初中数学八年级上册讲义 课堂基础巩固+同步练习

第1讲初识全等三角形 第2讲全等三角形证明进阶 第3讲等腰三角形vs等边三角形 第4讲中垂线vs角平分线 第5讲角平分线辅助线进阶 45第6讲中点辅助线之中线倍长 53 60第8讲等腰三角形之“手拉手”模型 第9讲等腰直角三角形之“三垂直”模型 第10讲等腰“夹半角”模型 第11讲全等综合提升(一)——条件辅助线 第12讲全等综合提升(二)——模型辅助线 第13讲整式幂运算 第14讲整式乘法和乘法公式 第15讲综合巩固提升 第1讲初识全等三角形一、模块一：全等三角形的定义和性质1.题型一：全等三角形的定义知识导航能够完全重合的两个图形是全等图形.能够完全重合的两个三角形是全等三角形，即形状、大小完全相同的两个三角形.经平移、翻折、旋转前后的图形是全等的.事实上，这三种变换混合出现，产生的图形跟原图也是全等的.“全等”用“≌”符号表示，读作“全等于”.点A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点；记为△ABC≌△DEF(两个三角形的命名，字母顺序必须一一对应).反之若有△ABC≌△DEF,则也能推出上述对应关系.工2如果△ACB≌△ACD,则AB的对应边是,AC的对应边是_;∠B的对应如图，△ABC≌△CDA,下列结论：③∠DAC与∠BAC是对应角；其中结论正确的序号有_·知识导航一个三角形有六个构成它的几何元素，分别是它的三条边和三个内角.其中边控制着三角形的大小，而角控制着三角形的形状.所以，两个三角形如果全等，由全等的定义，这两个三角形的这六个元素必然一一对应相等.全等三角形的性质一、全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.二、重要推论：1、全等三角形的周长相等，面积相等；2、全等三角形对应边上的中线、高线、对应角的角平分线相等(不能直接使用需证明).1.下列结论错误的是().A.全等三角形对应角所对的边是对应边3B.全等三角形两条对应边所夹的角是对应角C.全等三角形是一种特殊三角形D.如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形也全等 ③EF=BC;④∠EAB=∠FAC中，正确结论共有().A.20°B.30°C.35°D2.如图，如果△ABC≌△DEF,△DEF周长是32cm,DE=9,EF=13,则AC=cm.4A.40°B.35°C.30°(1)求证：AB=CD.二、模块二：全等三角形的判定如果△ABC≌△DEF,那么它们的对应边、对应角相等.反过来，如果它们满足三条边对应相等，三个角对应相等，就能保证全等.但对于一个三角形，它的边和角并不是独立的，比方说两个内角确定后，第三个内角也就确定了；三条边确定了，那么它的角也就确定了.那么能否在三角形的边、角中尽可能少地选择部分相等条件，简捷地判定两个三角形全等呢?通过探究，我们发现了下面五个三角形全等的判定定理.知识导航5几何语言表述：已知：在△ABC和△DEF中，AB=DE,BC=EF,AC=DF.2.已知：AB=AD,CB=CD,求证：∠B=∠D.已知：如图，AD=BC,AC=BD,求证：∠C=∠D.BB6知识导航几何语言表述：已知：在△ABC和△DEF中，AB=DE,BC=EF,∠B=∠E.求证：△ABC≌△DEF.在四边形ABCD中，AB=CD,AB//CD.求证：AD=BC.如图，已知AB=AC,E,D分别为AB,AC上的一点，BE=CD,求证：∠B=∠C.7如图，点E、F在AB上，AD=BC,∠A=∠B,AE=BF.求证：△ADF≌△BCE.如图，已知△ABC≌△DCE,M为BC的中点，N为CE的中点.(1)求证：△ABM≌△DCN.(2)由证得的全等，有AM=DN.我们能得到如下推论：如果两个三角形全等，那么它们对应边上的中线_.知识导航几何语言表述：8证明：在△ABC和△DEF中，例题7练习7拓展2如图，已知△ABC≌△DCE,AT平分∠BAC,DS平分∠CDE.(2)由证得的全等，有AT=DS.我们能得到如下推论：94.判定四：角角边(AAS)知识导航已知：在△ABC和△DEF中，AB=DE,A=D,C=F.求证：△ABC≌△DEF.证明：在△ABC和△DEF中，例题8如图，已知∠A=∠D,CO=BO,已知：如图，AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,BDBE=CD.拓展3(1)求证：AQ=DP.(2)由证得的全等，我们能得到如下推论：如果两个三角形全等，那么它们对应边上的高·知识导航几何语言表述：已知：在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB=DE,AC=DF.求证：△ABC≌△DEF.已知：如图，AB⊥BC,AD⊥DC,垂足分别为B、D,AB=AD.求证：△ABC≌△ADC.试证明CE=DF.