《相似三角形的判定》分层作业

数学第第页相似三角形的判定A卷（基础）一,选择题1．已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形（）A．一定不相似 B．不一定相似 C．一定相似 D．不能确定【答案】C【解析】∵一个三角形的两个内角分别是，∴第三个内角为，又∵另一个三角形的两个内角分别是，∴这两个三角形有两个内角相等，∴这两个三角形一定相似.故选：C.【知识点】相似三角形的判定【难度】★【题型】选择题2．有甲,乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲,乙两个三角形（）A．一定相似 B．一定不相似C．不一定相似 D．无法判断【答案】A【解析】∵，∴这两个三角形一定相似．故选：A．【知识点】相似三角形的判定【难度】★【题型】选择题3．如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD，BC相交于O点，且将四边形ABDC分成甲,乙,丙,丁四个三角形．若OA∶OB＝OC∶OD＝2∶3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（）A．甲与丙相似，乙与丁相似B．甲与丙相似，乙与丁不相似C．甲与丙不相似，乙与丁相似D．甲与丙不相似，乙与丁不相似【答案】A【解析】∵OA∶OB＝OC∶OD＝2∶3，即，而∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∵，∴，∵∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD．故选：A．【知识点】相似三角形的判定【难度】★【题型】选择题4．如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】A,有两边对应边成比例但是夹角不相等，故两三角形不相似，符合题意.B,，，，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意.C,阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意.D,阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意.故选：A．【知识点】相似三角形的判定【难度】★【题型】选择题二,填空题5．底角相等的两个等腰三角形相似.(填“一定”或“不一定”)【答案】一定【解析】如图：∵∠B=∠C，∠E=∠F，∠B=∠E，∴∠C=∠F，∴△ABC∽△DEF.故答案为：一定．【知识点】相似三角形的判定【难度】★【题型】填空题6．在△ABC和△DEF中，．要使△ABC∽△DEF，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是（只需填写一个正确的答案）．【答案】∠B=∠E（或或）【解析】在△ABC和△DEF中，．要使△ABC∽△DEF，需要添加的条件是∠B＝∠E（或或），故答案为：∠B＝∠E（或或）．【知识点】相似三角形的判定【难度】★【题型】填空题7．如图，已知，则，．【答案】△ACD△ABE△BOD△COE【解析】∵，，∴△ACD∽△ABE，∵，，∴△BOD∽△COE，故答案为：△ACD，△ABE，△BOD，△COE．【知识点】相似三角形的判定【难度】★【题型】填空题三,解答题8．如图，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.求证：.

【答案】见解析.【解析】由图可知，，，，，，，∴，，；∴,∴.【知识点】相似三角形的判定【难度】★【题型】解答题9．如图，在△ABC中，∠C=90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D．求证：△ABC∽△EBD．【答案】见解析.【解析】∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°．∵∠C＝90°，∴∠EDB＝∠C．

