中考数学复习 压轴强化专题训练 真题演练

中考数学复习压轴强化专题训练真题演练第一部分压轴题强化训练题 1专题训练一等腰三角形的存在性问题 专题训练二相似三角形的存在性问题 专题训练三直角三角形的存在性问题 专题训练四平行四边形的存在性问题 专题训练五梯形的存在性问题 专题训练六面积的存在性问题 专题训练七相切的存在性问题 专题训练八线段和差最值的存在性问题 专题训练九由比例线段产生的函数关系问题 专题训练十由面积产生的函数关系问题 专题训练十一代数计算及通过代数计算进行说理问题 76专题训练十二几何证明及通过几何计算进行说理问题 第二部分填空题、选择题中的动态图形训练题 91一、图形的平移 91二、图形的翻折 96三、图形的旋转 五、四边形 六、圆 七、函数的图象及性质 八、新定义 第一部分压轴题强化训练题专题训练一等腰三角形的存在性问题针对训练1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3,4),点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标.2.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P点或Q点到达终点时停止运动。在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求时间t的值。3.如图，直线y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q,如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标。24.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BCBC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止。过点E作EF//AC(1)直接写出线段BE、EF的长(用含t的代数式表示)(2)在整个运动过程中，△DEF能否为等腰三角形?若能，请求出t的值；若不能请说明理由。5.如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=16,BC=12。点E在射线BC上，点F在线段上，且当△DEF为等腰三角形时，求x的值。6.如图，已知抛物线y=-x²-2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),顶点为D。点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求点Q的坐标。7.如图，在等腰直角三角形BCE中，斜边BC=4√2,P是BE延长线上一点，连接PC,以PC为直角边向下方作等腰直角三角形PCD,CD交线段BE于点F。若PE=x,当△BDF为等腰三角形时，求x的值。38.如图，已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点。P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点D。(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);(2)当△APD是等腰三角形时，求m的值。9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=10,M是边AC的中点，CH⊥BM于点H,点D在边AB上，如果△AHD为等腰三角形，求AD的长。10.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,点E是边CD上任意一点(不与点C、D重合)。过点A作AF⊥AE,交边CB的延长线于点F,连接EF,交边AB于点G。如果△AEG是等腰三角形，求线段DE的长。4真题演练O重合),连接AP。过点P作PQ⊥AP,交x轴于点Q,连接AQ。(1)求线段AP长度的取值范围。512.如图，在菱形ABCD中，∠ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F。①求证：AE=AF;MN,若AB=4,AC=2,则当CE为何值时，△AMN是等腰三角形。6作图区解答区13.(20绵阳25)如图，在矩形ABCD中，对角线相交于点O,OM为△BCD的内切圆，切点分(2)点H从点A出发，沿线段AD向点D以每秒3个单位长度的速度运动，当点H运动到点D时停止，过点H作HI//BD交AC于点I,设运动时间为t秒。①将△AHI沿AC翻折得到△AHT,是否存在时刻t,使点H′恰好落在边BC上?若存在，求t的值；若不存在，请说明理由；②若点F为线段CD上的动点，当△OFH为正三角形时，求t的值。作图区714.(22邵阳26)如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax²+bx+c相交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C(3,0)在抛物线上。(1)求该抛物线的表达式；(2)正方形OPDE的顶点O为坐标原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标；(3)在条件(2)下，点Q是线段CD上的动点(点Q不与点D重合),将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD′,连接CD′,求线段CD′长度的最小值。815.(22遂宁25)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与9(2)如图1,E为△ABC的边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，点D的坐标为(0,-2),求△DEF周长的最小值；(3)如图2,N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，点M、N均在第一象限内，点B、N位于直线AM的同侧，若点M到x轴的距离为d,△AMN的面积为2d,当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标。作图区解答区专题训练二相似三角形的存在性问题针对训练1.如图，抛物线x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C。动直线EF(EF//x轴)从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位长度的速度向原点O运动。是否存在t的值，使得△BPF与△ABC相似?若存在，试求出t的值；若不存在，2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A(1,3)、B(0,1)。(1)求抛物线的表达式及其顶点坐标。(2)过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C。在y轴上取一点P,使△ABP与△ABC相似，3.如图，△ABC中，AB=5,AC=3,。点D在AB边上(点D不与点A、点B重合),作DE//BC交AC于点E。在BC边上是否存在点F,使△ABC与△DEF相似?若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由。4.如图，抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点D,顶点为C。(1)求此抛物线的解析式。(2)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,过M作MN⊥x角形与△BCD相似?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。5.如图，已知A(4,0)、B(0,2)、C(1,3),过点C作x轴的垂线1交AB于点P,如果点Q是直线6.