毕达哥拉斯公元前570年左右，毕达哥拉斯出生在米里都附近的萨摩斯岛(今希腊东部的小岛),他最先概括“数学”和“哲学”两门学问和推算出“直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和”定古希腊人热爱运动，崇尚健壮的体魄，欣赏高超的竞技能力。一次，菲罗斯僭主勒翁邀请毕达哥拉斯观看竞技比赛。盛大的竞技场里人山人海，场面恢宏。毕达哥拉斯与勒翁谈天说地，气氛和谐。勒翁很钦佩毕达哥拉斯的知识学问，看到竞技场里各种身份的人士和竞技台上身怀绝技的勇士，便转身问毕达哥拉斯是什么样的人。毕达哥拉斯说：我是哲学家(希腊语哲学的意思是爱智慧，哲学家就是爱智慧的人)。这也是人类第一次使用哲学这个词。毕达哥拉斯说，只有神是智慧的，人最多是爱智慧。就像今天来竞技场的各种各样的人，有的是来做买卖挣钱的，有的是无所事事闲逛的，而有的人是沉思的观众。如同生活中，不少人为卑微的欲望追求名利，只有哲学家寻求真理。从此，世界有了哲学家，追求真理也成为哲学家永不放弃的目标和信念。他对数充满敬畏。相信是数创造了世界，通过对数的研究能了解宇宙的奥妙。而‘一’最为基本，既是一切数的开始，又是计量一切数的单位，与理性、灵魂、本体是同一个东西。一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。这位习惯观察思考的人，突然，对主人家地面上一块块漂亮的正方形大理石感兴趣。他没有心思听别人闲聊，沉思于脚下排列规则，大小如一的大理石彼此间产生的数的关系中。他越想越兴奋，完全被自己的思考迷住，索性蹲到地上，拿出笔尺。在4块大理石拼成的大正方上，均以每块大理石的对角线为边，画出一个新的正方形，他发现这个正方形的面积正好等于2块大理石的面积；他又以2块大理石组成的矩形对角线为边，画成一个更大的正方形，而这个正方形正好等于5块大理石的面积。于是，毕达哥拉斯根据自己的推算得出结果：直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和。毕达哥拉斯定理就这样产生了。如图所示，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB',若∠AOB=15°,则∠AOB'的度数是().A.20°B.30°C.35°如图，已知∠ACB=∠BDA=90°,AC=BD.求证：△ABC≌△BAD.已知：如图，C为BE上一点，点A、D分别在BE两侧，AB//ED,AB=CE,BC=ED.求第2讲全等三角形证明进阶一、全等三角形的基本图形知识导航图形经平移变换后，得到的新图形形状和大小不会发生改变.所以平移变换前后的两个三角形就是全等三角形.基本图形如下：(1)求证：△ABC≌△DEF.(2)求证：AB//DE.如图，点E、C在BF上，BE=CF,AB=DE,∠B=∠DEF.写出AC与DF的关系并证明.知识导航图形经对称变换后，得到的新图形形状和大小不会发生改变.所以对称变换前后的两个三角形就是全等三角形.B'B'BBB'B'B'例题2证明题：如图，AB=DC,AC=DB,AC和DB相交于0.BB(1)求证：∠A=∠D.(2)求证：OA=OD.练习2如图，在△ABD和△FEC中，点B,C,D,E在同一直线上如图，已知A、B、C三点共线，△ABF≌△CBE,求证：△MOE≌△NOF.如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E,且∠BAC=∠CDB,∠ACB=∠DBC,分别延长BA与CD交于点F.试说明：BF=CF.知识导航图形经旋转变换后，得到的新图形形状和大小不会发生改变.所以旋转变换前后的两个三角形就是全等三角形.基本图形如下(以下图形都是在绕红色点旋转):A(A')A(A')βBCβB'C红点为AC中点C(A')(1)求证：△ABC≌△DEC.(2)若∠BCE=40°,求∠ABD的度数.AC//BD.A(2)求证：DC//AB.二、全等三角形判定思路1.已知两组边等知识导航FF增加AC=DF,则可通过SSS判定全等；①增加∠A=∠D=90°(∠C=∠F=90°),则可通过HL判定全等；②增加∠B=∠E=90°,则可通过SAS判定全等；例题5练习5如图，线段AC交BD于0,点E,F在线段AC上，△DFO≌△BEO,且AF=CE,连接AB、CD,求证：AB=CD.2.已知一组角等一组边等知识导航FF二、角和边相邻1、找边(SAS):增加AC=DF(注意这一对边的位置)三、角是直角处理方式：任意找一组边等或角等(SAS例题6证：△ABC≌△DEC.如图，△ABC中，AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.求证：△AEF≌△CEB.如图，在△ABC中，∠C=90°,点D是AB边上的一点，DM⊥AB.且DM=AC,过点M作(1)试说明△ABC与△MED全等.