整式乘法压轴题专练 暑假作业（含解析） 数学七年级北师大版（2024版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页完成时间：月日天气：作业整式乘法压轴题专练（24-25八年级上·福建厦门·期末）1．对于实数，，整式，，规定整式的运算：，．当时，若对于始终成立，则，满足的条件是（

）A． B．C． D．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）2．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，错误的是（

）A．“2”上边的数是8 B．“20”右边的“□”表示4C．运算结果可以是9225 D．“5”右边的“□”表示5（24-25七年级上·重庆·期末）3．已知关于字母的次多项式，化简后总是可以表达成的形式，其中都为常数，为正整数．对多项式，任意选择其中两项的系数，先变成其相反数后再交换它们的位置，称为“取反换位”操作，例如：对多项式，进行“取反换位”操作后，所有可能得结果是：，，，则下列说法中正确的个数有（

）①当时，若对多项式进行“取反换位”操作后得到的多项式与原多项式之和为0，则关于的方程的解为；②当时，若，则对多项式进行“取反换位”操作后，所得的所有多项式之和为原多项式的2倍；③当时，若多项式：无论取何值总是等于，则对多项式进行“取反换位”操作后所得的所有多项式的常数项的和为109．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个（24-25九年级上·重庆·期末）4．关于的多项式：，其中为正整数，，，…，为互不相等且不为零的整数．比如当时，．交换任意两项的系数，得到的新多项式称为原多项式的“衍生多项式”下列说法：①共有15个不同的“衍生多项式”；②若多项式，无论为何值时，；③若多项式，．其中正确的个数是（

）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个（24-25八年级上·福建福州·期末）5．某商店的某种商品成本增加，因此商家决定对该商品进行提价，现有三种方案．方案一：第一次提价，第二次提价；方案二：第一次提价，第二次提价；方案三：第一、二次提价均为；其中a，b是不相等的正数．有以下说法：①方案一、方案二提价一样；②方案一提价有可能高于方案二提价；③三种方案中，方案三的提价最多；④方案三的提价有可能低于方案一的提价．其中正确的是（）A．①③ B．①④ C．②④ D．②③（24-25八年级上·浙江台州·期末）6．一个四位自然数，满足，，则称这个四位数为“幸运数”例如：对于，∵，，∴是“幸运数”；对于，∵，，∴不是“幸运数”．若存在幸运数，使得，则满足条件的“幸运数”有（

）个．A． B． C． D．（24-25八年级上·广西南宁·期末）7．《庄子》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，这样取下去，永远也取不完．如果将这根木棒的长度看成单位“1”，用两种不同的方法表示被取走木棒长度的总和，即：被取走木棒长度的总和＝1－剩余木棒的长度，例如：取第一次得；取第二次得；取第三次得；……若，则用含m的式子表示为（

）A． B． C． D．（22-23七年级下·浙江丽水·期末）8．甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置．，记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为．（1）若，则的值是；（2）若，，则的值是．（24-25八年级上·广东湛江·期末）9．观察并验证下列等式：，，，(1)续写等式：________；（写出最后结果）(2)我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：________；（结果用因式乘积表示）(3)利用（2）中得到的结论计算：；（24-25七年级上·山东青岛·期末）10．归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略，请用归纳策略解答下列问题．(1)如图1，将一根绳子折1次，然后按如图所示方式剪开，剪1刀，绳子变为3段；如图2，剪2刀，绳子变为5段；……剪n刀，绳子将变为______段；(2)如图3，按如图所示方式，将一根绳子折2次，剪1刀，绳子变为4段；如图4，将一根绳子折3次，剪1刀，绳子变为5段；……将一根绳子折m次，剪1刀，绳子将变为______段；(3)归纳：将一根绳子按（1）和（2）方式，折m次，然后剪n刀，绳子将变为多少段？写出你的探究过程；(4)问题解决：若将一根绳子按（1）和（2）方式折、剪（折、剪次数），恰好变为95段，会有哪几种方案？请直接写出答案．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）11．一般地，我们把按照确定顺序排列的一列数，，，叫做数列．若数列满足（为非零常数），我们把数列叫做等比数列，叫做公比；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；依次类推，若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”，且为整数．(1)分别写出等比数列1，2，4，8的“2级等比数列”和“3级等比数列”；(2)若等比数列：，，，，．①求该等比数列的所有数之和．②设，，分别是该数列的，，级等比数列的所有数之和．若，求证：．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）12．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.