如图，抛物线与x轴正半轴交于点A和点B,与y轴交于点C,点P是第一象限内的点，连接BC,△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形。点Q在x轴上，若以Q、0、P为顶点的三角形与以C、A、B为顶点的三角形相似，求点Q的坐标。7.如图，抛物线经过A(3,0)、B(0,2)两点。M(m,0)为线段OA上的一个动点(点M与点A不重合),过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N。(1)求直线AB的解析式和抛物线的解析式；(2)如果以B、P、N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标。点D是第一象限内抛物线上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC,当合),点P关于直线AC、AB的对称点分别为点M、N,连接MN交边AB于点F,交边AC于点E。连接AM,当点P在边BC上运动时，△AEF与△ABM是否一定相似?若是，请证明；若不是，请求出当△AEF与△ABM相10.如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(-2,-2),B(1,4),C(-4,4)。如果真题演练11.(19攀枝花23)已知抛物线y=-x²+bx+c两点，与y轴相交于点C(0,3)。(2)直线1与x轴相交于点P,的对称轴为直线x=1,其图象与x轴相交于A、B①如图1,若1平行于y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E、F,点C关于直线x=1的对称点为D,求四边形CEDF面积的最大值；②如图2,若直线1与线段BC相交于点Q,当△PCQ∞△CAP时，求直线1的表达式。作图区解答区12.(21泸州25)如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相(1)求证：∠ACB=90°。(2)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交直线BC于点E,交x轴于点F。①求DE+BF的最大值；②点G是AC的中点，若以点C、D、E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标。13.(20成都28)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,-2)。(1)求抛物线的函数表达式。(2)如图1,点D为第四象限抛物线上一点，连接AD、BC交于点E,连接BD,记△BDE的面(3)如图2,连接AC、BC,过点O作直线l//BC,点P、Q分别为直线l和抛物线上的点。试探究：在第一象限是否存在这样的点P、Q,使△PQBc△CAB。若存在，请求出所有符合条件的点14.(21陕西25)已知抛物线y=-x²+2x+8与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C。(1)求点B、C的坐标。(2)设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称，在y轴上是否存在点P,使△PCC与△POB相似，且PC与PO是对应边?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。15.(22衡阳25)如图1,已知抛物线y=x²-x-2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”,图象W交y轴于点C。(1)写出图象W位于线段AB上方部分的函数关系式；(2)若直线y=-x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM//y轴交直线BC于点M,交图象W于点N,是否存在这样的点P,使△CMN与△OBC相似?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。作图区解答区专题训练三直角三角形的存在性问题1.如图，在直角坐标平面内，O为原点，二次函数y=-x²+2x+3的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,顶点为P。如果点Q是x轴上一点，以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，求2.如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-2,0),点B是点A关于原点的对称点，P是函数图象上的一点，且△ABP是直角三角形，求点P的坐标。3.如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4,MA=1,MB>1。以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设AB=x,若△ABC为直角三角形，求x的值。4.如图，抛物线y=-x²+4x-3与x轴交于A、B两点(A在B的左边),与y轴交于点D。在抛物线上是否存在一点P,使得△BDP是直角三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。OA=4,OC=2。点P在线段OA上，将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得到点D,点D随点P的运动而运动，连接DP、DA。设OP=t。(1)请用含t的代数式表示出点D的坐标；(2)在点P从点O向点A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形?若能，求出t的值。若不6.如图，已知A点坐标为(2,0),点B(3,m)在抛物线,连接AB,该抛物线上是否存在点C,使△ABC是以AB为直角边的等腰直角三角形?如果存在，求出点C的坐标；如果7.如图，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点(1)求点A、B的坐标；(2)若直线1过点E(4,0),M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线1的解析式。8.如图，在菱形ABCD中，AB=5,连接BD,sin点P是射线BC上的一个动点(点P不与点B重合),连接AP,与对角线BD相交于点E,连接EC。(1)求证：AE=CE;(2)当点P在线段BC的延长线上时，若△PEC是直角三角形，求线段BP的长。DD△ACE为直角三角形时，求边BC的长。10.如图，⊙O的半径为3,半径OC⊥弦AB,点E在⊙O上，∠ECO=∠BOC,射线CE与射线OB相交于点F,当△OEF为直角三角形时，求AB的长。真题演练11.(18兰州28)如图所示，已知抛物线y=ax²+bx-4经过A(-3,0)、B(5,-4)两点，与y轴交(1)求抛物线的表达式。(2)求证：AB平分∠CAO。(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。12.(19淄博24)如图1,顶点为M的抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A(3,0),B(-1,0)两点，与y轴交于点C。(1)求这条抛物线对应的函数表达式。(2)在y轴上是否存在一点P,使得△PAM为直角三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存(3)如图2,若在第一象限的抛物线下方有一动点D,满足DA=OA,过D作DG⊥x轴于点G,设△ADG的内心为I,试求CI的最小值。13.(20武汉24)将抛物线C:y=(x-2)²向下平移6个单位长度得到抛物线C₁,再将抛物线C₁向左平移2个单位长度得到抛物线C₂。(1)直接写出抛物线C₁、C₂的解析式。