知识导航FF我们可以通过增加任意一组边等来证明ABC≌DEF.1、增加AB=DE,则可通过ASA判定全等2、增加AC=DF(或者BC=EF),则可通过AAS判定全等如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD交于点O,已知AB=AC,∠B=∠C,求证：拓展如图所示：AB=AC,AD=AE,CD、BE相交于点O,求证：AO平分∠DAE.他从小就喜欢足球，但10岁那年的一件事，却给了他很大的打击。当时他在纽维尔老男孩队参加训练。一天下午，他所在的球队和另外一个同年龄段的球队进行足球比赛。好几次，队友都把球传到了他的脚下，但由于过度紧张，他面对球门时竟闭上了眼睛，这样造成的结果是球总是擦门而过。由于他的多次错失良机，他的球队最后惨这时他看到一只青蛙正好奇地看着眼泪汪汪的自己，他有些生气，恶作剧般地朝青蛙撒了一泡尿。但他发现，在这个过程中，那只受辱的青蛙一直保持着一个姿势，仍鼓着一双圆眼看着自己，那天晚上，他的心灵被震撼了，他内心的梦想开始复苏，他觉得那只受辱而不屈的青蛙就是自己的老师。他暗暗发誓：我也要在逆境中努力，进的球队，成为像马拉多纳那样的伟大球员，登上足球的顶峰，成为世界足球先生!从那天起，他每天踢球8个小时以上，有条不紊地坚持学习和训他的名字叫里奥·梅西，现为巴塞罗那的前锋球员以及阿根廷的国脚，他被球迷亲切地称为“新版马拉多纳”,他用近乎完美的球技实现了自己的誓言。2009年12月1日，梅西凭借2008-2009赛季带领巴塞罗那取得西甲、国王杯、欧洲冠军联赛三冠王的成绩，击败C罗获得2009年欧洲金球奖。20天后，在苏黎世举行的第19届国际足联颁奖典礼上，里奥·梅西笑到了最后，获得“2009年世界足球先生”称号，捧着金灿灿的奖杯，他微笑着说：“不要闭上眼睛踢球，要紧紧盯住自己的目标。只要努力，梦想就离你不远了。”让我们记住梅西的导师，那只遭受尿击仍然仰头鼓眼的青蛙。集中注意力，拼上所有的力量，朝着目标不懈努力，矢志不渝，不在意别人的打击和嘲笑，只要自己有目标，有无比积极的态度，不放弃，肯用心，终究会走出困境。这个世界会接纳你，梦想也会一步步成为现实。BB如图，已知AB⊥AC,AB=AC,DE过点A,且CD⊥DE,BE⊥DE,垂足分别为点D,E.求第3讲等腰三角形vs等边三角形一、等腰三角形基本概念知识导航有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边.两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫做底角.②等腰三角形两底角相等(简写成“等边对等角”);几何语言表述1:几何语言表述2:③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边(简写成：“三线合一”);(1)已知高线：(2)已知中线：(3)已知角平分线：④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线，底边上的中线，底边上的高线所在直线是对称3、等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；几何语言表述：∴△ABC为等腰三角形②有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”).几何语言表述：∴△ABC为等腰三角形如图，若等腰三角形的两腰长分别为x和2x-6,则x的值为?一个等腰三角形，顶角与底角的度数比是1:2,则三个内角分别是多少度?如图，在△ABC中，点D,E在边BC上，BD=CE,且AD=AE,求证：AB=AC.如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D,过点D作DF⊥AC于F,交BC于E,且BD=BE,求证：△ABC为等腰三角形.请证明：如果一个三角形中，一个内角的角平分线，该内角对边上的高以及对边上的中线有两线重合，那么该三角形是等腰三角形.如图，△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE=AF,求证：DE=DF.二、等腰三角形的分类讨论知识导航等腰三角形中有相等的边和相等的角，鉴于这种特殊性，等腰三角形往往成为考查的热点!在具体的等腰三角形边角求解问题中，一定要注意分类讨论.I.等腰三角形涉及到边的问题时，可以按照“腰”和“底边”来分类讨论，但要利用三角形三边关系来检验三角形是否存在.如果等腰△ABC有两边分别为a、b,那么可以按下面的方式进行分类讨论：若a为腰，b为底那么△ABC的三边长分别为b、b、a,并且需要检验b+b>a.Ⅱ.在等腰三角形内角求解的问题中，可以按“顶角”、“底角”来分类讨论，但要利用三角形内角和检验三角形是否存在.如果等腰△ABC有一角的度数为α,那么可以按下面的方式进行分类Ⅲ.等腰三角形中涉及“高”的边角求解问题.2、等腰三角形腰上的高在形内形外与顶角大小有关.