(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和.方法1：；方法2：.(2)请直接写出三个代数式：,,之间的一个等量关系.(3)若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片张，类卡片张，类卡片张.(4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知,，求和的值.②已知，求.（21-22八年级上·浙江台州·期末）13．学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题：(1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子①化简：（a－b）（a2＋ab＋b2）＝；②计算：（993＋1）÷（992－99＋1）＝；(2)【公式运用】已知：＋x＝5，求的值：(3)【公式应用】如图，将两块棱长分别为a、b的实心正方体橡皮泥揉合在一起，重新捏成一个高为的实心长方体，问这个长方体有无可能是正方体，若可能，a与b应满足什么关系？若不可能，说明理由．（24-25八年级上·山东临沂·期末）14．【知识生成】图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．（1）如图，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为_____；（用、表示）根据上面结论，当，时，_____．【知识应用】（2）类比的探究过程，请用不同的代数式表示图中大正方形的面积．由此得到的等式为_____；（用、、表示）；根据上面的结论，已知，，则_____．【知识迁移】（3）类比上述两个题目探究过程，请直接写出_____．（用、、、表示）（24-25七年级上·上海静安·期末）15．如图，农场打算把一块正方形空地分割成4块方形田地，并计划在两块边长分别为a、b的正方形空地上种树（图中的阴影部分）和，用作鱼塘的两块长方形的面积之和记作．(1)根据题意填空：①（用含字母a、b的代数式表示）；②比较与的大小：；(2)如果，且平方米，求这块正方形空地的面积．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）16．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是_____．A．

B．

C．(2)已知，，则______．(3)应用所得的公式计算：．(4)应用所得的公式计算：．（24-25八年级上·江西南昌·期末）17．学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题：将多项因式分解：．求多项式的最小值．由，得，因为，所以．所以当时，的值最小，且最小值为．请你运用上述方法解决下列问题：(1)将多项式因式分解；(2)求多项式的最小值．（23-24八年级上·北京西城·期末）18．阅读材料：如果整数，满足，，其中，，，都是整数，那么一定存在整数，，使得．例如，，，或，……根据上述材料，解决下列问题：(1)已知，，或，……若，则；(2)已知，（，为整数），．若，求（用含，的式子表示）；(3)一般地，上述材料中的，可以用含，，，的式子表示，请直接写出一组满足条件的，（用含，，，的式子表示）．（22-23八年级下·山东淄博·期末）19．【阅读理解】配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大(小)值．对于任意正实数，，可作如下变形：∵又∵∴即．根据上述内容，回答问题：______；______；______．(用“”“”“”填空)【思考验证】如图1，中，，于点，为边上中线，，，试根据图形验证成立，并指出等号成立时的条件．

【探索应用】(1)请利用上述结论解决下面问题，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？

(2)如图3，四边形的对角线，相交于点，，的面积分别是和．试问四边形的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出四边形面积的最小值；若不存在，请说明理由．

