一次函数的性质专项复习（沪科版八年级上册数学）（含详解）

一次函数的性质专项复习知识点1：一次函数的图象与性质一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0)性质k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系.（1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限；（2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限；（3）k>0，b＝0图像经过一、三象限；（4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限；（5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限；（6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。【题型1确定一次函数经过的象限】【例1】（23-24九年级·上海宝山·期中）如果ab<0，ac<0，则直线y=−aA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式1-1】（23-24九年级·浙江杭州·期中）一次函数y=(m+1)x−2m+3的图象一定经过第象限．【变式1-2】（23-24九年级·河北唐山·期中）一次函数y=k+1x+3的图像经过点P，且k>−1，则点P的坐标不可能为（A．5,4 B．−1,2 C．−2,−2 D．5,−1【变式1-3】（23-24九年级·四川达州·期中）如果ab>0，ac<0则直线y=−ab【题型2确定一次函数的增减性】【例2】（23-24九年级·河北石家庄·期中）如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A（-2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数(

)A．当x<2时，y随x的增大而增大 B．当x<2时，y随x的增大而减小C．当x>2时，随的增大而增大 D．当x≥2时，y随x的增大而减小【变式2-1】（23-24九年级·吉林长春·期末）下列一次函数中，y随x的增大而减小的是（）A．y=2x B．y=2x+1 C．y=x−4 D．y=−x+3【变式2-2】（23-24九年级·安徽蚌埠·期末）在一次函数y=−23x+13的图像上任取不同两点P1xA．y2−y1x2−x1【变式2-3】（2024·浙江杭州·一模）若Ax1,y1，Bx2,【题型3由一次函数经过的象限求字母的取值范围】【例3】（23-24九年级·宁夏银川·期中）如果直线y=2−kx+k不经过第二象限，那么k的取值范围是（A．k≤0 B．k<2 C．0≤k<2 D．k<0【变式3-1】（23-24九年级·河南驻马店·期中）已知点A(−1,2)、B(3,2)，若一次函数y=−x+b的图象与线段AB有交点，则b的取值范围为．【变式3-2】（2024九年级·全国·专题练习）平面直角坐标系中，过点−2,3的直线l经过一、二、三象限，若点0,a，−1,b，c,−1都在直线l上，则下列判断正确的是（

）A．a<b B．a<3 C．b<3 D．c<−2【变式3-3】（23-24九年级·江苏南通·期中）已知过点1,3的直线y=ax+ba≠0不经过第四象限，设S=a+2b，则S的取值范围为（

A．3<S<6 B．3≤S<6 C．3<S≤6 D．3≤S≤6【题型4由一次函数的增减性求字母的取值范围】【例4】（23-24九年级·湖南长沙·期中）对某一个函数给出如下定义:若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足−M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．若函数y=−x+1(a≤x≤b，b>a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，则b的取值范围是．

【变式4-1】（2024·山东临沂·模拟预测）若一次函数y=k−2x−1的函数值y随x的增大而增大，则A．1 B．52 C．32 【变式4-2】（2024·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，当a≤x≤a+3（其中a为常数）时．函数y=x−1的最小值为2a+4，则满足条件的a的值为（

）A．－5 B．－2 C．−32【变式4-3】（23-24九年级·福建福州·期末）我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为y=kx+bk≠0．在我的图象上有两点Ax1,y1，Bx2,y2A．m>0 B．m≥0 C．m=0 D．m<0【题型5比较一次函数值的大小】【例5】（23-24九年级·山东聊城·期末）一次函数y=−x+b的图象上三个点的坐标分别为−13,y1,−1,A．y1<yC．y3<y【变式5-1】（23-24九年级·广西崇左·阶段练习）已知点A(1,a)和点B(−2,b)是一次函数y=−12x+c图象上的两点，则a【变式5-2】（23-24九年级·江西抚州·期中）已知一次函数y=−2x+1的图象经过P1m,a，P2m+1,b两点，则a【变式5-3】（23-24九年级·福建厦门·期末）点M(a,2)、N(b,3)是一次函数y=2x−3图像上两点，则ab（填“>”、“=”或”<”）．【题型6一次函数中的对称性问题】【例6】（23-24九年级·陕西西安·开学考试）若直线y=kx+2与直线y=−3x+b关于直线x=−1对称，则k、b值分别为（