顶角为锐角的等腰三角形腰上的高顶角为钝角的等腰三角形腰上的高用一条长为24的细绳围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边长的2.5倍，那么各边长是多少?(2)能围成有一边的长是6的等腰三角形吗?说明原因?等腰三角形的两边长分别为4和8,则此等腰三角形的周长为_·能力提升在△ABC中，AB=AC,AC边上的中线BD把三角形的周长分为12和15两部分，求三角形各边的长.已知等腰三角形中的一个内角为40°,则这个等腰三角形的顶角为_·1.若等腰三角形中有一个角等于50°,求这个等腰三角形的顶角的度数.2.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:2,求这个等腰三角形顶角的度数.如果一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是30°,则它的底角度数为_.若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角是25°,则该三角形的一个底角为.三、等边三角形知识导航1、等边三角形的定义：三边都相等的特殊的等腰三角形，也称正三角形.2、等边三角形的性质：①等边三角形的三条边都相等；②等边三角形的三个内角都相等，均为60°.几何语言表述：∵△ABC为等边三角形，3、等边三角形的判定：三角形ABC中①三边都相等的三角形是等边三角形；几何语言表述：∴△ABC为等边三角形②三角都相等的三角形是等边三角形；几何语言表述：∴△ABC为等边三角形③有两个角是60°的三角形是等边三角形；几何语言表述：∴△ABC为等边三角形④有一个角(顶角和底角均可)是60°的等腰三角形.几何语言表述：∴△ABC为等边三角形4、等边三角形的推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.简记为：30°所对直角边等于斜边一半.如图所示，将两个全等的含30°角的三角尺摆放在一起，拼成一个大三角形—△ABD,对于这个三角形，它的三角形的三个内角都为60°,所以它是一个等边三角形，于是就会存在如下的等量关系：因此，对于有一个角是30°的Rt△ABC,30°角所对边证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.(可直接使用)证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角等于30度.(需证明后使用)如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC,点E在BC的延长线上，且CE=1,∠E=30°,BB练习8如图，AD是等边三角形ABC的中线，E是AC上一点，且AE=AD,求EDC的度数.在德国，有一名叫安格拉的小姑娘，从小身体协调性就很差，学走路、跑步都比同龄的孩子晚上小学后，安格拉最怕上体育课了，她总担心自己笨拙的动作会被同学沉笑，于是经常逃课。老师发现后，对她说：“你这样长期逃避，只会导致你更差啊!”安格拉没法，只好硬着头皮练习，可是她总是拖延到快下课的12岁那年，体育老师教跳水。老师讲完跳水的动作要领后，同学们都急不可耐地冲上跳板，往泳池里跳。安格拉磨蹭地跟在最后，眼看着同学们一个个完美入池，心里越发惶恐。身旁不断有同学擦肩而过，他们已往返跳板数次。有同学嘲讽她：“你怎么还不跳?准是被跳板吓破了胆吧!”安格拉故作平静地回答：“我正在努力领悟。”她足足站了45分钟，大家都以为她要放弃时，她径直冲上跳板，果敢地跃起，纵身跳入泳池深处。她的动作虽然算不上十分优美，但她的压轴一跳，这一跳，让安格拉找回了自信。她这才明白，拖延到最后，其实能给自己留下足够的时间来平缓心情，并从他人身上汲取经验。谁也想不到的是，安格拉大学毕业后，选择了从政，后来竟然成跳板上自信的力量默克尔接受媒体采访，回忆起这个童年小插曲时说：“我就在那一刻有了勇气，后来遇到什么事都没有畏缩过。”她说自己是那种“需要很多准备时间，尽量想得多一些的人，而不是天生勇敢的人”。下列等腰三角形：(1)如果等腰三角形的两边长分别为4和7,则三角形的周长是或;(2)等腰三角形的一个外角为130°,则这个等腰三角形的顶角的度数为或;(3)如果一个等腰三角形一腰上的高与腰的夹角是30°,则它的顶角度数为或如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E,使CE=CD,AB=10.求BE的长.第4讲中垂线vs角平分线一、中垂线(垂直平分线)1.中垂线的定义性质经过这条线段中点并且垂直于这条线段的直线叫做垂直平分线.垂直平分线常常简称为中垂线.从图上看，绿色的线是线段AB,点O为线段AB的中点，红色的线是直线1,直线l过点O并垂直AB.直线1是线段AB的垂直平分线.