(2)如图1,点A在抛物线C₁(对称轴l右侧)上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边(3)如图2,直线y=kx(k≠0,k为常数)与抛物线C₂交于E、F两点，M为线段EF的中点；直线与抛物线C₂交于G、H两点，N为线段GH的中点。求证：直线MN经过一个定点。14.(21衡阳26)在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”。例如(1,1),(2021,2021),……都是“雁点”。(1)求函数图象上的“雁点”坐标。(2)若抛物线y=ax²+5x+c上有且只有一个“雁点”E,该抛物线与x轴交于M、N两点(点M在点N左侧)。当a>1时，(3)如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),P是抛物线y=-x²+2x+3上一点，连接BP,以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC,是否存在点P,使点C恰为“雁点”?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。15.(22滨州24)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC、BC。(1)求线段AC的长；(2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA=PC时，求点P的坐标；(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标。专题训练四平行四边形的存在性问题针对训练1.如图，已知抛物线y=-x²-2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为P。若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标。2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A、B;将抛物线C₂向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N,与x轴的交点从左到右依次为D、E。在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在，请求出此4.已知直线l:轴交于点A,抛物线经过点A,如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在抛物线上，点D在直线l上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标。5.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4,0)、B(0,3),点C的坐标为(0,m),过点C作CE⊥AB于点E,点D为x轴正半轴上的一动点，且满足OD=20C,连接DE,以DE、DA为边作平行四边形DEFA。(1)如果平行四边形DEFA为矩形，求m的值。(2)如果平行四边形DEFA为菱形，请直接写出m的值。6.如图，已知直线l:y=-x+4与x轴交于点A,点B在直线l上，点C在坐标平面内，如果以0、A、B、C为顶点的四边形是菱形，求点C的坐标。7.如图，抛物线与y轴交于点A(0,1),过点A的直线与抛物线交于另一点,过点B作BC⊥x轴，垂足为C。(1)求抛物线的表达式。(2)点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M,交抛物线于点N,设OP的长度为m。连接CM、BN,当m为何值时，四边形BCMN为平行四边形?8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运(1)直接用含t的代数式分别表示：QB=,PD=;(2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形?若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度。9.如图，已知抛物线y=ax²-2ax-3a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点D在抛物线上，点D的横坐标为4。设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由。10.如图，已知开口向下的抛物线C:的顶点为D,点F(m,0)是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°,得抛物线C'。点P在抛物线C上，点P的横坐标为2,点P在抛物线C′上的对应点为P’。设M是抛物线C上的动点，N是抛物线C′上的动点，试探究：四边形PMP'N能否成为正方形?若能，求出m的值；若不能，请说明理由。真题演练11.(19连云港26)如图所示，在平面直角坐标系系xOy中，抛物线L₁:y=x²+bx+c过点C(0,-3),与抛物线L₂:2的一个交点为A,且点A的横坐标为2,点P、Q分别是抛物线L₁、L₂上的动点。(1)求抛物线L的函数表达式。(2)若以A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求点P的坐标。(3)设点R为抛物线L₁上另一个动点，且CA平分∠PCR。若0Q//PR,求点Q的坐标。12.(22泸州25)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax²+x+c经过A(-2,0)、B(0,4)两(2)经过点O的直线分别与线段AB、直线x=3交于点D、E,且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；(3)P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存B、F、G、P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说13.(20黔东南26)如图所示，已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在(1)求抛物线的解析式。(2)在y轴上找一点E,使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标。(3)点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q,使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形?若存在，请求出点P、Q的坐标；若不存在，请说明解答区14.(21淮安27)如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B(5,0),顶点为D,动点M、Q在x轴上(点M在点Q的左侧),在x轴下方作动，运动开始时，点M的坐标为(-6,0),当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒(2)连接BD,求直线BD的函数表达式。(3)在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G,PQ所在直线与直线BD交于点H,是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。(4)连接PD,过点P作PD的垂线交y轴于点R,直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长。作图区解答区15.