）A．k=−3、b=−2 B．k=3、b=−2 C．k=3、b=−4 D．k=3、b=4【变式6-1】（23-24九年级·福建宁德·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A2,m在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y=−x+1上，则m的值为（

A．-1 B．1 C．2 D．3【变式6-2】（23-24九年级·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，A(−3,0),B(1,4)，直线BC交x轴于4,0，过点A作AD∥BC交y轴于点(1)求直线BC和直线AD的关系式；(2)点M在直线AD上，且△ABM与△ABO的面积相等，求点M的坐标．【变式6-3】（2024·江西南昌·一模）定义：若两个函数的图象关于直线y＝x对称，则称这两个函数互为反函数．请写出函数y＝2x+1的反函数的解析式．知识点2：两直线的位置关系同一平面直角坐标系中两直线，的位置关系：的关系与的关系与相交，与相交于y轴上的一点，与平行【题型7由两直线的位置关系求解析式】【例7】（23-24九年级·福建南平·期末）探究活动一：如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，发现在直线AB上的三点A1,3，B2,5，C4,9，有kAB=5−32−1=2，kAC=9−34−1=2，kAB=kAC（1）请你应用以上规律直接写出过S−2,−2，T4,2两点的直线ST的斜率探究活动二：数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．（2）如图2，直线DE与直线DF垂直于点D，且D2,2，E1,4，F4,3．请求出直线DE综合应用：（3）如图3，M1,2，N4,5，请结合探究活动二的结论，求出过点N且与直线【变式7-1】（23-24九年级·辽宁鞍山·阶段练习）函数y=kx+bk≠0的图象平行于直线y=3x+2，且交y轴于点0,−1，则其函数表达式是【变式7-2】（2024·河北石家庄·一模）某个一次函数的图象与直线y=12x+3平行，与x轴，y轴的交点分别为A，B，并且过点−2,−4，则在线段AB上（包括点A，BA．3个 B．4个 C．5个 D．6个【变式7-3】（23-24九年级·辽宁葫芦岛·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线y=kx+b上的任意三点Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3（x1≠x2≠x(1)已知直线y=kx+b经过A2,3，B4,−2两点，请直接写出(2)如图，直线y1⊥y2于点A，直线y1，y2分别交y轴于B，C两点，A，【题型8两直线的相交问题】【例8】（23-24九年级·四川自贡·阶段练习）已知一次函数y=kx+bk≠0的图像经过点A9,0，且与正比例函数y=−2x交于点B3,m【变式8-1】（23-24九年级·辽宁沈阳·期中）如图，已知直线y1=−2x+3和y2=mx−1分别交y轴于点A，（1）求m，n的值；（2）求△ABC的面积．【变式8-2】（23-24九年级·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=−23x+2与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线y2(1)求A、B的坐标；(2)求△ABO的面积；(3)若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式．

【变式8-3】（23-24九年级·安徽芜湖·阶段练习）如图，已知直线AB:y1=kx+3分别与y轴，x轴交于A，B两点，直线CD:y2=ax+b分别与x轴，y轴交于点C(−6,0)，点

(1)求k，a，b的值．(2)连接OM，试说明S△BCM(3)若x轴上存在点P，使得S三角形APM=12【题型9由一次函数解决最值问题】【例9】（23-24九年级·四川内江·期中）对于几个实数a、b、c，我们规定符号min{a,b,c}表示a、b、c中较小的数，如：min{2,−1,4}=−1．按照这个规定，已知函数：y=minx,1【变式9-1】（2024·四川南充·二模）如图，直线y=kx+3与直线y=−12x交于点A−2,1，与y轴交于点B，点Mm,y1在线段AB上，点N【变式9-2】（23-24九年级·北京海淀·期中）在平面直角坐标系xoy中，已知点M4,3，N−3,2，