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.在左边的图中，红色的直线l是线段AB的垂直平分线，点P,P₂,P₃,P₄,P₃都在直线l上，那么根据垂直平分线的性质，会有：P₁A=PB,P₂A=P₂B,P₃A=P₃B,如图，点D在AB上，点E在CD上，已知AD=BD,CD⊥AB,求证∠CAE=∠CBE.BB例题2(1)若△CMN的周长为15cm,求AB的长.(2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度数.(2)若∠BAC=110°,求△PAO的度数.2.中垂线的判定知识导航1、到一条线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.如图，若有QA=QB,则点Q在AB的垂直平分线上.该结论使用等腰和全等三角形的知识不难证明.2、垂直平分线的具体判定方法欲证直线l垂直平分线段AB:①证明直线l经过线段AB的中点且垂直于线段AB;②证明直线l上有两个点到线段AB的两端距离相等.在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E,使BD=DE,已知∠1=2∠2,求证：E点在线段AC的垂直平分线上.如图，AC、BD为四边形ABCD的对角线，已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证：AC垂直平分BD.知识导航在遇到垂直平分线的条件时，常见的辅助线是连接垂直平分线上的点与线段的两个端点.中垂线，连两端，出等腰，导边导角直线l为线段AB的垂直平分线，Q点为直线l上的一点，如果连接QA和QB.我们便能得到如下等量关系：如图，在△ABD中，∠A=105°,AD的垂直平分线MN交BD于点C,且AB+BC=BD,求∠B的度数.如图，已知在△ABC中，AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N,求证：CM=2BM.思维提升如图，已知BC的垂直平分线l和AC的垂直平分线l交于点O,证明：点O在AB的垂直平分线上.二、角平分线初步1.角平分线定义和性质知识导航顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的角平线.在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.在左边的图中，点Q在∠AOC的角平分线OB上，过Q分别作OA和OC的垂线段，垂足分别为点E和点F,则根据角平分线的性质定理会存在以下等量关系：QE=QF.例题5如图，0Q为∠AOC的角平分线上的一点，过Q作QE⊥OC于点E,过Q作QF⊥OA于点F.求1.如图所示，AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,连接EF,EF与AD交于点G.求证：AD垂直平分EF.知识导航在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.连接0Q,则会有0Q平分∠AOC.例题6尺规作图尺规作图：(1)作已知线段的垂直平分线.请你用没有刻度的直尺和圆规，作出线段AB的垂直平分线.(2)作已知角的角平分线.请你用没有刻度的直尺和圆规，作出∠AOB的垂直平分线.垂直平分线作法步骤引导：(1)分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C,D两点；(2)作直线CD.CD就是所求作的直线角平分线作法步骤引导：(2)分别以点M,N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.(3)画射线OC,射线OC即为所求.四、名人励志故事周恩来总理小时候的故事鸡叫三遍过后，周家花园里传出了阵阵琅琅的读书声：“锄禾、日当午，汗滴禾下土。谁知盘中餐，粒粒皆辛苦。”读着、读着，周恩来很快就把这首诗背得滚瓜烂熟了，但他总觉得没有透彻领会诗的意境：每一粒到底有多辛苦呢?第二天，周恩来来到蒋妈妈家玩。吃饭的时候，他望着白花花的大米饭迫不及待的问道：“蒋妈妈，这大米饭是怎么来的呢?”蒋妈妈很喜欢周恩来好问的精神，就笑着告诉他：“大米是稻子春成的。稻子浑身有一层硬硬的黄壳。它的一生要经过浸种催芽、田间育秧、移栽锄草、施肥管理、除病治虫、收割脱粒，一直到春成大米。”“啊，吃上这碗大米饭，可真不容易啊!”周恩来惊讶地说。“是呀，这十多道关，也不知道要累坏多少种田人呢，这香喷喷的大米饭是种田人用血汗浇灌出来的。”蒋妈妈深有感触地说。蒋妈妈一番深刻的教诲，不仅加深了周恩来对诗意的理解，更激励他勤奋学习。为了过好习字关，他除了认真完成老师布置的作业外，还坚持每天练一百个大字。1911年年底，周恩来在沈阳东关模范学校上学。这一天，魏校长亲自为学生上修身课，题目是“立命”当时正是中国社会发出剧烈变动的时期。