2024年上海市田家炳中学特色课程班中考第七次模拟数学试题（解析版）

2023-2024学年度上海市田家炳特色课程班中考第七次模拟测试卷（满分：150分考试时间：100分钟）一．选择题（共24分）1.第19届亚运会在杭州举办，组委会招募志愿者约152万．将152万用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．【详解】将152万用科学记数法表示为．故选：C．2.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据整式的减法、积的乘方、同底数幂的乘法以及完全平方公式逐项计算即可作答．【详解】A项，，计算正确，故本项符合题意；B项，，原计算错误，故本项不符合题意；C项，，原计算错误，故本项不符合题意；D项，，原计算错误，故本项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了整式的减法、积的乘方、同底数幂的乘法以及完全平方公式，掌握相应的运算法则及完全平方公式，是解答本题的关键．3.我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条-1，据此列出方程组即可．【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：，故选：A．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．4.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可作答．【详解】，解不等式，得：；解不等式，得：；即不等式组的解集为：，在数轴上表示为：故选：C．【点睛】本题主要考查了求解不等式组的解集并在数轴上表示解集的知识，注意，含端点时用实心点，不含端点时，用空心点．5.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．下列反映电流与电阻之间函数关系的图象大致是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据电流与电阻之间函数关系可知图象为双曲线，并且在第一象限，即可得到答案．【详解】∵反比例函数的图象是双曲线，且，，∴图象是第一象限双曲线的一支．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，并结合实际意义去判断图象，数形结合思想是关键．6.已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是()A.或 B.或C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得．令，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出与的表达式，代入解不等式并求出t的取值范围即可．【详解】解：∵的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，∴．令，则，．将点和点代入，得；将点和点代入，得．∴，，∴，∴．∵，∴，∴．①当时，，∴不符合要求，应舍去；②当时，，∴符合要求；③当时，，∴不符合要求，应舍去；④当时，，∴符合要求；⑤当时，，∴不符合要求，应舍去．综上，t取值范围是或．故选：D．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解不等式是本题的关键．二．填空题（共48分）7.因式分解：____________.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用分组法进行因式分解成为解题的关键.将分成，然后各组分别因式分解，最后提取公因式即可.【详解】解：故答案为：8._________【答案】【解析】【分析】本题主要考查了含直角三角形的性质、等腰三角形的性质、正切的定义等知识点，正确作出符合题意的直角三角形成为解题的关键．如图，作，使，延长到A，使，连接．根据直角三角形和等腰三角形的性质可得；设，易得，最后根据正切的定义即可解答．【详解】解：如图，作，使，延长到A，使，连接．∵，∴．∵，∴．设，∴．∴．∴．故答案为：．9.在函数y=中，自变量x的取值范围是_____．【答案】.【解析】【详解】求函数自变量取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须.10.不等式的解集为_________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了求不等式解集，掌握不等式的性质成为解题的关键．根据不等式的性质求不等式的解集即可．【详解】解：，，，．故答案为：．11.正十边形的中心角的余弦值为____________【答案】【解析】【分析】本题考查了正多边形的中心角、余弦的定义，根据正多边形的中心角的定义即可得出中心角的度数，再根据余弦的定义即可得出答案．【详解】解：正十边形的中心角度数为：，∴正十边形的中心角的余弦值为，故答案为：．12.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为__________.【答案】7人【解析】【分析】设共有x人，价格为y钱，根据题意列出二元一次方程组即可求解．【详解】解：设共有x人，价格为y钱，依题意得：，解得：，答：物品价格为53钱，共同购买该物品的人数有7人,故答案为：7．【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组即可求解．13.如图，在中，中线相交于点F，设，那么向量用向量表示为_______．【答案】【解析】【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角形法则等知识．根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质可得，利用三角形法则求出即可．【详解】解：连接，∵中线相交于点F，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，又∵点D是的中点，∴，故答案为：．【点睛】14.如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段表示“铁军”雕塑的高，点，，在同一条直线上，且，，，则线段的长约为__________m.（计算结果保留整数，参考数据：）【答案】【解析】【分析】由，可得，可推得，由三角函数求出即可．【详解】∵，，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴解得，故答案为：．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出的长是解题关键．15.如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则______．【答案】【解析】【分析】连结、，轴，由得到．由得到，则，再根据反比例函数图象所在象限即可得到满足条件的k的值．【详解】解：如图，连结、，∵轴，∴．∴．∵，∵，∴，∵图象位于第一象限，则，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数形结合的思想是解答问题的关键．16.如图，边长为的正方形内接于，分别过点A，D作⊙O的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是________．【答案】【解析】【分析】连接，，证明四边形是正方形，由勾股定理求得，根据阴影部分面积求解即可．【详解】解：如图所示，连接，，∵、是的切线，∴，，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴四边形是正方形，∵，∴，∴，∴阴影部分面积故答案为：．【点睛】本题考查切线的性质，正方形的判定与性质，扇形的面积，勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质、正方形的判定得出圆的半径是解题的关键．17.如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为________．【答案】【解析】【分析】依据题意，在中，，，从而，可得，又结合题意，，进而，故可得点坐标，代入解析式可以得解．【详解】解：如图，作轴，垂足为．由题意，在中，，，．．．又绕点顺时针旋转至的位置，．．又点是的中点，．在中，，．，．