湖南省名校联盟2026届新高三起点检测数学试卷 含解析

常德市届高三起点考试试题卷数学命题人注意事项：本试卷共6页，其中试题卷4页，答题卡2页满分分，考试时间分钟答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先明确集合，再根据交集的概念求.【详解】由，所以.所以.故选：D2.若复数（其中（）A.2B.C.D.10【答案】C【解析】【分析】方法一：先根据复数的乘法运算确定复数，在求复数的模.方法二，根据复数模的性质，可求复数的模.【详解】方法一：因为，所以.第1页/共16页方法二：因为，所以.故选：C3.已知等差数列的首项为1，公差为2，前项和为，则（）A.14B.30C.42D.60【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式计算即得【详解】因为等差数列的首项，公差为，所以故选：B.4.双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】曲线中的关系，即可求解.【详解】由题意得，双曲线的渐近线方程为，因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，所以渐近线为，且，所以，所以双曲线的离心率为.故选：B.5.函数的导函数的图象如图所示，则（）第2页/共16页A.是函数的一个零点B.是函数的极小值点C.是函数的极大值点D.函数在区间上单调递增【答案】D【解析】【分析】由图可知为导函数的图象，导函数图象的正负即可判断原函数的增减，依次判断即可.【详解】根据导函数的图像可知，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，可知是函数的极值点，不足以说明是函数零点.因为函数在上单调递增，可知不是函数极小值点，也不是函数的极大值点，所以ABC不正确，故D正确.故选：D.6.将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为，现采用随机模拟的方法估计的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，若出现“恰有1次反面朝上”的频率记为，则（）001010000101010000101010001100101001A.B.C.D.0【答案】B【解析】第3页/共16页【分析】根据题意，可直接得到“连掷三次，恰出现1次反面朝上”的概率；根据题中数据，列举出“连掷三次，恰出现1次反面朝上”所包含的情况，即可得出；即可的值.【详解】由题意可得，将一枚质地均匀硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率；由表中数据可得，“1次反面朝上”101101101共7组，所以.所以.故选：B.7.已知，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由求得和得代入的展开式即得结果.【详解】由得①由，得，即②所以，，所以.故选：C.8.将6名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，学生不安排到甲地且与学生不安排到同一个地方，则不同的安排方案的种数为（）A.260B.280C.360D.390【答案】A第4页/共16页【解析】【分析】分三地分别有1人、1人、4人，人、人、人，各有2人三种情况讨论，在每种情况中用总数减去去甲地和、去同一个地方的情况数，再加上、去甲地的情况数，即可得到答案.1）三地分别有1人、1人、4人共有种；①去甲地，如果甲地有人，则有种，如果甲地有人，则有种，所以去甲地共有种；②、去同一个地方，有种；③、去甲地，有种；所以，三地分别有1人、1人、4人的情况下，符合题意的共有种；（2）三地分别有人、人、人共有种；①人，有种，所以去甲地共有种；②、去同一个地方，如果这个地方有人，有种，如果这个地方有人，有种，所以、去同一个地方共有种；③、去甲地，如果甲地有2人，则有种，如果甲地有3人，则有种，所以、去甲地共有种；所以，三地分别有人、人、人的情况下，共有种；（3）三地各有2人，共有种；①去甲地，有种；②、去同一个地方，有种；③、去甲地，有种；所以，三地各有2人的情况下，符合题意的共有种；第5页/共16页综上，符合题意的安排方案共有种，故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分．9.下列说法中不正确的是（）A.以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥D.棱台的各侧棱延长后必交于一点【答案】ABC【解析】【分析】根据圆台，棱柱，正棱锥，棱台的定义判断.【详解】对于A，以直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台，否则不是，A错；对于B，下面的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，B错；对于C，底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面中心的棱锥才是正棱锥，C错；对于D，棱台可以看作是用平行于棱锥的底面的平面截棱锥所得，因此它的各侧棱延长后必交于一点，D正确，故选：ABC.10.下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】第6页/共16页【分析】先用偶函数的定义判断各选项，再通过举反例或利用导数判断其在上的单调性即可.