孙中山领导的辛亥革命刚刚推翻了清朝政府，结束了中国两千年的封建统治。很多人，特别是年表人思想困惑，没有明确的理想追求，没有人生奋斗的目标。校长讲“立命”,就是给学生讲怎样立志。魏校长讲到精彩年突然停顿下来，向学生提出一个问题：“请问为什么读书?”教室里静静的，没有一个学生回答。“如果没有人回答，我就一个个问了!”魏校长走下讲台，指着前排一同学说：“你为什么而读书?”这个学生站起来挺着胸脯说：“为光耀门楣而读书!”“就是为了光宗耀祖。”魏校长又向第二个学生，回答是：为了明礼而读书。第三个被问的学生是一个靴铺掌柜的儿子，他很认真地回答说：“我是为我爸而读书的。”同学们听了哄堂大笑。为了这些回答都不满意，摇了摇头又走到周恩来面前，问道：“你是为什么而读书?”周恩来站起身来，教室里静悄悄的，大家都在等待他的回答。周恩来非常郑重地回答道：“为中华之崛起而读书!”“为中华之崛起而读书!”回答的多好啊!一句话，表达了周恩来从小立志振兴中华的伟大志向。魏校长没有想到，竟然有这样出众的学生，非常高兴。他示意让周恩来坐下，然后对大家说：“有志者，当效周生啊!”意思是说，有志气的青年，都要向周恩来学习啊!如图，地面上有三个洞口A、B、C,老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口(到A、B、C三个点的距离相等),尽快抓到老鼠，应该蹲守在()A.△ABC三边垂直平分线的交点B.△ABC三条角平分线的交点C.△ABC三条高所在直线的交点D.△ABC三条中线的交点如图，△ABC中，∠B=22.5°,AB的垂直平分线交BC于点D,DC=6,AC⊥BC于C,求AC的长.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别是C、D.(2)OE是线段CD的垂直平分线.第5讲角平分线辅助线进阶一、双垂型辅助线知识导航已知点Q是∠MON的角平分线上一点.若已有QE⊥OM,则常可以作QF⊥ON过点Q分别作QE⊥OM,QF⊥ON可简记为：图中有角平分线，可向角两边作垂线.已知：如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°,BD平分∠ABC.求证：DC=AD.如图，已知∠BAC的平分线AM与∠ABC的平分线BN交于点I,求证：点I在∠ACB的平分线.如图，已知△ABC的一个内角的角平分线和一个外角的角平分线交于点O,请证明点0在与能力提升例题3角平分线(分线段成比例)定理，需要证明后使用。在△ABC中，角平分线AD与BC交于D.证明：练习3二、截长全等型辅助线知识导航已知点Q是∠MON的角平分线上一点.可简记为：图中有角平分线，取等长，现全等.如图，已知四边形ABCD中，∠A+∠C=180°,BD平分∠ABC.求证：DC=AD.已知点P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB,求证：AC-A三、延长等腰型辅助线已知点Q是∠MON的角平分线上一点.若EQ⊥0Q于点Q,例题6练习6如图所示，△ABC的面积为4cm²,AP垂直∠ABC的平分线BP于点 如图，已知点D为线段BC上异于B、C的一点，∠A=∠E=90°,AB=AC,四、平行等腰型辅助线知识导航①过D作DE//ON交0Q于点E,则可构造出等腰△DOE;②过D作DF//0Q交ON的反向延长线于点F,则可构造出等腰△DOF;可简记为：角平分线+平行线，等腰三角形必呈现.例题8交AC于F,若AB=10,AC=8,求△AEF的周长.练习8的周长=10,则BC的长为().A.8B.10王羲之自幼酷爱书法，几十年来锲而不舍地刻苦练习，终于使他的书法艺术达到了超逸绝伦的王羲之13岁那年，偶然发现他父亲藏有一本《说笔》的书法书，便偷来阅读。他父亲担心他年幼不能保密家传，答应待他长大之后再传授。没料到，王羲之竟跪下请求父亲允许他现在阅读，他王羲之练习书法很刻苦，甚至连吃饭、走路都不放过，真是到了无时无刻不在练习的地步。没字竟忘了吃饭，家人把饭送到书房，他竟不加思索地用摸摸蘸着墨吃起来，还觉得很有味。当家人王羲之的书法艺术和刻苦精神很受世人赞许。传说，王羲之的婚事就是由此而定的。王羲之的稀鉴对王导说，他想在他的儿子和侄儿中为女儿选一位满意的女婿。王导当即表示同意，并同意由他挑选。王导回到家中将此事告诉了诸位儿侄，儿侄们久闻稀家小姐德贤貌美，都想得到她。稀家来人选婿时，诸侄儿都忙着更冠易服精心打扮。惟王襄之不问此事，仍躺在东厢房床上专心琢磨书法艺术。稀家来人看过王导诸儿侄之后，回去向稀鉴回票说：“王家诸儿郎都不错，只是知道是选婿有些拘谨不自然。只有东厢房那位公子躺在床上毫不介意，只顾用手在席上比划什么。”郡鉴听展示1展示2如图，已知△ABC的一个外角的平分线AO交∠ABC的平分线于点0,连接CO,已知∠ACB=72°.求∠ACO的度数.