(1)若一次函数y=2x+b的图象经过已知三个点中的某一点，求b的最大值；(2)当k>14时，在图中用阴影表示直线y=kx+1运动的区域，并判断在点M，N，P中直线y=kx+1不可能经过的点是【变式9-3】（23-24九年级·天津蓟州·期末）如图，直线l1:y1=x+1与x轴交于点A，直线l2:y2=kx+4与

(1)求直线l2的解析式及点M(2)点P是直线l1①当S△ABP=5时，求点②点Q是x轴上一动点，在①的条件下，当QP+QM取最小值时，直接写出点Q的坐标．【题型10一次函数与几何图形的综合运用】【例10】（23-24九年级·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A(2,0)，B(0,4)，C(−3,2)．(1)求三角形ABC的面积．(2)若点P的坐标为(m，0)，①请直接写出线段AP的长为；(用含m的式子表示)②当S△PAB=2S(3)若AC交y轴于点M，求点M的坐标．【变式10-1】（2024·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中放置三个长为2，宽为1的长方形，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A与点B，则k与b的值为（

）A．k=32，b=34 B．kC．k=−34，b=−32 D．k【变式10-2】（2024·陕西·一模）问题探究：（1）将一直角梯形ABCD放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，梯形ABCD的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形ABCD分成面积相等的两部分；（画出一种即可）（2）如图2，l1∥l2，点A、D在l1上，点B、C在l2上，连接AC、BD，交于点O，连接问题解决：（3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形ABCDE是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y轴正半轴上，CD边在x轴正半轴上，AE平行于x轴，AE的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在CD上找一点Q，使PQ将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿PQ修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）．①请你利用有刻度的直尺在图中画出PQ的位置，并简要说明作图过程；②若点A的坐标为(2,4)，OB=1，OC=4，OD=12，AE=6，请求出直线PQ的解析式．【变式10-3】（23-24九年级·山西大同·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足a+42

(1)如图1，求点A的坐标；(2)如图2，过点A作x轴的垂线，点B为垂足．若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C，连接CA，CB，请直接写出点B，C的坐标并求出三角形ABC的面积．(3)在（2）的条件下，记AC与x轴交点为点D，点P在y轴上，连接PB，PD，若三角形PBD的面积与三角形ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．

答案知识点1：一次函数的图象与性质一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0)性质k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系.（1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限；（2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限；（3）k>0，b＝0图像经过一、三象限；（4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限；（5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限；（6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。【题型1确定一次函数经过的象限】【例1】（23-24九年级·上海宝山·期中）如果ab<0，ac<0，则直线y=−abx−A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】解：∵ab<0，ac<0，∴a,b异号，a,c异号，∴−ab>0∴−c一次函数y=−a故选B【变式1-1】（23-24九年级·浙江杭州·期中）一次函数y=(m+1)x−2m+3的图象一定经过第象限．【答案】一【详解】解：∵该函数为一次函数，∴m+1≠0，即m≠−1分类讨论：①当m+1>0，即m>−1时，∴−2m+3<5，∴此时该函数图象必经过第一、三象限．当0<−2m+3<5时，经过第二象限，当−2m+3<0时，经过第四象限；②当m+1<0，即m<−1时，∴−2m+3>7，∴此时该函数图象经过第一、二、四象限，综上可知，该函数图象必经过第一象限．故答案为：一．【变式1-2】（23-24九年级·河北唐山·期中）一次函数y=k+1x+3的图像经过点P，且k>−1，则点P的坐标不可能为（A．5,4 B．−1,2 C．−2,−2 D．5,−1【答案】D【详解】解：∵k>−1，∴k+1>0，∴y的值随x值的增大而增大，又∵3>0，∴一次函数y=k+1∵5,−1在第四象限，∴点P的坐标不可能为5,−1．故选：D．【变式1-3】（23-24九年级·四川达州·期中）如果ab>0，ac<0则直线y=−ab【答案】一【详解】∵ab＞0，ac∵a、b同号，a、c异号，当a＞0，b＞0时，c＜0，∴ab＞0，c∴直线y=-abx+c当a＜0，b＜0时，c＞0，∴ab＞0，c∴直线y=−a∴这条直线不经过第一象限，故答案为：一．【题型2确定一次函数的增减性】【例2】（23-24九年级·河北石家庄·期中）如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A（-2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数(