(22重庆A24)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线AB交于点(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C,过点P作y轴的平行线交x轴于点D,求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F,M为平移后的抛物线的对称轴上一点。在平移后的抛物线上确定一点N,使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形，件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程。解答区专题训练五梯形的存在性问题针对训练1.如图，四边形ABCD是直角梯形，AD//BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=28cm。点P从点A出发，沿AD以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，沿CB以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动。从运动开始，经过多少时间，四边形PQCD成为平行四边形?成为等腰梯形?2.如图所示，已知A、B是双曲线上的两个点，A、B的横坐标分别为2和-1,BC⊥x轴，垂足为C。在双曲线上是否存在点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形?如果存在，求点D的坐标；如果不存在，请说明理由。3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3,AB=5。点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动；同时点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动。当点P到达点A时停止运动，点Q也随之停止。伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ,DE交BC于点E。设P、Q运动的时间是t秒(t>0),在运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形?若能，求t的值；若不能，请说明理由。4.如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过0(0,0)、A(1,2)、C(2,1)三点，AB⊥x轴于点B,点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形?若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。5.如图，已知△ABC,AB=√2,BC=3,∠B=45°,点D在边BC上，连接AD,以点A为圆心，AD为半径画圆，点F在圆A上，且AF⊥AD。连接CF,如果四边形ADCF是梯形，求BD6.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点F在线段AB上，以点B为圆心，BF为半径的圆交BC于点E,射线AE交圆B于点D(点D、E不重合)。连接CD、BD,请判断四边形ABDC能否为直角梯形，说明理由。7.如图，已知O(0,0)、A(8,0)、B(9,-3)三点，四边形OABC是等腰梯形，且AB//OC,求点C真题演练8.(19上海24)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x²-2x,其顶点为A。(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况。(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”。①试求抛物线y=x²-2x的“不动点”坐标②平移抛物线y=x²-2x,使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”,其对称轴与x轴交于点C,且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式。9.(21上海青浦24)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3的图像与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C,对称轴是直线x=1,顶点是D。(1)求该抛物线的解析式和顶点D的坐标.(2)点P为该抛物线第三象限内一点，当四边形PBDC为梯形时(3)在(2)的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当,求OE的专题训练六面积的存在性问题针对训练1.如图，矩形ABCD的顶点C在y轴右侧沿抛物线y=x²-6x+10滑动，在滑动过程中CD//x轴，CD=1,AB在CD的下方。当点D在y轴上时，AB落在x轴上。当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成的两部分的面积比为1:4时，求点C的坐标。的左侧),与y轴交于点C,顶点为D。设点P(t,0),且t>3,如果△BDP和△CDP的面积相(1)求点E到BC边的距离。(2)点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥BC,垂足为M,过点M作MN//AB交线段AD于点N,连接PN。探究：当点P在线段EF上运动时，△PMN的面积是否发生变化?若不4.如图所示，已知扇形AOB的半径为2,圆心角∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点，5.如图，二次函数的图象过点A(-6,0)、B(0,6),对称轴为直线x=-2,顶点为C,点D与点B关于抛物线的对称轴对称，连接AB、BC、CD、DA,点E在线段AB上，连接DE,边形ABCD的面积，求AE的长。6.如图，在平面直角坐标系中，点P、B、C是反比例函数的图象上的点，点A在OP的延长线上，且AB//x轴，AC//y轴，连接BP、CP,设点A的横坐标为a,试猜想7.如图，抛物线y=x²-6x+5与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,设在直线BC下方的抛物线上有一点Q,若S△BCo=15,试求出点Q的坐标。8.如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点A(n,0)、B(4,0)、D(0,2n),点A在OB上，作平行四边形ABCD关于直线AD的对称图形AB₁C₁D,求四边形CC₁B₁B面积S的最大值。9.如图所示，二次函数y=(x+m)²+k的图象与x轴交于A、B两点，顶点M的坐标为(1,-4)。(2)设直线AM与y轴交于点C,求△BCM的面积。(3)在抛物线上是否还存在点P,使得S△PMB=S△BCM?如果存在，求出点P的坐标；如果不存10.如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点(与点O、A不重合),连接CP,过点P作PM⊥CP交AB于点D,且PM=CP,过点M作MN//OA,交BO于点N,(1)求点M的坐标(用含t的代数式表示)(2)试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变，并说明理由；真题演练11.(20泰安25)如图1,若一次函数y=-3x-3的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B的坐标为(3,0),二次函数y=ax²+bx+c的图象过A、B、C三点。(1)求二次函数的表达式。(1)如图1,过点C作CD//x轴交抛物线于点D,点E在抛物线上(y轴左侧),若BC恰好平(3)如图2,若点P在抛物线上(点P在y轴右侧),连接AP交BC于点F,连接BP,S△BFP=mS△BAF。