【详解】对于A，，定义域为，，所以是偶函数，且在上单调递增，故A正确；对于B，，定义域为，，所以是偶函数，当时，令得，即在上单调递减，故B不正确；对于C，，定义域为，，所以是偶函数，，所以上不单调递增，故C不正确；对于D，，定义域为，，所以是偶函数，当时，，恒成立，所以在上单调递增，故D正确.故选：AD.已知随机事件发生的概率满足，且事件与互斥，则下列说法正确的是（）A.B.与相互独立C.D.若与相互独立，则【答案】ABD【解析】【分析】根据互斥得到，由计算可判断A；根据第7页/共16页求出，结合的值可判断B；由A与互斥，得与可判断C与结合求得，根据条件概率公式求得即可判断D.A，与，A正确；对于B，，即，故，故，与相互独立，B正确；对于C，A与互斥，故与互斥，故，C错误；对于D，因为与相互独立，，又，∴，∴，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．12.已知向量满足，则_____．【答案】【解析】【分析】将平方，用数量积的运算律展开结合即可得解.【详解】∵∴由平方，得，∴故答案为：13.二项式的展开式中，含项的系数是_____第8页/共16页【答案】84【解析】【分析】由二项式定理求解.【详解】二项展开式通项公式为，所以的系数为，即，故答案为：84.14.某种食品的袋装质量服从正态分布10000的约有_____）附：若随机变量服从正态分布，则，，．【答案】8186【解析】【分析】先结合正态分布的性质求，再求即得答案.【详解】因为，所以，由.故答案为：8186四、解答题：本题共5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数，求：（1“所选3人中女生人数”概率；（2）的分布列、均值与方差．【答案】（1）（2）分布列见解析，，【解析】1）分和两种情况求得概率之和；第9页/共16页（2）根据超几何分布求得概率，从而求得分布列、均值和方差.【小问1详解】“所选3人中女生人数”的概率.【小问2详解】因为从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，随机变量表示所选3人中女生的人数，所以的可能取值为0，1，2，，，所以的分布列为012所以.，.16.在中，已知分别为三个内角的对边，且．（1）求角；（2）若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．【解析】1）利用辅助角公式将化成，结合角的取值范围，可求角.（2）利用余弦定理，结合基本不等式，可求的最大值，再利用三角形的面积公式，可求三角形面积的最大值.【小问1详解】第10页/共16页因为，所以又因为.所以，故.【小问2详解】由余弦定理，，所以．又因为，所以，即.当且仅当时取等号．所以面积.所以面积的最大值为.17.已知椭圆是椭圆线与直线的斜率分别为．（1）证明：直线与直线的斜率之积为定值；（2）若，求的面积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）由在椭圆上直接计算可得；（2）结合（1）可求得点坐标，再结合顶点坐标，可得三角形面积.【小问1详解】由题意，设点，则，第11页/共16页又由点在椭圆上，可得，即，所以，即直线与直线的斜率之积为定值；（说明：直接由二级结论得结果，给2分）【小问2详解】因为，解得：或，当时，则，解得，同理当时，解得，所以的面积.18.如图，四棱锥中，为正三角形，，，为线段的中点．（1）在平面内，过点作平面的平行线，并证明；（2）若，证明：平面平面；（3）若四点在以为半径的球面上，求四棱锥的体积．【答案】（1）作图及证明见解析；第12页/共16页（2）证明见解析；（3）.【解析】1）作出直线，利用线面平行的判定推理得证.（2）利用线面垂直的判定、面面垂直的判定，结合勾股定理的逆定理推理得证.（3）延长至，建立空间直角坐标系，求出点到平面的距离，进而求出锥体的体积.【小问1详解】如图，连接，直线即为直线，取的中点，连接，则，而，则，四边形为平行四边形，因此，又平面平面，所以平面.【小问2详解】由，且，得，又为正三角形，则，又，则，，而，于是，又平面，则直线平面，又平面，所以平面平面.【小问3详解】延长至，使得，即，连接，又，则四边形为正方形，连接，第13页/共16页过点作平面，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，由四点在以为半径的球面上，由球的性质知球心在轴上，设点，于是，解得，即，又为正三角形，连接，则，又平面，于是平面，点在坐标平面内，设点，又，则，解得，因此四棱锥的高，直角梯形的面积，所以四棱锥的体积．19.设函数，．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；（3是函数与与在点处的切线互相垂直，求证：存在唯一的满足题意，且．【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，根据直线方程的点斜式可得结果；第14页/共16页（2）将问题转化为对任意的恒成立，令分类讨论，利用导数可求得结果；（3）根据导数的几何意义求出函数与在点处的切线的斜率，再根据切线垂直可得，根据点是函数与的一个交点，可得，消去可得，构造函数，利用导数可证结论成立.1）当时，，，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）因为对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，，则，当时，因为，所以，所以，不合题意；当时，因为，所以，所以，所以在上单调递增，故要使对任意的恒成立，只需，即，得.所以的取值范围为.（3）因为，，第15页/共16页且函数与在点处的切线互相垂直，所以，即，①又点是函数与的一个交点，所以，②联立①②