)A．当x<2时，y随x的增大而增大 B．当x<2时，y随x的增大而减小C．当x>2时，随的增大而增大 D．当x≥2时，y随x的增大而减小【答案】C【详解】∵A（-2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），∴由图象可知：当x＜1时，y随x的增大而增大，当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，故选：C．【变式2-1】（23-24九年级·吉林长春·期末）下列一次函数中，y随x的增大而减小的是（）A．y=2x B．y=2x+1 C．y=x−4 D．y=−x+3【答案】D【详解】解：A、∵k=2>0，∴y随x的增大而增大，该选项不合题意；B、∵k=2>0，∴y随x的增大而增大，该选项不合题意；C、∵k=1>0，∴y随x的增大而增大，该选项不合题意；D、∵k=−1<0，∴y随x的增大而减小，该选项不合题意；故选：D．【变式2-2】（23-24九年级·安徽蚌埠·期末）在一次函数y=−23x+13的图像上任取不同两点P1xA．y2−y1x2−x1【答案】A【详解】解：∵−2∴y随x的增大而减小，当x2>x∴y2故选：A．【变式2-3】（2024·浙江杭州·一模）若Ax1,y1，Bx2,【答案】＜【详解】解：∵一次函数y=−4x+5，y随x增大而减小，∴当x1<x∴x1∴W=x当x1>x∴x1∴W=x故答案为：＜．【题型3由一次函数经过的象限求字母的取值范围】【例3】（23-24九年级·宁夏银川·期中）如果直线y=2−kx+k不经过第二象限，那么k的取值范围是（A．k≤0 B．k<2 C．0≤k<2 D．k<0【答案】A【详解】解：∵不经过第二象限，∴2−k>0，且k≤0，∴k≤0，故选：A【变式3-1】（23-24九年级·河南驻马店·期中）已知点A(−1,2)、B(3,2)，若一次函数y=−x+b的图象与线段AB有交点，则b的取值范围为．【答案】1≤b≤5【详解】解：∵A（﹣1，2），B（3，2），∴若过A点，则2＝1+b，解得b＝1，若过B点，则2＝﹣3+b，解得b＝5，∴1≤b≤5．故答案：1≤b≤5．【变式3-2】（2024九年级·全国·专题练习）平面直角坐标系中，过点−2,3的直线l经过一、二、三象限，若点0,a，−1,b，c,−1都在直线l上，则下列判断正确的是（

）A．a<b B．a<3 C．b<3 D．c<−2【答案】D【详解】解：∵直线l经过第一、二、三象限且过点−2,3，∴y随x的增大而增大．∵−2<−1<0，∴3<b<a，∴A、B、C均错；∵点c,−1在直线l上，∴c<−2．故选D．【变式3-3】（23-24九年级·江苏南通·期中）已知过点1,3的直线y=ax+ba≠0不经过第四象限，设S=a+2b，则S的取值范围为（

A．3<S<6 B．3≤S<6 C．3<S≤6 D．3≤S≤6【答案】B【详解】∵过点1,3的直线y=ax+ba≠0∴a＞0，b≥0，∴b=3−a，∴3−a≥0a>0，解得：0<a≤3∴S=a+2b=a+23−a∵−3≤−a<0，∴3≤6−a<6，即S的取值范围为：3≤S<6，故选B．【题型4由一次函数的增减性求字母的取值范围】【例4】（23-24九年级·湖南长沙·期中）对某一个函数给出如下定义:若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足−M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．若函数y=−x+1(a≤x≤b，b>a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，则b的取值范围是．