（21-22七年级下·江苏苏州·期中）20．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．(1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式____________；(2)请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；(3)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，．若，则当a与b满足____时，S为定值，且定值为______．（用含b的代数式表示）（24-25七年级上·四川成都·期末）21．定义一种新运算，对任意数，，，例如：，．(1)设（为常数）已知关于的方程为一元一次方程，求：的值及方程的解．已知与为关于x的多项式，，的值满足，若中不含一次项，求：的值．(2)如果数对满足，我们称数对为“嘉幸数”，已知数对与均为“嘉幸数”，求代数式的值．（24-25八年级上·山东临沂·期末）22．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．(1)图1是2024年11月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置，上的数相乘，位置，上的数相乘，再相减，例如：_______________，______________，不难发现，结果都等于______________；(2)请你再选择两个类似的部分试试，看看是否符合这个规律；(3)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明；(4)如图2，在某月历中，“Z”字型框架框住部分（阴影部分）5个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为36，那么位置上的数为____________．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）23．根据乘方的意义可知：一般地，对于任意不为0的底数a与任意正整数m，n，．同理，我们有（，m，n都是正整数，并且）．例如：．根据所学知识，解决以下问题：(1)已知，则_______；(2)已知，求的值；(3)已知，，，，请解关于s的方程：．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）24．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明．(1)【方法理解】已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是，则相邻一边长是．①当时，如图1将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是________．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为_________的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、25、满足的等量关系是______________，从而可得；②当时，类似上述过程进行割补，同理可得；③当时，该长方形即为正方形，此时．综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25；(2)【方法迁移】当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值．（24-25八年级上·福建泉州·期末）25．八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】．【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘．【核心概念】素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”．素材2：我们知道，，利用多项式的乘法运算，还可以得到：当时，将计算结果中多项式以a降次排序各项的系数排列成表，可得到如图2：【任务规划】（1）任务：请根据素材1和素材2直接写出：①展开式中的系数是______；②展开式中所有项的系数和为______；【项目成效】（2）成果展示：若，求的值．【拓展应用】（3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案1．D【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则．由，，推出，结合，即可求解．【详解】解：，，当时，则，当时，则，，，始终成立，，，，故选：D．2．D【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B、D选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，把代入，故可判断C选项．【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和如图：则由题意得：，∴，即，∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍；当时，则，如图：，∴A、“2”上边的数是，故本选项不符合题意；B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；C、上面的数应为，如图：∴运算结果可以表示为：，∴当时，，∴C选项不符合题意，D、“5”右边的“□”表示1，故该选项符合题意，故选：D．3．D【分析】本题主要考查了新定义、多项式的系数等知识点，理解新定义是解题的关键．①先列举出多项式进行“取反换位”操作后得到的多项式，然后说明，再解方程即可；②按照“取反换位”列出所有多项式，然后求和即可解答；③先说明系数、常数项，再根据“取反换位”归类常数项并求和即可．【详解】解：①当对多项式进行“取反换位”操作后得到的多项式为：，由题意可得：，∴，即，∴，即，∴，故①正确；②当时，∵，∴，，多项式“取反换位”操作后可得多项式：，，，，即②正确；③对于无论取何值总是等于，则，当常数项不参与变换时，可得10多项式；当常数项与各项均有一次“取反换位”，则对多项式进行“取反换位”操作后所得的所有多项式的常数项的和为，即③正确．综上，①②③正确．故选D．4．A【分析】本题考查了代数式求值，根据多项式的特点选取合适的的值是解题关键．先确定共有6个互不相等且不为零的系数，再根据“衍生多项式”的定义即可判断①正确；将代入多项式即可判断②正确；将和代入计算即可判断③正确．【详解】解：∵，共有6个互不相等且不为零的系数，∴交换任意两项的系数共有种，则共有15个不同的“衍生多项式”，说法①正确；令，则，说法②正确；当时，，当时，，将上面两式相减得：，则，说法③正确；综上，正确的个数是3个，故选：A．5．A【分析】本题主要考查列代数式，分别求出三次方案提价后变为原来的多少，再进行比较即可．【详解】解：方案一：两次提价后变为原来的，方案二：两次提价后变为原来的，方案三：两次提价后变为原来的，所以方案一和方案二提价一样，故①正确，②错误；，∵，∴，∴方案三提价最多，故③正确，④错误．故选：A．6．B【分析】本题考查了新定义运算、整式乘法的应用，熟练掌握运算法则，理解新定义是解题的关键．根据题意列出算式，求出的值，即可得出答案．【详解】解：由题意得，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵均为整数，且，，，，∴或或，当时，，，此时幸运数为，当时，，，此时幸运数为，当时，，，此时幸运数为，则满足条件的“幸运数”有个，故选：．7．B【分析】本题考查数字类规律探究，根据，得到，利用进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴；故选B．8．20【分析】（1）根据已知条件得到乙正方形的边长为，于是得到结论；（2）根据阴影部分的面积可得，，两式相除得到a、b的关系，再代入求解即可．【详解】解：（1）∵，∴乙正方形的边长为，∴，故答案为：20；（2）∵，∴，∵，∴，∴，整理，得，即，∴或，∴或（舍去）∴，故答案为：．

