0.6，解得a=0.005b=0.035，

∴考试成绩的众数的估计值为75，

根据平均数定义可知，平均数的估计值为55×0.05+65×0.35+75×0.4+85×0.15+95×0.05=73；

(2)记②组、④组的平均数与方差分别为x1−, x2−, s12, s22，

根据题意可知，x1−=64, x2−=84, s12=50, s22=7017.(1)证明：如图，连接AC，因为四边形ABCD是正方形，所以点E是AC的中点，

又因为F是AP的中点，故得EF//PC，

又因为EF⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，

所以EF//平面PBC．

(2)如图，连接EP，由(1)得E是AC中点，

因为PA=PC，所以EP⊥AC，

又因为底面ABCD是正方形，且AC，BD为对角线，所以BD⊥AC，

又因为BD∩EP=E，BD，EP⊂平面PBD，

所以AC⊥平面PBD，

所以直线PC与平面PBD所成角为∠CPE，

因为在Rt△CPE中，CE=2, PC=22，

则sin∠CPE=CEPC=222=18.(1)①当n=4时，任意抛掷两次这个骰子的样本空间Ω1={(1,1)，(1,2)，(1,3)，1，4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，因此n(Ω1)=16，

记“游戏结果大于5”为事件A，样本点包括(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，因此n(A)=8，

P(A)=n(A)n(Ω1)=816=12，

同理“游戏结果小于5”的概率也是12，

因此甲、乙获胜的概率相等，这种游戏是公平的，

②按甲、乙继续比赛赢得比赛的概率比值进行奖金分配，

由于甲、乙要分出比赛输赢至多需要再进行2次“点数游戏”，假设再进行2次“点数游戏”，

样本空间Ω2={(甲

胜，甲胜)，(甲

胜，乙胜)，(乙胜，甲

胜)，(乙胜，乙胜)}，因此n(Ω2)=4，

记“甲赢得比赛”为事件B，样本点包括(甲胜，甲胜)，(甲胜，乙胜)，(乙胜，甲胜)，因此n(B)=3，

P(B)=n(B)n(Ω2)=34，

因此“乙赢得比赛”的概率为P(B−)=1−P(B)=1−34=14，

甲：100×34=75元，乙：100×19.(1)因为S△BCD=12×BC×CD=5，

所以当三棱锥A′−BCD的体积最大时，即点A′到平面BCD的距离最大，

所以当三棱锥A′−BCD的体积最大时，平面A′BD⊥平面BCD，

如图，过A′作A′H⊥BD于H，连接CH，

因为平面A′BD⊥平面BCD，且平面A′BD∩平面BCD=BD，A′H⊂平面A′BD，

所以A′H⊥平面BCD，

因为在矩形ABCD中，AB=5, AD=25，

所以在Rt△BA′D中，A′B=5, A′D=25, cos∠CBD=255，

所以BD=5，A′H=2，

所以BH=1，

所以HC2=BC2+BH2−2BC⋅BHcos∠CBD，

所以HC2=(25)2+12−2×25×1×255

所以HC2=13，故HC=13，

所以A′C=A′H2+HC2=22+(13)2=17，

所以cos∠A′DC=A′D2+DC