【答案】−1<b≤3【详解】解：∵k=-1，y随x的增大而减小，∴当x=a时，-a+1=2，解得a=-1，而x=b时，y=-b+1，∴-2≤-b+1≤2，且b＞a，∴-1＜b≤3．故答案为-1＜b≤3．【变式4-1】（2024·山东临沂·模拟预测）若一次函数y=k−2x−1的函数值y随x的增大而增大，则A．1 B．52 C．32 【答案】B【详解】解：∵一次函数y=k−2x−1的函数值y随着∴k−2>0，解得k>2．所以k的值可以是52【变式4-2】（2024·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，当a≤x≤a+3（其中a为常数）时．函数y=x−1的最小值为2a+4，则满足条件的a的值为（

）A．－5 B．－2 C．−32【答案】A【详解】解：∵k=1>0∴函数y=x−1的函数值随着x的增大而增大，当a≤x≤a+3时，则当x=a时取得最小值2a+4，即a−1=2a+4，解得a=−5，故选：A【变式4-3】（23-24九年级·福建福州·期末）我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为y=kx+bk≠0．在我的图象上有两点Ax1,y1，Bx2,y2A．m>0 B．m≥0 C．m=0 D．m<0【答案】A【详解】解：将A，B两点坐标分别代入一次函数解析式得，y1两式相减得，y1所以k=y因为k>0，所以y1则(y所以(x则m>0．故选：A．【题型5比较一次函数值的大小】【例5】（23-24九年级·山东聊城·期末）一次函数y=−x+b的图象上三个点的坐标分别为−13,y1,−1,A．y1<yC．y3<y【答案】C【详解】解：∵一次函数y=−x+b中的k=−1<0，∴y随x的增大而减小，∵−1<−1∴y2故选：C．【变式5-1】（23-24九年级·广西崇左·阶段练习）已知点A(1,a)和点B(−2,b)是一次函数y=−12x+c图象上的两点，则a【答案】＜【详解】解：把A(1,a),B(−2,b)代入一次函数y=−1−①-②得：a−b=−3∴a<b,故答案为：<．【变式5-2】（23-24九年级·江西抚州·期中）已知一次函数y=−2x+1的图象经过P1m,a，P2m+1,b两点，则a【答案】>【详解】解：∵一次函数y=−2x+1中的−2<0，∴该函数图象是直线，且y的值随x的增大而减小，∵m+1>m，∴a>b．故答案为：>．【变式5-3】（23-24九年级·福建厦门·期末）点M(a,2)、N(b,3)是一次函数y=2x−3图像上两点，则ab（填“>”、“=”或”<”）．【答案】<【详解】解：∵k=2>0，∴一次函数y随x增大而增大，同理当y越大时x也越大，∵2＜3，∴a<b．故答案为<．【题型6一次函数中的对称性问题】【例6】（23-24九年级·陕西西安·开学考试）若直线y=kx+2与直线y=−3x+b关于直线x=−1对称，则k、b值分别为（

）A．k=−3、b=−2 B．k=3、b=−2 C．k=3、b=−4 D．k=3、b=4【答案】C【详解】解：∵一次函数y=kx+2与y轴交点为0,2，∴点0,2关于直线x=−1的对称点为−2,2，把−2,2代入直线y=−3x+b，可得2=−3×−2解得b=−4，则y=−3x+b=−3x−4，一次函数y=−3x−4与y轴交点为0,−4，0,−4关于直线x=−1的对称点为−2,−4，代入直线y=kx+2，可得−4=−2k+2，解得k=3．故选：C．【变式6-1】（23-24九年级·福建宁德·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A2,m在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y=−x+1上，则m的值为（