②求m的最大值。12.(21连云港26)如图，抛物线y=m²+(m²+3)x-(6m+9)与x轴交于点A、B,与y轴交于13.(21扬州26)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0),与y轴交于点C.解答区记△ABC的面积为S。(1)如图1,分别以AC、CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC。记正方形ACDE的面积为S₁,正方形BGFC的面积为S₂②延长EA交GB的延长线于点N,连接FN,交BC于点M,交AB于点H。若FH⊥AB(如图2(2)如图3,分别以AC、CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE,记等边三角形ACD的面积为S₁,等边三角形CBE的面积为S₂。以AB为边向上作等边三角形ABF(点C在△ABF内),连接EF、CF。若EF⊥CF,试探索S₂-S₁与S之间的数量关系，并说明理由。作图区解答区15.(22南充25)抛物线与x轴分别交于点A、B(4,0),与y轴交于点C(0,-4)。(1)求抛物线的解析式；(2)如图1,平行四边形BCPQ的顶点P在抛物线上，如果平行四边形BCPQ的面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标；(3)如图2,点M在第二象限的抛物线上，点N在MO的延长线上，OM=2ON,连接BN并延长到点D,使ND=NB。MD交x轴于点E,∠DEB与∠DBE均为锐角，作图区解答区(2)动点P从点B出发沿BA向点A以每秒1厘米的速度匀速运动，以P为圆心PB为半径作BB∠CDA=90°。点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t(1)求点C的坐标。(2)以点P为圆心，PC为半径的OP随点P的运动而变化，当OP与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时，求t的值。真题演练7.(20济宁21)我们把方程(x-m)+(y-n)²=r²称为圆心为(m,n)、半径长为r的圆的标准方程。例如，圆心为(1,-2),半径长为3的圆的标准方程是(x-1)²+(y+2)²=9。如图，在平面直角坐标系中，OC与x轴交于点A、B,且点B的坐标为(8,0),与y轴相切于点D(0,4),过点A、B、D的抛物线的顶点为E。(1)求◎C的标准方程。(2)试判断直线AE与◎C的位置关系，并说明理由。作图区解答区8.(22扬州27)如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB=8dm,外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC=8dm。现计划将此余料进行(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由。作图区9.(20遵义24)如图所示，抛物线点A(-1,0)和点C(0,3),与x轴的另一个交点为B,点M是直线BC上一动点，过点M作MP//y轴，交抛物线于点P。(1)求该抛物线的解析式。(2)在抛物线上是否存在一点Q,使得△QCO是等边三角形?若存在，求出点Q的坐标；若不存10.(22云南23)如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙0,P是⊙O的劣弧BC上的任意一点，连接PA、PC、PD,延长BC至点E,使BD²=BC·BE。(1)请判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若四边形ABCD是正方形，连接AC。当点P与点C重合时，或当点P与点B重合时，把转化为正方形ABCD的有关线段长的比，可得当点P既不与点C重合也不与点B重合时，是否成立?请证明你的结论。专题训练八线段和差最值的存在性问题1.如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴由交于A、B两点，与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标。2.如图，抛物线轴交于点A,B是OA的中点。一个动点G从点B出发，先经过x轴上的点M,再经过抛物线对称轴上的点N,然后返回到点A。如果动点G走过的路程最短，请找出点M、N的位置，并求最短路程。3.如图，抛物线轴交于点A,顶点为B。点P是x轴上的一个动点，求线段PA与PB中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P的坐标。4.如图，在△ABC中，∠BAC=45°,AB=4,AD是∠BAC的平分线，M是AD上的一个动点，N是AB上的一个动点，求MN+MB的最5.如图，已知M(0,2),P(6,4),E(a,0),F(a+1,0),a为何值时，四边形PMEF的周长最小?请说明理由。6.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段AB外一7.如图，半圆O的直径AB=4,弦PQ=2,点M是弦PQ的中点，求点M到AB的最大距离和8.如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P上。已知EP=FP=4,EF=4√3,∠BAD=60°,且AB>4√3,求AP的最大值和最小值。9.如图，点P(m,n)在以点C(1,4)为圆心、1为半径的圆上，二次函数y=x²-1的图象与x轴相交于A、B两点，求PA²+PB²的最大值。CE的垂直平分线分别交BD、CE于点F、G,AE、EF的中点分别为M、N,求MN+NG的最小11.如图，在菱形ABCD中，AB=AC,点E、F在BC上，点G在CD上，BE=CG,AF平分最小值。个确定的位置，△DMN的周长有最小值t,随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值。的最小值。14.如图，在平面直角坐标系中，已知点M(2,-3),点N为y轴上一点，求的最小真题演练16.(19天津25)已知抛物线y=x²-bx+c(b、c(2)点D(b,yp)在抛物线上，当AM=AD,m=5解答区17.(21重庆B26)在等边三角形ABC中，AB=6点F为直线BD上一点，连接EF。(1)将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG,连接FG。①如图1,当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG,求线段DG的长；BE+BH=√3BF。从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP,连接FP,当最小时，直接写出△DPN的面积。解答区(2)如图2所示，在点D运动的过程中，当BD=2CDAG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论。(3)在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P,时，分别延长CF、BA,相交于点G,猜想使PA+PB+PC的值最小，当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m,请直接用含m的式子表示CE的长。19.(22淮安26)如图1所示，二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于点A、B,已知(3)如图2,当点P在线段BC上时，连接AP,点D是点C关于x轴的对称点。点Q是AP上一20.(22凉山28)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x²+bx+c经过点A(-1,0)和点B(0,3),顶点为C,点D在其对称轴上，且位于点C的下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处。