∵∠B＝∠B，

∴∽．

【知识点】相似三角形的判定【难度】★【题型】解答题10．如图，D，E分别是ABC的边AB，AC上的点，AB＝9，BD＝7，AC＝6，CE＝3.求证：ADE∽ACB．【答案】见解析.【解析】∵AB＝9，BD＝7，AC＝6，CE＝3，∴AD＝AB﹣BD＝9﹣7＝2，AE＝AC﹣CE＝6﹣3＝3，∵，，∴，又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．【知识点】相似三角形的判定【难度】★【题型】解答题B卷（巩固）一,选择题1．下列各组条件中，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是()A．∠A=∠A′，∠B=∠B′B．∠C=∠C′=90°，∠A=12°，∠B′=78°C．∠A=∠B，∠B′=∠A′D．∠A＋∠B=∠A′＋∠B′，∠A－∠B=∠A′－∠B′【答案】C【解析】A．若∠A=∠A′，∠B=∠B′，则可判断△ABC∽△A′B′C′；B．∠C=∠C′=90°，∠A=12°，∠B′=78°，则∠A′=12°，所以∠A=∠A′，∠C=∠C′，则可判断△ABC∽△A′B′C′；C．若∠A=∠B，∠B′=∠A′，则△ABC和△A′B′C′都是等腰三角形，而等腰三角形不一定相似，即不能判定△ABC与△A′B′C′相似；D．若∠A+∠B=∠A′+∠B′，∠A﹣∠B=∠A′﹣∠B′，则∠A=∠A′，∠B=∠B′，则可判断△ABC∽△A′B′C′．故选：C．【知识点】相似三角形的判定【难度】★★【题型】选择题2．如图，根据图中给出的数据，一定能得到（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，，，，，又，，故选：C．【知识点】相似三角形的判定【难度】★★【题型】选择题3．如图，∠DAB＝∠CAE，下列条件中不能判断△DAE∽△BAC的是（）A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．【答案】D【解析】∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC，∴当添加条件∠D＝∠B时，符合两角分别相等的两个三角形相似，则△DAE∽△BAC，故选项A不符合题意；当添加条件∠E＝∠C时，符合两角分别相等的两个三角形相似，则△DAE∽△BAC，故选项B不符合题意；当添加条件时，符合两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，则△DAE∽△BAC，故选项C不符合题意；当添加条件时，则△DAE和△BAC不一定相似，故选项D符合题意.故选：D．【知识点】相似三角形的判定【难度】★★【题型】选择题4．如图，棋盘上有A，B，C三个黑子与P，Q两个白子，要使△ABC∽△RPQ，则第三个白子R应放的位置可以是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【解析】由图可知，BC=2，AB=AC=，PQ=4，所以PQ∶BC=4∶2=2，而与AC=比为2的数是，在甲,乙,丙,丁四点中，只有点丁与点P，Q连线的长度是，所以选择丁.故选：D.【知识点】相似三角形的判定【难度】★★【题型】选择题5．如图，在中，AC=BC=8，∠C=90°，以A点为圆心，AC长为半径作圆弧交AB于E，连接CE，再分别以C，E为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC与点D，连接DE，则下列说法中错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由作图方法可知，AP为CE的垂直平分线，AC=AE，∴DE=CD，∠ACE=∠AEC，故A不符合题意；∵AB=AC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∴，∴，∴∠EDB=∠DCE+∠DEC=45°=∠B，∴DE=BE，∠BED=90°，∴AB=AE+BE=AC+DE，故C不符合题意，∵，∠BED=∠BCA=90°，∴△BDE∽△BAC，故B不符合题意；∵AC=BC=8，∠ACB=90°，∴，∴，∴，故D符合题意.故选：D．【知识点】相似三角形的判定【难度】★★【题型】选择题6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】如图，标注字母，∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，由正方形可得：同理：∴△CEF∽△OME∽△PFN，∴OE∶PN=OM∶PF，∵EF=x，MO=3，PN=4，结合正方形的性质可得：OE=x-3，PF=x-4，∴（x-3）∶4=3∶（x-4），∴（x-3）（x-4）=12，即，∴x=0（不符合题意，舍去）或x=7．故选：C．【知识点】相似三角形的判定【难度】★★【题型】选择题7．如图，内接于，是的平分线，交于点M，交于点D，则图中相似三角形共有（