A．-1 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】点A关于x轴的对称点B的坐标为：（2，﹣m），将点B的坐标代入直线y＝﹣x+1得：﹣m＝﹣2+1，解得：m＝1，故选：B．【变式6-2】（23-24九年级·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，A(−3,0),B(1,4)，直线BC交x轴于4,0，过点A作AD∥BC交y轴于点(1)求直线BC和直线AD的关系式；(2)点M在直线AD上，且△ABM与△ABO的面积相等，求点M的坐标．【详解】（1）解：设直线BC的解析式为：y=kx+b，则k+b=44k+b=0解得：b=16∴直线BC的解析式为：y=−4∵AD∴设直线AD的解析式为：y=−4则0=−4解得：b∴直线AD的解析式为：y=−4（2）解：如图所示：过点O作AB的平行线l，设直线AB的解析式为：y=mx+n，则−3m+n=0m+n=4解得：m=1n=3∴直线AB的解析式为：y=x+3，则直线l的解析式为：y=x，∵点M在直线AD上，且△ABM与△ABO的面积相等，∴点M是直线AD与直线l的交点则y=xy=−解得：x=−∴M点M−127,−综上所述：点M的坐标为−127【变式6-3】（2024·江西南昌·一模）定义：若两个函数的图象关于直线y＝x对称，则称这两个函数互为反函数．请写出函数y＝2x+1的反函数的解析式．【详解】y＝2x+1，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣12即函数和x轴的交点为（﹣12所以两点关于直线y＝x对称的点的坐标分别为（0，﹣12设反函数的解析式是y＝kx+b，代入得：b=−1解得：k＝12，b＝﹣1即y＝12x﹣1故答案为y＝12x﹣1知识点2：两直线的位置关系同一平面直角坐标系中两直线，的位置关系：的关系与的关系与相交，与相交于y轴上的一点，与平行【题型7由两直线的位置关系求解析式】【例7】（23-24九年级·福建南平·期末）探究活动一：如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，发现在直线AB上的三点A1,3，B2,5，C4,9，有kAB=5−32−1=2，kAC=9−34−1=2，kAB=kAC（1）请你应用以上规律直接写出过S−2,−2，T4,2两点的直线ST的斜率探究活动二：数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．（2）如图2，直线DE与直线DF垂直于点D，且D2,2，E1,4，F4,3．请求出直线DE综合应用：（3）如图3，M1,2，N4,5，请结合探究活动二的结论，求出过点N且与直线【详解】解：（1）根据题意得：kST（2）∵D2,2，E1,4，∴kDE=4−2∴kDE结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于-1．（3）设过点N且与直线MN垂直的直线为PQ，解析式为y=k∵M1,2，N∴kMN∵PQ⊥MN，∴kPQ∴kPQ∵直线PQ经过点N4,5∴5=−1×4+b，解得b=9．∴过点N且与直线MN垂直的直线的解析式为y=−x+9．【变式7-1】（23-24九年级·辽宁鞍山·阶段练习）函数y=kx+bk≠0的图象平行于直线y=3x+2，且交y轴于点0,−1，则其函数表达式是【详解】解：∵函数y=kx+bk≠0的图象平行于直线y=3x+2∴k=3，∴y=3x+b交y轴于点0,−1，∴b=−1，∴函数的表达式是y=3x−1，故答案为：y=3x−1．【变式7-2】（2024·河北石家庄·一模）某个一次函数的图象与直线y=12x+3平行，与x轴，y轴的交点分别为A，B，并且过点−2,−4，则在线段AB上（包括点A，BA．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【详解】解：根据题意，设一次函数的解析式为y=1由点(−2,−4)在该函数图象上，得−4=12×(−2)+b所以，y=12x−3．可得点A(6,0)由0≤x≤6，且x为整数，取x=0，2，4，6时，对应的y是整数．因此，在线段AB上（包括点A、B)，横、纵坐标都是整数的点有4个．故选：B．【变式7-3】（23-24九年级·辽宁葫芦岛·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线y=kx+b上的任意三点Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3（x1≠x2≠x(1)已知直线y=kx+b经过A2,3，B4,−2两点，请直接写出(2)如图，直线y1⊥y2于点A，直线y1，y2分别交y轴于B，C两点，A，【详解】（1）解：∵A(2,3)，B(4,-2)，∴k=3−(−2)2−4故答案为：−5（2）解：∵y1=k1x+b1经过A(2,0)，B(0,4)，∴k1=0−42−0∵y2=k2x+b2经过A(2,0)，C(0,-1)，∴k1=0−−1∴k1k2=-2×12【题型8两直线的相交问题】【例8】（23-24九年级·四川自贡·阶段练习）已知一次函数y=kx+bk≠0的图像经过点A9,0，且与正比例函数y=−2x交于点B3,m【详解】解：把B3,m代入y=−2x得：m=−2×3=−6∴B3,−6把A9,0，B3,−6代入9k+b=03k+b=−6解得：k=1b=−9∴一次函数解析式为y=x−9．【变式8-1】（23-24九年级·辽宁沈阳·期中）如图，已知直线y1=−2x+3和y2=mx−1分别交y轴于点A，（1）求m，n的值；（2）求△ABC的面积．【详解】解：（1）∵两直线交于点C∴将C1,n代入y即：C点坐标为：（1,1）将C（1,1）代入y2即：m=2故：m=2，n=1．（2）∵当x=0时，y∴A（0,3）当x=0时，y∴B（0，-1）∴SΔABC故：△ABC的面积为2．【变式8-2】（23-24九年级·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=−23x+2与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线y2(1)求A、B的坐标；(2)求△ABO的面积；(3)若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式．