【点睛】本题考查了多项式与几何图形的面积以及因式分解，正确理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键．9．(1)225(2)(3)【分析】本题主要考查了自然数立方和公式推导及应用，掌握自然数列和公式，自然数平方和公式，自然数立方和推导过程，数字的变化类是解题关键．（1）直接根据题意给出的规律即可求解；（2）直接根据题意给出的规律即可求解；（3）先按积的乘方分出27，提公因式27，再按给出的规律即可求解【详解】（1）解：原式，故答案为：225；（2）解：原式，故答案为：；（3）解：原式．10．(1)(2)(3)，探究见解析(4)会有折93次、剪1刀，折1次、剪47刀，折46次、剪2刀，共3种方案．【分析】此题主要考查了图形的变化类．归纳推导，找到规律，是进行解答的关键．（1）将一根绳子折1次，剪1刀，绳子变为3段；剪2刀，绳子变为5段；剪n刀，绳子将变为段；（2）将一根绳子折2次，剪1刀，绳子变为4段；折3次，剪1刀，绳子变为5段；折m次，剪1刀，绳子将变为段；（3）将一根绳子折m次，剪1刀，绳子变为段；剪2刀，绳子的段数为；剪3刀，绳子段数为：；剪n刀，绳子段数为：；（4）设将一根绳子折m次，然后剪n刀，绳子段数将变为：，当时，解得，或，或，会有3种方案．【详解】（1）解：将一根绳子折1次，剪1刀，绳子变为3段；剪2刀，绳子变为5段；……剪n刀，绳子将变为段；故答案为：；（2）解∶将一根绳子折2次，剪1刀，绳子变为4段；将一根绳子折3次，剪1刀，绳子变为5段；……将一根绳子折m次，剪1刀，绳子将变为段；故答案为：；（3）解：由（2）知，将一根绳子折m次，剪1刀，绳子变为段，然后剪2刀，绳子段数变为：；剪3刀，绳子段数变为：；……剪n刀，绳子将段数变为：；（4）解：设将一根绳子折m次，然后剪n刀，由（3）知，绳子段数将变为：，当时，，∵，当或时，（舍）或，当，或时，，或．故会有折93次、剪1刀，折1次、剪47刀，折46次、剪2刀，共3种方案．11．(1)级等比数列为：，，，级等比数列为：，，，(2)①②证明见解析【分析】本题主要考查了数字类规律探索，整式乘法混合运算等知识点，理解材料提示的计算方法，掌握数字规律的计算及整式乘法混合运算法则是解题的关键．（1）根据材料提示的计算方法求解即可；（2）①根据题意可得，，两室相减即可得解；②根据题意，设数列的公比为，其，，级等比数列分别为，，，分别计算出，，的值，然后按照同底数幂的乘法、幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用、整式乘法混合运算法则计算即可得出结论．【详解】（1）解：等比数列1，2，4，8的公比为，∴级等比数列为：，，，；设3级等比数列为：，∵，∴，，，，∴级等比数列为：，，，；（2）①解：若等比数列：，，，，，∵，，∴，即：；②证明：根据题意，若数列满足（为非零常数），数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”，且为整数，∴设数列的公比为，其，，级等比数列分别为，，，∴，，，∴，，，，，，，，，，，，又∵，∴，，，∵，，∴，∴．12．(1)，(2)(3)1，3，2(4)①，；②【分析】本题考查拼图与整式的乘法，数形结合是解题的关键.（1）阴影部分是两个正方形的和，也可看作外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，据此求解即可；（2）（1）中两种方法计算的面积是相等的，即可得出答案；（3）先画长方形，长为，宽为，观察图形可得答案；（4）①利用和计算即可；②设，，利用求出，再利用求出，最后把还原后求解即可.【详解】（1）方法一：阴影部分是两个正方形，面积和为：，方法二：阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即，故答案为：，；（2）∵（1）中两种方法计算的面积是相等的，∴，故答案为：（3）拼图如下：