又在上，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，旋转的性质，勾股定理等知识，解题时需要熟练掌握并灵活运用是关键．18.按一定规律排列的单项式：，，，，．则按此规律排列的第n个单项式为________．（用含有n的代数式表示）【答案】【解析】【分析】根据系数和字母的次数与单项式的序号关系写出即可．【详解】解：系数为，次数为1；系数为，次数为2；系数为，次数为3；系数为，次数为4；第n个单项式的系数可表示为：，字母a的次数可表示为：n，∴第n个单项式为：．【点睛】本题考查数字变化类规律探究，掌握单项式的系数和次数并发现其变化规律是解题的关键．三．解答题（共78分）19.计算：．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，化简绝对值以及二次根式的分母有理话，计算零次幂，最后再算加减法．【详解】解：20.解方程组：【答案】，【解析】【分析】本题考查了解二元二次方程组，熟练掌握和运用解二元二次方程组的方法是解决本题的关键．首先把第二个方程分解因式，得到两个二元一次方程，再组合成二个二元一次方程组，分别解方程组即可．【详解】解：由②得：或所以原方程组可化为两个二元一次方程组：或分别解这两个方程组，得原方程组的解是，21.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，四边形是平行四边形，直线经过点C，交x轴于点D，（1）求m的值；（2）点是线段上的一个动点(点P不与O，B两点重合)，过点P作x轴的平行线，分别交于点E，F，G．设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式(直接写出自变量t的取值范围)；（3）在（2）的条件下，点H是线段上一点，连接交于点M，当以为直径的圆经过点M时，恰好使．此时点H的坐标为_________【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据直线求出点A、B的坐标，从而得到的长度，再根据平行四边形的对边相等求出的长度，过点C作轴于K，从而得到四边形是矩形，根据矩形的对边相等求出的长度，从而得到点C的坐标，然后把点C的坐标代入直线即可求出m的值．（2）延长交y轴于N分别过点E，G作x轴的垂线，垂足分别是R，Q，则四边形、四边形、四边形是矩形，再利用的正切值求出的长度，利用的正切值求出的长度，再利用的长度减去的长度，再减去的长度，计算即可得解．（3）根据平行四边形的对边平行可得，再根据平行线内错角相等求出，用t表示出，再根据与的正切值相等列式求出的长度，再表示出的长度，然后根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角推出∠BGP=∠BOC，再利用∠BGP与∠BOC的正切值相等列式求解即可得到t的值；先根据加的关系求出，再判定和相似，根据相似三角形对应边成比例可得，再根据，求出，利用勾股定理求出的长度，代入数据进行计算即可求出的值，然后求出的值，从而得到点H的坐标．【小问1详解】解：如图，过点C作轴于K，∵交x轴和y轴于A，B，∴．∴．∵四边形是平行四边形，∴．又∵四边形是矩形，∴．∴．将代入，得：，解得：．【小问2详解】解：如图，延长交y轴于N分别过点E，G作x轴的垂线，垂足分别是R，Q，则四边形、四边形、四边形是矩形．∴．∵，即，∴．∵交x轴和y轴于D，N，∴．∴．∵，∴．又∵，∴．∴．【小问3详解】解：如图：∵四边形是平行四边形，∴．∴．∵，∴．∴．由（2），∴．∵以为直径的圆经过点M，∴．∴．∴．∴，解得．∵，∴．∴，即．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．故答案为：．【点睛】本题属于一次函数的综合，主要考查了直线与坐标轴的交点问题、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、解直角三角形的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．22.视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．素材1国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．探究1检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．素材2图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．探究2当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．素材3如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．探究3若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．【答案】探究检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；探究；探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．【解析】【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将代入得：；探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得；探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案．【详解】探究由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，设，将其中一点代入得：，解得：，，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；将代入得：；答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；探究，在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，当时，，，；探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得，由探究1知，，解得，答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决．23.如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接．（1）求证：是的切线；（2）若，，求．【答案】（1）见解析，（2）【解析】【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，菱形的性质，勾股定理，求角的正弦值，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）根据菱形的性质得出，根据，可得，进而即可得证；（2）连接交于．连接，先根据菱形的性质以及勾股定理求得，进而根据等面积法求得，在中，求得，再证明由得，由此即可解题.【小问1详解】证明：①四边形是菱形，，，则又为的半径的外端点，是的切线．【小问2详解】解：连接交于．连接，菱形，，，，，在中，，，，，在中，，∵∴为直径，，而，又．∴．24.抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是，过点D作直线轴，垂足为点E，交直线于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长；（3）若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形是矩形邻边之比为时，请直接写出点P的横坐标．【答案】（1）（2）或（3）或【解析】【分析】（1）将点，代入解析式即可求解；（2）可求直线的解析式为，可得，，，①当时，可求，，即可求解；②当时，，，即可求解；（3）①当在对称轴的左侧时，得到是矩形，邻边之比为，即，即可求解；②当在对称轴的右侧时，同理可求．【小问1详解】解：由题意得解得，故抛物线表达式；【小问2详解】解：当时，，，设直线的解析式为，则有，解得：，直线的解析式为，点D横坐标是，过点D作直线轴，，，，①如图，当时，，，，整理得：，解得：，，，不合题意，舍去，，；②如图，当时，，，，整理得：，解得：，（舍去），；综上所述：线段的长为或．【小问3详解】解：设点，，当四边形是矩形时，则为直角，①当在对称轴的左侧时，如图，过作轴