【详解】解：（1）∵一次函数的解析式为y1=-23令x=0，得y1=2，∴B(0，2)，令y1=0，得x=3，∴A(3，0)；（2）由（1）知：OA=3，OB=2，∴S△ABO=12OA•OB=1（3）∵12S△ABO=12×3=∴S△APC=12AC•yp=12×(3-1)×yp=解得：yp=32又点P在直线y1上，∴32=-2解得：x=34∴P点坐标为(34，3将点C(1，0)、P(34，30=k+b3解得：k=−6b=6故可得直线CP的函数表达式为y=-6x+6．【变式8-3】（23-24九年级·安徽芜湖·阶段练习）如图，已知直线AB:y1=kx+3分别与y轴，x轴交于A，B两点，直线CD:y2=ax+b分别与x轴，y轴交于点C(−6,0)，点

(1)求k，a，b的值．(2)连接OM，试说明S△BCM(3)若x轴上存在点P，使得S三角形APM=12【详解】（1）解：∵直线y1=kx+3和直线y2∴−1=−4k+3，∴k=1；又直线y2=ax+b与坐标轴交于∴−1=−4a+b0=−6a+b，解得：a=−（2）由（1）知：y1=x+3，当x=0时，y1=3,y2=−3∴A0,3∴AO=3,OD=3,OB=3,BC=3，∴S△BCM∴S△BCM（3）设Pm,0

∴BP=∵S△ADM∴S△APM∴m+3=3∴m=−6或m=0；∴P−6,0或P【题型9由一次函数解决最值问题】【例9】（23-24九年级·四川内江·期中）对于几个实数a、b、c，我们规定符号min{a,b,c}表示a、b、c中较小的数，如：min{2,−1,4}=−1．按照这个规定，已知函数：y=minx,1【详解】解：当x≤13x+1则y=x，∵y随x的增大而增大，∴当x=32时，y取的最大值当13x+1≤x1则y=1∵y随x的增大而增大，∴当x=6017时，y取的最大值当−45x+5≤则y=−4∵y随x的增大而减小，∴当x=6017时，y取的最大值综上可知，y的最大值是3717故答案为：3717【变式9-1】（2024·四川南充·二模）如图，直线y=kx+3与直线y=−12x交于点A−2,1，与y轴交于点B，点Mm,y1在线段AB上，点N【详解】∵直线y=kx+3与直线y=−12x∴将A−2,1代入y=kx+3，有：−2k+3=1解得：k=1，即直线解析式为：y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，即B0,3∵点Mm,y1在线段AB上，点N∴y1=m+3，y2∴y1∵−2≤m≤0，∴当m=−2时，y1−y故答案为：52【变式9-2】（23-24九年级·北京海淀·期中）在平面直角坐标系xoy中，已知点M4,3，N−3,2，