观察图形可得：需要类卡片1张，类卡片3张，类卡片2张.故答案为：1，3，2；（4）①根据（2）题可得，∵,，∴∴，；②设，，∵，∴，又∵，∵∴，∴，由，得∴，即，整理，得，即∴.13．(1)a3-b3，100(2)4(3)不可能，理由见解析【分析】（1）根据立方差公式计算；（2）根据完全平方公式计算；（3）根据体积找到a，b关系．【详解】（1）解：①原式=a3+(-b)3=a3-b3．②原式=（99+1）（992-99×1+12）÷（992-99+1）=100．故答案为：a3-b3，100．（2）∵，∴原式=5-1=4．（3）假设长方体可能为正方体，由题意：，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴7a2-10ab+7b2=0不成立，∴该长方体不可能是边长为的正方体．【点睛】本题考查立方差和立方和公式的应用，构造使用公式的条件是求解本题的关键．14．（1），13；（2），14；（3）．【分析】用两种不同的方式表示正方形的面积，根据这两个面积相等列出等式即可；把中得到的等式变形可得：，再把，代入计算即可；类比用两种不同的方式表示正方形的面积，根据这两个面积相等列出等式即可；把中得到的等式变形可得：，把、代入计算即可；根据、中等式的规律直接写出结果即可．【详解】正方形的边长为，正方形的面积为，大正方形可以分成个边长为的正方长、个边长为的正方长、个长为宽为的长方形，大正方形的面积为，，故答案为：；由可知，，又，，，故答案为：；类比可得：，故答案为：；由可得：，，，，故答案为：；由可得：，故答案为：．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、完全平方式的几何背景、数形思想的结合、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系．15．(1)①；②(2)1024平方米．【分析】本题考查了整式的运算以及代数式大小比较的知识点，解题的关键是根据图形准确表示出各部分面积，并熟练运用整式运算法则进行计算和比较。（1）①根据图形中长方形面积公式，找到鱼塘两块长方形的长和宽，从而得出的代数式；②将与作差，通过完全平方公式判断差的正负，进而比较大小。（2）根据已知条件得到化简求得，再根据平方米，求解出a,