(1)求抛物线的解析式；(2)求点P的坐标；(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O,这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M,使得MP+ME的值最小?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。专题训练九由比例线段产生的函数关系问题针对训练1.如图，在四边形ABCD中，已知AB=2,CD=3,P是对角线BD上的一个点，PE//AB交AD于E,PF//CD交BC于F。设PE=x,PF=y,求y关于x的函数关系式。OD⊥BM,垂足为D,C为线段OD上一点，且OC=BM,连接BC并延长交半径OM于点A,设OA=x,∠COM的正切值为y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域。3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4),点B是x轴上的一个动点，AB平分∠OAC,且∠ABC=90°。设点C的坐标为(x,y),求y关于x的函数关系式。4.如图，在矩形ABCD中，AB=9,BC=15。将点B翻折到AD边上的点M处，折痕上AB相交于点E,与BC相交于点F。如果AM=x,BE=y,求y关于x的函数关系式并写出x的取值范5.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,∠B=90°,AD=4,AB=6,BC=10。点E是AB边上的一个动点，EF//BC交DC于F。以EF为斜边在EF的下方作FG分别与边BC交于点M、N。如果EF=x,MN=y,求y关于x的函数关系式。6.如图，在边长为5的菱形ABCD中，,点P为边AB上一点，以A为圆心，AP为半径的OA与边AD交于点E。设AP=x,CE=y,求y关于x的函数关系式及定义域。设⊙B的半径为x。(2)设DC的长为y,求y关于x的函数解8.如图，△ABC的边AB上的两点D、E(不与点A、B重合)满足∠DCE=∠ABC。已知不与B、C重合),∠AEF=∠C。设BE=x,CF=y,求y关于x的函数关系式，并写出定义点E、F分别是BC、AC上两点(点ED重合),∠CEB=45°,EB与对角线AC相交于点F。设DE=x,如果把△CAE的周长记作C△CAE,△BAF的周长记作C△BAF,令求y关于x的函数关系式并写出它的定义域。BB11.(19广州25)已知抛物线G:y=mx²-2mx-3有最低点。(1)求二次函数y=mx²-2mx-3的最小值(用含m的式子表示)。(3)记(2)中所求的函数为H,抛物线G与函数H的图象交于点P,结合图象，求点P的纵坐12.(22江西22)跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示),落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高。2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m,基准点K到起跳台的水平距离为75m,高度为hm(h为定值)。设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y=ax²+bx+c(a≠0)。O(1)c的值为;(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时,求基准点K的高度h;②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为_;(3)若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m,试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由。作图区解答区13(20枣庄25)如图，抛物线y=ax²+bx+4交x轴于A(-3,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C,连接AC、BC。M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P,交BC于点Q。(1)求抛物线的表达式。(2)过点P作PN⊥BC,垂足为点N。设M点的坐标为(m,0),请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少。(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q,使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形。若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由。14.(21成都28)如图，抛物线y=a(x-h)²+k与x轴交于0、A两点，顶点P的坐标为(2,-1),点B为抛物线上一动点，连接AP、AB,过点B的直线与抛物线交于另一点C。(1)求抛物线的函数表达式。(2)若点B的横坐标与纵坐标相等，∠ABC=∠OAP,且点C位于x轴上方，求点C的坐标。(3)若点B的横坐标为t,∠ABC=90°,请用含t的式子表示点C的横坐标，并求出当t<0时，15.(22温州24)如图1,AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D,AB、BE上(不与端点重合),且满足。设BQ=x,CP=y。(1)求半圆O的半径；(2)求y关于x的函数表达式；(3)如图2,过点P作PR⊥CE于点R,连接PQ、RQ。专题训练十由面积产生的函数关系问题针对训练点Q作AB的平行线交BD于E,连接PE。设△BPE的面积为S,求S关于x的函数关系式。2.如图，已知抛物线y=-x²+3x+4与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),直线y=x+b与抛物线交于A、C两点，点P是直线AC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为x,△PAC的面积为S,求S关于x的函数关系式，并指出△PAC的面积最大时，点P的位置。3.如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点(A在C,E是线段AB上的一个动点，EF//AC交BC于F。设AE的长为x,△EOF的面积为y,求y4.如图，在△ABC中，AB=AC=10,,点D在AB边上(点D与点A、B不重(2)设AE=x,△DBG的面积为y,求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围。5.如图，已知△ABC,点E为边AB上任意一点(点E与A、B不重合),过点E作EF//AC,与BC相交于点F,连接CE,设BF=x,.如果BC=10,求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围。6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5,BC=3,点D是斜边AB上任意一点，连接DC,过点C作CE⊥CD,连接DE,使得∠EDC=∠A,连接BE。(1)求证：AC·BE=BC·AD。7.如图，在⊙0中，C是弦AB上的一点，连接OC并延长，交劣弧AB于点D,连接AO、BO、AD、BD。已知⊙O的半径长为5,弦AB的长为8。设AC=x,,求y关于x的函数解重合),过点D作DE//BC交AC于点E,并以DE为边向BC一侧作正方形DEFG,设AD=x。记正方形DEFG与△ABC重合部分的面积为y,求y关于x的函数关系式及定义域。9.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=4,OC=3。