）A．2对 B．4对 C．6对 D．8对【答案】C【解析】是的平分线，，，，，，；，，；，，；，，；，，；，，；共有六对相似三角形.故选：C．【知识点】相似三角形的判定【难度】★★【题型】选择题8．如图，已知，，，是4个全等的等腰三角形，底边在同一直线上，且．连接，交于点，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，，，是4个全等的等腰三角形，∴，，，，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故选：D.【知识点】相似三角形的判定【难度】★★【题型】选择题二,填空题9．如图，D，E两点分别在线段和上，在下列四个条件中：①；②；③；④．其中能使与相似的是．(填序号)【答案】①②③【解析】∵,∴根据“两个三角形的两个角分别对应相等，则三角形相似”可证，故①满足题意；∵,∴根据“两个三角形的两个角分别对应相等，则三角形相似”可证，故②满足题意；∵,∴,∴根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可证，故③满足题意；∵，而与不一定相等，故④不满足题意.∴综上可得：①②③符合题意．故答案为：①②③．【知识点】相似三角形的判定【难度】★★【题型】填空题10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝．【答案】【解析】如图，∵BP＝5，BC＝4，∴CP＝1，∵PQ⊥AP，∴∠APQ＝90°＝∠ABC，∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，∴∠BAP＝∠BPQ，又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴∴CQ＝，故答案为：．【知识点】相似三角形的判定【难度】★★【题型】填空题11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=8，四边形ECGF为菱形，点G在AD上，点B在EF上，若菱形的一条对角线CF=，则菱形ECGF的另一条对角线EG的长度是．【答案】【解析】如图，连接，交于延长交于矩形菱形菱形故答案为：【知识点】相似三角形的判定【难度】★★【题型】填空题三,解答题12．如图，在四边形中，，于，且与延长线相交于，与相交于.求证：．【答案】见解析．【解析】，同理：，【知识点】相似三角形的判定【难度】★★【题型】解答题13．如图，为内一点，过点作，的平行线分别交于点，，连接并延长交于点．(1)求证：；(2)若，求证：．【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】（1）∵，∴，∴；（2）∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【知识点】相似三角形的判定【难度】★★【题型】解答题14．如图，在矩形中，，，为边上一点，连接，过作垂直．求证：；若设，，求与的函数解析式．【答案】见解析；（2）.【解析】∵四边形是矩形，∴．∵垂直，∴．∴．，．∴．∴；∵，∴．∴．∴．【知识点】相似三角形的判定【难度】★★【题型】解答题15．如图，在菱形中，是边上一点．(1)在的右侧求作，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若，求证：．【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】（1）如图，连接AC交BD于O，在BC右侧作∠CEF=∠CBD，再在射线EF截取EF=OB，连接AE,AF，则△AEF即为所要求作的三角形；（2）延长EF交AD延长线于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，又∵EF∥BD，EF=BD，∴四边形BEGD是平行四边形，∴EG=BD=2EF，∠G=∠CBD，又∵在菱形ABCD中，∠CBD=∠ABC，∴∠G=∠ABC，又∵，，又∵，，，，．【知识点】相似三角形的判定【难度】★★【题型】解答题C卷（拓展）一,选择题1．如图，四边形是正方形，是边的中点，是边上的一动点，下列条件中，△ABP不与△ECP相似的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，AB=CD=BC，∵E是CD的中点，∴CE:CD=1:2，即CE:AB=1:2，A、∵BP=PC，∴BP=PC=BC，没办法判定△ABP与△ECP中各边成比例，故A错误；B、∵∠APE=90°，∴∠APB+∠CPE=90°，∵∠BAP+∠APB=90°，∴∠BAP=∠CPE，∴△ABP∽△PCE，故B正确；C、∵∠APB=∠EPC，∴△ABP∽△EPC，故C正确；D、∵BP=2PC，∴PC:BP=1:2，∴PC:BP=CE:AB=1:2，∴△ABP∽△PCE，故D正确．故选：A．【知识点】相似三角形的判定【难度】★★★【题型】选择题二,填空题2．如图，在中，，在的外部和内部（不在边上）分别取一点，，若，，，的补角等于，则下列结论：①点在线段的垂直平分线上；②；③；④的最大值是14．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）【答案】①③【解析】∵，∴点A在线段的垂直平分线上，故①正确；∵，，，∴，但是，∴与不相似，故②错误；延长DA至F，如图：∵在△ABC中，，∴，∵+=180°，+=180°，∴，∵，∴，∴，故③正确；∵，，∴，∴不能确定BC的最大值，故④错误.∴正确的结论是：①③.故答案为：①③．【知识点】相似三角形的判定【难度】★★★【题型】填空题三,解答题3．如图1，在中，，，，动点从点开始沿边匀速向运动，动点从点开始沿边匀速向运动，它们的运动速度均为1cm/s．点和点同时出发，设运动的时间为，．图1图2(1)用含的代数式表示；(2)当以点,,为顶点的三角形与相似时，求的值；(3)如图2，延长,，两延长线相交于点，当为直角三角形时，直接写出的值（不用写过程）．【答案】(1)；(2)以点,,为顶点的三角形与相似时，或；(3)当为直角三角形时，的值为或．【解析】（1）由题意得，，∴；（2），，，由（1）得，当时，，∴，解得；当时，，∴，解得；综上，以点,,为顶点的三角形与相似时，或；（3）作于点D，∵，，，∴，，当时，则，∴，即，解得；当时，作于点N，，∴，∴，∴，即，∵，，∴，∴，即，∴，，则，∴，解得；综上，当为直角三角形时，的值为或．【知识点】相似三角形的判定【难度】★★★【题型】解答题4．已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是平面内一点.（1）如图1，BD⊥CD，∠DCA=30°，则∠BAD=；（2）如图2，若∠BDC=45°，点F是CD中点，求证：AF⊥CD；（3）如图3，∠BDA=3∠CBD，BD=，求△BCD的面积.【答案】（1）15°；（2）见解析；（3）.【解析】（1）∵AB=AC,∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DCA=30°，∴∠BCD=45°-30°=15°，又∵BD⊥CD，∴∠CBD=90°-15°=75°，∴∠ABD=75°-45°=30°，在Rt△ACE和Rt△BDE中，∠ACE=30°，∠ABD=30°，∴,，在△CEB和△AED中，∠CEB=∠AED，，∴△CEB∽△AED，∴∠BAD=∠BCD=15°；（2）如图，作三角形BCD的外接圆，则∠BCD为圆周角，∵∠BDC=45°，∴所对的圆心角为90°，∵∠BAC=90°，∴点A即为△BCD的外接圆的圆心，∴AC=AD，∵点F是CD中点，∴AF⊥CD；（3）如图，过点D作DE⊥BC于点E，∵AB=AC,∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠BDA=3∠CBD，∠BDA=∠C+∠CBD，∴∠C=2∠CBD，∵∠ABC=∠ACB，∠ABC=∠ABD+∠CBD，∴∠ABD=∠CBD，又∵∠BAC=90°，DE⊥BC，∴DE=AD，设DE=AD=a，易得△CED为等腰直角三角形，∴CD=，∴AB=AC=，∵BD=，∴在Rt△ABD中，，解得,∴AB=AC=，∴BC=，∴.【知识点】相似三角形的判定【难度】★★★【题型】解答题5．如图，为坐标原点，二