b的值，再计算正方形空地的面积。【详解】（1）①．故答案为：．②故答案为：．（2）由，得，即将的两边同时除以，得分解因式，得，解得（舍去）或，∴这块正方形空地的面积为平方米16．(1)B(2)4(3)1(4)【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键．（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别用代数式表示出来，列出等式即可；（2）把利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把代入即可求解；（3）先将化成，再应用所得的公式，即可计算得到结果；（4）先将9化成，然后应用所得公式即可逐步计算得到结果．【详解】（1）解：图1中，边长为的正方形的面积为：；边长为的正方形的面积为：，图1的阴影部分为面积为：，图2中长方形的长为：，长方形的宽为：，图2长方形的面积为：，，故选：B．（2）解：，，又，，故答案为：4．（3）解：．（4）解：．17．(1)；(2)．【分析】本题主要考查了因式分解的应用、平方的非负性、阅读理解的能力．解决本题的关键是读懂材料中所给的解题思路，根据材料所提供的思路解决问题．根据阅读材料中所提供的解题思路，把多项式中含有的项凑成完全平方式，得到原式，然后再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；根据阅读材料中所提供的解题思路，把多项式中含有的项凑成完全平方公式，得到原式，分解因式可得原式，根据平方的非负性求出代数式的最小值即可．【详解】（1）解：；（2）解：，，，当时，多项式取得最小值为．18．(1)9(2)或(3)，【分析】本题主要考查了实数运算、整式运算、完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．（1）结合，，求解即可；（2）将，代入，整理可得，即可获得答案；（3）根据题意，可得，结合，可令，，即可获得答案．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴．故答案为：9；（2）解：根据题意，，，，∴，∴∴，∴或；（3）解：∵，，∴，又∵，令，，此时可有一组解，，即，．19．[阅读理解]，，；[思考验证]验证见解析，当时，等式成立[探索应用]（1）60米；（2）存在，最小值是【分析】[阅读理解]根据实数的大小比较即可求解；[思考验证]根据直角三角形的性质得出，勾股定理可得，再由（1）中结论即可得出等号成立时的条件；[探索应用]（1）设花圃的长为米，宽为米，则，根据题意，，即可求解；（2）根据三角形等高得出，得出，确定四边形的面积形式，利用题干中的方法求解即可得出结果．【详解】解：[阅读理解]∵，，，∴；∵，，∵，∴；∵，，故答案为：，，．[思考验证]∵中，，，为边上中线，，，∴，，∴，∵，∴，∴当时等号成立，即有，∴斜边的高线和中线重合，∴是等腰直角三角形，∴当是等腰直角三角形时，等号成立；[探索应用]（1）设花圃的长为米，宽为米，则∵，∴篱笆至少为米（2）设的面积为，∵，即，∴．四边形的面积，当时，即时，四边形面积最小为．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，实数的大小比较、二次根式的化简及完全平方公式的运用，用配方法求最值，理解在（、均为正实数）中，当且仅当、满足时，有最小值是解题的关键．20．(1)＝(2)见解析(3)时，【分析】（1）用两种方法表示图2的面积，即可得出公式；（2）由a2+4ab+3b2可得A型卡片1张，B型卡片3张，C型卡片4张，根据题意画出图形即可；（3）设DG的长为x，求出S1，S2即可解决问题．【详解】（1）解：方法1：大正方形的面积为（a+b）2，方法2：图中四部分的面积和为a2+2ab+b2，∴（a+b）2=a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）解：如图3，（3）解：设DG的长为x，∵S1=a[x-（a+b）]=ax-a2-ab，S2=2b（x-a）=2bx-2ab，∴S=S2-S1=2bx-2ab-（ax-a2-ab）=（2b-a）x-ab+a2，若S为定值，则2b-a=0，∴a=2b，∴当a与b满足a=2b时，S为定值，且定值为，故答案为：a=2b，．【点睛】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的特点，数形结合的数学思想是解决问题的关键．21．(1)，；；(2)．【分析】（1）根据规定的新运算可知，又因为方程为一元一次方程，可得为一元一次方程，根据一元一次方程的定义可知、，从而求出的值，把的值代入方程中可得方程为，解方程即可；根据可以求出，根据中不含一次项可以求出的值，把、的值代入计算求值即可；（2）根据“嘉幸数”的定义列方程求出、的值，根据整式的运算法则把代数式化简，再把、的值代入化简后的代数式计算即可．【详解】（1）解：，又方程为一元一次方程，为一元一次方程，，解得：，方程为，解得：，，；解：的值满足，，，，解得：，，，，整理得：，不含一次项，，解得：，；（2）解：数对为“嘉幸数”，，整理得：，解得：，数对为“嘉幸数”，，整理得：，解得：，，当，时，原式．【点睛】本题主要考查了新运算、一元一次方程的定义、同底数幂的乘法、整式的化简求值、有理数的混合运算．解决本题的关键是理解题目中规定的新运算，根据规定的新运算，把指定的运算转化为一般的运算；理解“嘉幸数”的意义，根据“嘉幸数”列方程求出字母的值．22．(1)15，15，15(2)符合这个规律(3)证明见解析(4)10【分析】此题