等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,D为AB上一点，AD=AC,且BE⊥CDCH⊥AB于点H.(1)求∠BCD的度数.第6讲中点辅助线之中线倍长一、直接中线倍长知识导航如图所示，AD为△ABC边BC上的中线，延长AD到点E,并使DE=AD,这个过程线倍长.中线倍长法多用于构造全等三角形，从而证明边之间的关系(或者是利用三角形的三边关系求边的取值范围).辅助线说法①延长AD到点E,并使DE=AD,连接BE.(SAS得全等)(AAS或ASA得全等)辅助线说法①延长AD到点E,并使DE=AD,连接EC.(SAS得全等)过C作CE//AB交AD的延长线于点E.(AAS或ASA得全等)例题1练习1已知如图△ABC,AB=12,AC=16,D是BC中点，求AD的取值范围.例题2如图，在△ABC中，点O为BC的中点，点M为AB上一点，ON⊥OM交AC于N.求证：BM+CN>MN.二、倍长过中点的线段知识导航倍长中线的本质是倍长以中点为端点的线段，也就是说，当存在类中线的线段时，我们也经常会将类中线的线段倍长.如下图所示：辅助线：延长ED到点F,并且使得DF=DE,连接BF→EC=BF;EC//BF.已知：I₁//l₂,点D为BC的中点辅助线：延长AD交l₂于点E结论：△ABD≌△ECD(ASA)→D为AE的中点.1.知中点倍长构平行8字例题3AE=EF.如图，已知△ABC中，AD是BC边中线，E是AB延长线上一点，CE交直线AD于F,若能力提升2.作平行构8字全等证中点例题5如图，已知在△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，连接CE交AD于点F,若AE=EF,AB=CF.求证：D为BC中点.练习5如图，已知在△ABC中，点D在BC上，点E在AB的延长线上，连接CE交AD的延长线于点F,若AE=EF,AB=CF.求证：D为BC中点.例题6交BC于F,证明：F为DE的中点.李时珍古代本草常将通草与木通相互混淆，或将两者视为一物。李时珍以认真负责的科学态度纠正了前人的这一错误。《神农本草》之通草，《本草纲目》释名为五代南唐陈士良《食性本草》之木通。有一次，李时珍经过一个山村，看到前面围着一大群人。走近一看，只见一个人醉醺醺的，还不时地手舞足蹈。一了解，原来这个人喝了用山茄子泡的药酒。“山茄子……”李时珍望着笑得前俯后仰的醉汉，记下了药名。回到家，他翻遍药书，找到了有关这种草药的记载。可是药书上写得很简单，只说了它的本名叫“曼陀罗”。李时珍决心要找到它，进一步研究它。后来李时珍在采药时找到了曼陀罗。他按山民说的办法，用曼陀罗泡了酒。过了几天，李时珍决定亲口尝一尝，亲身体验一下曼陀罗的功效。他抿了一口，味道很香；抿一口，舌头以至整个口腔都发麻了；再抿一口，人昏昏沉沉的，不一会儿竟发出昏昏沉沉的，不一会儿竟发出阵阵俊笑，手脚也不停地舞动着；最后，他失去了知觉，摔倒在地。一旁的人都吓坏了，连忙给李时珍灌了解毒的药。过了好一会儿，李时珍醒过来了，大家这才松了一口气。醒来后的李时珍兴奋极了，连忙记下了曼陀罗的产地、形状、习性、生长期，写下了如何泡酒以及制成药后的作用、服法、功效、反应过程等等。有人埋怨他太冒险了，他却笑着说：“不尝尝，怎么断定它的功效呢?再说，总不能拿病人去做实验吧!”听了他的话，大家更敬佩李时珍了。就这样，又一种可以作为临床麻醉的药物问世了。已知如图，△ABC中，AB=2,AC=3,D是BC中点，求AD的取值范围.∠CFD=30°.求∠BEC的度数.如图所示，已知△ABC中，AD平分∠BAC,E、F分别在BD、AD上.DE=CD,EF=AC.求一、截长补短基础运用知识导航已知线段AB、CD、EF,试探究它们之间的长度关系.1、截长：截长就是将一个已知的较长的线段，截取一段与已知的任意一个较短的线段的长度相等，然后求出截取后剩余的部分线段与另一已知较短线段的关系.如上图所示：要证明AB=CD+EF,可选择以下做法：在线段AB上截取AO=CD,再证明OB=EF.事实上，也可以选择截取与EF等长的线段，再证余下部分等于CD,而且从A端点或是B端点出发开始截也都是可行的.2、补短：补短就是将一个已知的较短线段延长，并使延长部分与另一个已知的较短线段的长度相等，然后求延长后的线段与最长的已知线段之间的关系.如图所示：要证明AB=CD+EF,可选择以下做法：延长CD至点M使DM=EF,再证明CM=AB.事实上，也可以选择延长EF,而且延长是有方向的，所以可选做法很多.截长补短，是一种非常常见的条件辅助线，主要适用于证明两条线段的和(差)等于第三条线段(AB+CD=EF)这种形式，应用非常广泛，同学们在学习过程中要注意体会这种辅助线的用法.截长：可以尝试在线段AC上截取线段AB′=AB,并连接DB,证明B'C=BD.CC补短：可以尝试在延长AB到C',使BC=BD,并连接DC,证明AC′=AC.CC1.二倍角与截长补短知识导航在△ABC中，∠B=2∠C.常见辅助线如下，简记为：二倍角，构等腰.