2025年全国统一高考数学试卷（全国二卷）含答案

2025年普通高等学校招生全国统一考试

数学

（使用地区：山西、内蒙古、辽宁、吉林、黑龙江、广西、海南、重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、

甘肃、青海、宁夏、新疆）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.样本数据2，8，14，16，20的平均数为（）

A.8B.9C.12D.18

2.已知i，则（）

1

�−1

A.i�=1+=B.iC.D.1

−−1

3.已知集合则（）

3

A.�={−4,0,1,2,8},�=�∣�=�,�∩�B=.

C.{0,1,2}D.{1,2,8}

{2,8}{0,1}

4.不等式的解集是（）

�−4

�−1

A.≥2B.

C.{�∣−2≤�≤1}D.{�∣�≤−2}

{�∣−2≤�<1}{�∣�>1}

5.在中，，，，则（）

A.△�����=2�B�.=1+3��=6C�.=D.

45°60°120°135°

6.设抛物线的焦点为，点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的

2

方程为�:�=，2�则�(�>0)（）��

A.3�=−2�+2|��B|.=4C.5D.6

7.记为等差数列的前n项和，若则（）

�����3=6,�5=−5,�6=

A.B.C.D.

−20−15−10−5

8.已知，，则（）

�5�

0<�<�cos2=5sin�−4=

A.B.C.D.

223272

1051010

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.记为等比数列的前n项和，为的公比，，若，则（）

���33

A.����B�.>0�=7,�=1

11

259

C.�=D.�=S

�5=8��+�=8

10.已知是定义在R上的奇函数，且当时，e，则（）

2�

A.�(�)�>0B�.�当=�时−，3+2e

2−�

C.�(0)=0当且仅当D.�<0是�的�极=大−值�点−3−2

�(�)≥2�≥3�=−1�(�)

11.双曲线的左、右焦点分别是、，左、右顶点分别为，，以为直

22

��

2212

�:�−�=1(�>0,�>0)�1�2�1�2��

径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（）

5�

∠��1�=6

A.B.

�

∠�1��2=612

C.C的离心率为D.当��=2时�，�四边形的面积为

13�=2��1��283

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知平面向量若，则＿＿＿＿＿.

�=(�,1),�=(�−1,2�),�⊥�−�|�|=

13.若是函数的极值点，则＿＿＿＿＿.

�=2�(�)=(�−1)(�−2)(�−�)�(0)=

14.一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，

则铁球半径的最大值为4�＿�＿＿＿＿9𝑐．

𝑐

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知函数π．

1

2

（1）求；��=cos2�+�(0≤�<),�0=

π

（2）设函�数，求的值域和单调区间．

�(�)=�(�)+��−6�(�)

16.（15分）已知椭圆的离心率为，长轴长为4．

22

��2

22

（1）求C的方程；�:�+�=1(�>�>0)2

（2）过点（）的直线l与C交于，B两点，为坐标原点，若的面积为，求．

0,−2��△���2|��|

17.（15分）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，

，将四边��形𝐵沿��//翻𝐵折,∠至�四��边=形90°，使得面与面EFCB所成�的�二//面𝐵角

''''

�为�=3．𝐵,𝐵=2𝐵�𝐵����𝐵��𝐵�

60°

（1）证明:平面；

''

（2）求面��/与/面𝐵�所成的二面角的正弦值．

'''

�𝐵�𝐵�

18.（17分）已知函数，其中．

1231

23

（1）证明：在区间�(�)=ln(1存+在�唯)−一�的+极值�点−和��唯一的零点0<；�<

（2）设�分(�别)为(在0,区+间∞)的极值点和零点.

（i）设函�1数,�2�(�)(0,+∞)·证明：在区间单调递减；

（ii）比较�(�与)=的�大�1小+，�并−证�明�1你−的�结论．�(�)0,�1

2�1�2

19（.17分）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，

1

2

乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立，对正整数，记为打完k个球后�甲比<乙�至<少1多

得2分的概率，�为+打�完=k1个球后乙比甲至少多得2分的概率．�≥2��

（1）求（用��p表示）．

34

（2）若�,�，求p．

�4−�3

�4−�3=4

（3）证明：对任意正整数m，．

�2�+1−�2�+1<�2�−�2�<�2�+2−�2�+2

参考答案

一、单选题

1-5：CADCA6-8：CBD

二、多选题

9.AD10.ABD11.ACD

三、填空题

12.13.14.

2−42.5

四、解答题

π

15.（1）

�=3

（2）函数的值域为；

函数的�单(�调)递减区间[为−3,3]，单调递增区间为．

�5�5�11�

�(�)−12+��,12+��,�∈Z12+��,12+��,�∈Z

16.（1）

22

��

（2）4+2=1

5

17.（1）证明：设AD=1，所以AB=3，CD=2，因为F为CD中点，所以DF=1，因为EF∥AD，AB∥CD，

所以AEFD是平行四边形，所以AE∥DF，所以A'E∥D'F，

因为D'F平面CD'F，AE平面CD'F，所以A'E//平面CD'F，

因为FC∥⊂EB，FC平面C⊄D'F，EB平面CD'F，所以EB//平面CD'F.

又EB∩A'E=E，EB⊂，AE平面A'EB⊄，所以平面A'EB//平面CD'F，

又AB平面A'EB，所以⊂A'B//平面CD'F.

（2）⊂

42

7

（）证明：由题得，

18.12

'12�221

�(�)=1+�−1+�−3��=1+�−3��=�1+�−3�

因为，所以，设，

21

�∈(0,+∞)�>0�(�)=1+�−3�,�>0

则在上恒成立，所以在上单调递减，

1

'2

�(�)=−(1+�)<0(0,+∞)�(�)(0,+∞)

，令，

1

�(0)=1−3�>0��1=0⇒�1=3�−1

所以当时，，则；当时，，则，

''

�∈0,�0�(�)>0�(�)>0�∈�0,+∞�(�)<0�(�)<0

所以在上单调递增，在上单调递减，

�(�)0,�0�0,+∞

所以在上存在唯一极值点，

�(�)(0,+∞)

对函数有在上恒成立，

'1�

�=ln (1+�)−��=1+�−1=−1+�<0(0,+∞)

所以在上单调递减，

�=ln (1+�)−�(0,+∞)

所以在上恒成立，

�=ln (1+�)−�<��=0=0(0,+∞)

又因为时，

12312

�(0)=0,�→+∞2�−��=2�(1−2��)<0

所以时，

�→+∞�(�)<0

所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点．

22

（2）证明：（i）�由∈（(01,）+知∞)��，则=0�(�)(0,+∞)，

11'211

�1=3�−1�1+1=3�,�(�)=�1+�−1+�1

∵

�(�)=��1+�−��1−�

则

'211211

�(�)=�1+��1+�+1−1+�1+�1−��1−�+1−1+�1

222