动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动。设点P、Q的运动时间为t秒。连接CQ,记△CQP与矩形OABC重10.如图，正方形ABCD的边长为4cm,在对称中心O处有一钉子，动点P、Q同时从点A出发，动点P沿A→B→C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止；动点Q沿A→D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止。P、Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋连接，设x秒后橡皮筋扫面积为ycm²,求y关于x的函数关系式。真题演练11.(19温州24)如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点B、C,正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC的中点，OF⊥DE于点F,连接OE。动点P在AO上从点A向终点0匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q₁向终点Q₂匀速运动，它们同(1)求点B的坐标和OE的长。(2)设点Q₂为(m,n),当,求点Q₂的坐标。(3)根据(2)的条件，当点P运动到AO的中点时，点Q恰好与点C重合。①延长AD交直线BC于点Q₃,当点Q在线段Q₂Q₃上时，设Q₃Q=s,AP=t,求s关于t的函数②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长。解答区12.(21陕西26)(1)如图1,平行四边形ABCD中，AD=6,AB=8,∠DAB=45°,点E是AD的中点，点F在CD上，且DF=5,求四边形ABFE的面积。(2)如图2,在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=90°,AB=800米，BC=1200米，点O、P、M、N分别是边BC、CD、EA、AB上的点，且BO=2AN,CP=AN,AM=OC,NOPM面积的最小值。作图区解答区13.(20无锡27)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,点E为边CD上的一点(与C、D不重合),四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME,延长ME交AB于点P,记四边形PADE的面积为S。作图区解答区14.(22衡阳26)如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠BAD=60°,点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作PQ⊥AB于点Q,作PM⊥AD交直线AB于点M,交直线BC于点F,设△PQM与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S(平方单位),点P的运动时间为t(秒)。(2)当t为何值时，△APQ与△BMF全等?(4)以线段PQ为边，在PQ右侧作等边三角形PQE,当2≤t≤4时，求点E运动路径的长。作图区解答区15.(22新疆23)如图，在△ABC中，∠ABC=30°,AB=AC,点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点(点D不与点O、C重合),将△ACD沿AD折叠得到△AED,连接BE。(2)探究∠AEB与∠CAD之间的数量关系，并给出证明；(3)设AC=4,△ACD的面积为x,以AD为边长的正方形的面积为y,求y关于x的函数解析式。专题训练十一代数计算及通过代数计算进行说理问题针对训练1.如图，已知反比例函数)的图象上有A、B两点(点A在点B左侧),直线AB与y轴交于点C,与x轴交于点D,求证AC=BD。(2)求证：无论k为什么实数，抛物线都与x轴有交点，且经过x轴上的一定点。3.如图，在平面直角坐标系中，A、B是x轴正半轴上的两个点，且OA=AB,过点A、B分别作x轴的垂线，分别交抛物线y=x²于点C和点D,直线OC交BD于点M,直线CD交y轴于点H。(1)求△CMD与四边形ABMC的面积比。4.如图，已知二次函数L₁:y=x²-4x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)与y轴交于点C。(1)写出A、B两点的坐标。(2)二次函数L₂:y=kx²-4kx+3k(k≠0),顶点为P。①直接写出二次函数L₂与二次函数L₁有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k,使△ABP为等边三角形?如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理③若直线y=8k与抛物线L₂交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化?如果不会，请求5.如图，已知抛物线y=ax²+4(a≠0)与x轴交于点A和点B(2,0),与y轴交于点C,点D是抛物线在第一象限的点，直线BD、AD分别交y轴于点E、F,那么OE+OF的值是否变化?请说明6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C:y=ax²+bx+c与x轴相交于A、B两点，顶点为D(0,4),AB=4√2,设点F(m,0)是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°,得到抛物(1)求抛物线C的函数表达式；(2)若抛物线C′与抛物线C在y轴右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围。7.如图，已知二次函数y=ax²的图象经过点(2,1),与一次函数y=mx+4的图象交于A(x,y₁)、B(x₂,y₂)两点，试判断△AOB的形状，并证明。(1)当点P为线段AB的中点时，求d₁+d₂的值；(2)直接写出d₁+d₂的范围，并求当d₁+d₂=3时，点P的坐标；(3)若在线段AB上存在无数个点P,使得d₁+ad₂=4(a为常数),求a的值。9.如图，已知二次函数L₁:y=ax²-2ax+a+3(a>0)和二次函数L₂:y=-a(x+1)²+1(象的顶点分别为M、N,与y轴分别交于点E、F。(1)函数y=ax²-2ax+a+3(a>0)的最小值为_;当二次函数L₁、L₂的y值同时随着x的10.如图，已知点O(0,0),A(-5,0),B(2,1),抛物线l:y=-(x-h)²+1(h为常数)与y轴的交点为C。(1)若抛物线l经过点B,求它的解析式，并写出此时抛物线l的对称轴及顶点坐标；(2)设点C的纵坐标为yc,求yc的最大值，此时抛物线l上有两点(x,y₁)、(x₂,y₂),其中(3)当线段OA被抛物线1只分为两部分，且这两部分的比是1:4时，求h的值。真题演练11.(22连云港26)已知二次函数y=x²+(m-2)x+m-4,其中m>2。(1)当该函数的图象经过原点0(0,0),求此时函数图象的顶点A的坐标；(2)求证：二次函数y=x²+(m-2)x+m-4的顶点在第三象限；(3)如图，在(1)的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B,求△AOB面积的最大值。12.(22杭州22)设二次函数y₁=2x²+bx+c(b、c是常数)的图象与x轴交于A、B两点。(1)若A、B两点的坐标分别为(1,0)、(2,0),求函数y的表达式及其图象的对称(2)若函数y的表达式可以写成y₁=2(x-h)²-2(h是常数)的形式，求b+c的最小值；(3)设一次函数y₂=x-m(m是常数),若函数y₁的表达式还可以写成y₁=2(x-m)(x-m-2)的形式，当函数y=y₁-y₂的图象经过点(x₀,0)时，求x₀-m的值。13.