(1)若一次函数y=2x+b的图象经过已知三个点中的某一点，求b的最大值；(2)当k>14时，在图中用阴影表示直线y=kx+1运动的区域，并判断在点M，N，P中直线y=kx+1不可能经过的点是【详解】（1）解：∵一次函数的比例系数为2，2>0，∴一次函数一定经过第一、三象限．∵求b的最大值，∴图象还应该经过第二象限的点N−3,2∴3×−3∴b=8答：b的最大值为8；（2）当k=14∵图象必过点0,1，k>1∴直线y=kx+1运动的区域为过点−4,0和点0,1的直线l与y轴之间的区域（不包括直线l和y轴）．∴直线y=kx+1不可能经过的点是N．故答案为：N．

【变式9-3】（23-24九年级·天津蓟州·期末）如图，直线l1:y1=x+1与x轴交于点A，直线l2:y2=kx+4与

(1)求直线l2的解析式及点M(2)点P是直线l1①当S△ABP=5时，求点②点Q是x轴上一动点，在①的条件下，当QP+QM取最小值时，直接写出点Q的坐标．【详解】（1）解：将点B4,0代入y2=kx+4，得0=4k+4∴y解方程组y=x+1y=−x+4，解得x=∴点M的坐标为52（2）解：①令y=0，则x+1=0，解得x=−1，∴直线l1与x轴的交点A设点Px,x+1∴S∴x+1=2，即x+1=2或x+1=−2，解得x=1或x=−3则点P的坐标为1,2或−3,−2；②当点P的坐标为1,2时，如图，作点M关于x轴的对称点M′，连接PM′交x

此时QP+QM=PM∵点M的坐标为52∴点M′的坐标为5设PM′的解析式为则52a+b=−7∴PM′的解析式为令y=0，则−11解得x=17∴点Q的坐标1711当点P的坐标为−3,−2时，如图，

当点Q与点A重合时，此时QP+QM=AP+AM=PM有最小值，∴点Q的坐标为−1,0；综上，点Q的坐标为−1,0或1711【题型10一次函数与几何图形的综合运用】【例10】（23-24九年级·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A(2,0)，B(0,4)，C(−3,2)．(1)求三角形ABC的面积．(2)若点P的坐标为(m，0)，①请直接写出线段AP的长为；(用含m的式子表示)②当S△PAB=2S(3)若AC交y轴于点M，求点M的坐标．【详解】（1）解：过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点B作BE⊥CM，交MC延长线于E，过点A作AF⊥BE，交EB延长线于F．如图1所示：∵A(2,0)，B(0,4)，C(−3,2)∴M(−3,0)，E(−3,4)，F(2,4)，OB=4．∴AM=5，CM=2，BE=3，CE=2，ME=4，BF=2，AF=4．∴=AM⋅DE−1答：△ABC的面积是8．（2）解：①根据题意得：AP=|m−2|；故答案为：|m−2|；②∵∴1∴AP=|m−2|=8，∴m−2=8或m−2=−8，∴m=10或m=−6；（3）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，根据题意得：2k+b=0−3k+b=2解得：k=−25，∴直线AC的解析式为y=−2当x=0时，y=4∴M0,【变式10-1】（2024·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中放置三个长为2，宽为1的长方形，已知一次函数y＝kx+b的图象经过