(20上海24)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线x轴、y轴分别交于点A、B,抛物线y=ax²+bx(a≠0)经过点A。(1)求线段AB的长。(2)如果抛物线y=ax²+bx经过线段AB上的另一点C,且BC=√5,求这条抛物线的表达式。(3)如果抛物线y=ax²+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围。14.(22丽水23)如图，已知点M(x,y₁),N(x₂,y₂)在二次函数y=a(x-2)²-1(a>0)的图象上，且x₂-x₁=3。(1)若二次函数的图象经过点(3,1)。②若y₁=y₂,求顶点到MN的距离。(2)当x≤x≤x₂时，二次函数的最大值与最小值的差为1,点M、N在对称轴的异侧，求a的取值范围。作图区解答区15.(22自贡26)已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)。(1)若a=-1,且函数图象经过(0,3),(2,-5)两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点坐标；(2)在图中画出(1)中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时，自变量x的取值范(3)若a+b+c=0且a>b>c,一元二次方程ax²+bx+c=0的两根之差等于a-c,函数图象经过Q(1+3c,y₂)两点，试比较y₁、y₂的大小。作图区解答区专题训练十二几何证明及通过几何计算进行说理问题针对训练垂足分别为B、C,已知AB=4,D点，设BP=x。(1)如图1,如果BC=13,∠APD=90°,求x的值。(2)如图2,如果BC=12,∠APD=90°,求x的值。(3)如图3,如果BC=11,是否存在∠APD=90°的可能?若存在，求x的值；若不存在，请说明2.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x²-4x+3的顶点为A,与y轴交于点B,如果点3.如图，已知直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C在直线AB上，设以C为顶点的抛物线y=(x+m)²+n与直线AB的另一个交点为D,抛物线的对称轴与x轴交于点P。(2)设△COD的OC边上的高为h,当h的值最大时，求点C的坐标。C(0,-3),顶点为D。(2)在y轴上找一点P(点P与点C不重合),使得∠APD=90°,求点P的坐标。(3)在(2)的条件下，将△APD沿直线AD翻折，得到△AQD,求点Q的坐标。7.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(3,1),点B的坐标为(6,5),点C的坐标为(0,5),某二次函数的图象经过A、B、C三点。(1)求这个二次函数的解析式。(2)如果点P在(1)中求出的二次函数的图象上，且,求∠PCB的正弦值。8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,BC=3,P是射线AB上的一个动点，以P为圆心、PA为半径的OP与射线AC的另一个交点为D,直线PD交直线BC于点E。设线段BE的中点为Q,射线PQ与◎P相交于点F,点P在运动过程中，当PE//CF时，求AP的长。9.如图1,在Rt△ABC中，∠B=90°,BC=2AB=8,DE。将△EDC绕点C按顺时针方向旋转。(1)在旋转过程中，的大小有无变化?请就图2的情形给出证明；(2)当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，求线段BD的长。10.如图，等边三角形ABC的边长为6,在AC、BC边上各取一点E、F,连接AF、BE相交于点P。②若AE=2,试求AP·AF的值。(2)若AF=BE,当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长。真题演练11.(21安徽23)如图1,在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD,交线段AE于点F,连接BF。AE//CD,CE交线段AE于点F,连接BF。(1)求证：△ABF≌△EAD。(2)如图2,若AB=9,CD=5,∠ECF=∠AED,求BE的长。(3)如图3,若BF的延长线经过AD的中点M,求的值。点E在边BC上，且解答区12.(22成都26)如图，在矩形ABCD中，AD=nAB(n>1),点E是AD边上一动点(点E不与A、D重合),连接BE,以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG,使得矩形EBFG一矩形ABCD,EG交直线CD于点H。【尝试初探】(1)在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系，请说明理由。【深入探究】(2)若n=2,随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段CD中点时，求tan∠ABE的值。含n的代数式表示)。作图区解答区13.(22淮安27)如图1,菱形ABCD中，点E为边BC的中点，连接DE,将菱形ABCD沿DE折叠，点A的对应点为A',点B的对应点为B'。(2)①如图2,连接B'C,则∠DEC与∠B'CE有怎样的数量关系?请说明理由；②延长DC交A'B'于点G,连接EG,求∠DEG的度数；(3)如图3,若∠B=60°,请探究EG、B'C、DG之间的数量关系。14.(22达州24)某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形EDC,按照图1的方式摆放，∠ACB=∠ECD=90°,随后保持△ABC不动，将△EDC绕点C按照逆时针方向旋转α(0°<α<90°),连接AE、BD,延长BD交AE于点BBBB【初步探究】(1)如图2,当ED//BC时，则α=_;【深入探究】(3)如图4,当点E、F不重合时，(2)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由；【拓展延伸】(4)如图5,在△ABC与△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°,若BC=mAC,CD=mCE(m为常数)。保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α(0°<α<90°),连接AE、BD,延长BD交AE于点F,连接CF,如图6。试探究AF、BF、CF之间的数量关系，并说明理由。作图区解答区F分别为AC、AD上任意一点，连接EF,将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG,连接FG、AG。CC(1)如图1,点E与点C重合，且GF的延长线过点B,若点P为FG的中点，连接PD,求PDAM+AF=√2AE;(3)如图3,F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE,H为直线BC上一动点，连接EH,将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B'EH,连接B'G,直接写出线段B'G的长度的最小值。作图区第二部分填空题、选择题中的动态图形训练题一、图形的平移1.在平面直角坐标系中，点A向右平移4个单位得到点B,点B向下平移3个单位得到点C,那么△ABC的面积为o2.直线y=2x-1向上平移3个单位后得到的直线不经过第__象限。3.将抛物线y=-x²+2x+1向下平移4个单位后得到的新抛物线的解析式是·4.将抛物线y=x²-4x-4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到新抛物线的表达式为A.y=(x+1)²-13B.y=(x-5)²-3C.y=(x-5)²-13D.y=(x+1