例题1练习1如图，△ABC中，∠C=20°,AD⊥BC于D,且CD=BD+AB,求∠B的度数.例题2如图，△ABC中，∠B=2∠C,AD平分∠BAC,求证：AB+BD=AC.如图，在四边形ABCD中，∠A=120°,∠C=60°,BD如图，在四边形ABCD中，∠A=120°,∠C=90°,BD求证：∠B=2∠C.平分∠ABC,求证：巅峰突破如图，已知∠A=60°,BF平分∠ABC,CE平分∠ACB,BF与CE交于点I.(1)求∠BIC,∠BIE,∠CIF(2)求证：BE+CF=BC.(3)求证：IE=IF.的度数.二、截长补短综合运用已知△ABC中，AB=AC,CD平分∠ACB,现有下列两个结论.若∠A=90°,则成立，并加以证明.如图，已知在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,E是BC边的中点，连接AE,F为CD边上一点，AE平分∠FAB.求证：AF=CD+CF.(尝试用两种方法证明)上一点，F是CD的中点，且AE=DC+CE.求证：AF平分∠DAE.如图，已知在△ABC中，∠BAC=60°,∠ABC=80°,∠A、∠B的平分线交BC、CA于P、Q.求证：AB+BP=AQ+BQ.如图，已知在△ABC,∠ABC=2∠C,∠A、∠B的平分线交BC、CA于P、Q.求证：AB+BP=AQ+BQ.十一岁写成长篇小说《正在发育》,引起社会各界广泛争议和讨论，并在台湾出版繁体版本。此书出版，引起台湾媒体的一片惊呼，称其为：早熟的苹果。2008年，蒋方舟被清华大学自主招生三月的清华园，已是垂柳依依，姹紫嫣红。在美丽的清华大学校园里，蒋方舟接受了媒体记者的采访。当记者请她谈谈自己的梦想时，蒋方舟的目光中顿时溢满了一种无限的憧憬和渴望。那一梦想，其实这是一个很隐私的话题。蒋方舟一度羞于表达，她已经走过了那个向人急速表达自己梦想的青涩年龄。但无论走过多少千山万水，内心里总有一处芬芳，散发着它那迷人的馨香，山想主义者，当大家对现实的丑恶龌龊、体制与潜规则已经习以为常的时候，我还是保持着震惊和不适。蒋方舟的震惊和不适，使我们感到她的清纯和简单，一点也不世故和圆滑，一下子拉近了彼此有一个逃遁的领域，默默地干，是蒋方舟梦想中最美的生活状态，她不做意见，也不做畅销书途同归”,是一种梦想，特立独行，也是一种梦想。只有这样，才构成了我们这万千世界，芸芸众展示1如图，△ABC中，∠B=50°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,求∠C的度数.展示2如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC,AB+CD=BC,∠A=120°,求∠C的度数.第8讲等腰三角形之“手拉手”模型“手拉手”模型是校内常考的基本图形之一，其图形构成可以这么记忆：顶角相等的两个等腰三角形共顶角顶点.它的基本结论：产生一对明显的旋转全等三角形.在学习手拉手模型的一般形式之前，我们先来熟悉它的两种特殊情况，也就是结构中的等腰三角形是等边三角形或是等腰直角三角形.1.等边三角形“手拉手”AB=AC;AD=AE.总结：①两个顶角相等且共顶角顶点的等边三角形，左连左右连右，以顶角顶点为旋转中心可得一对旋转全等(旋转度数为60°);②上述全等使用判定为SAS.其中两对对应边(S、S)为两组腰，一组对应角(A)为相等顶角加/减公共角.DD事实上，对于手拉手而言，两个等边三角形除了要共用一个顶点之外，它们的摆放位置可以是任意的；换种说法，它们可以绕着公用顶点随意旋转(除去重合),都能得到旋转全等.例题1如图，已知等边△ABC和△EAD,AC和AD在同一条直线上，BD与CE交于点O.练习1如图已知等边△ABC和△EAD,AC和AD不在同一条直线上，BD与CE交于点O,证明：2.等腰直角三角形“手拉手”知识导航AB=AC;AD=AE.如图所示：通常会求得点A纵坐标和点B的横坐标相等或互为相反数，E在AB上.如图所示：通常会求得点A横坐标和纵坐标相等或互为相反数，AB⊥x轴，AC⊥y轴.且AE=AF,AE⊥AF,则：△ACF≌△ABE已知：如图，AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE.求证：△DAC≌△EAB;BE和CD的数量和位置关系.已知，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°.证明：如图，已知AD=AE,AC=AB,∠BAC=∠DAE=90°,DC与BE交于点O,连接AO.证明：∠AOB=∠AOD=45°.知识导航1、手拉手模型结构特征：顶角相等的两个等腰三角形共顶角顶点(摆动的两个秋千).①两个等腰三角形：等腰△ABC,等腰△ADE;③两个等腰三角形共顶角顶点：等腰△ABC和等腰△ADE都共顶点A.2、手拉手模型基本结论：一对关于顶角顶点的旋转全等，以及相关衍生结论.连接BD和CE(左连左，右连右)衍生结论：(简称BD与CE为上述旋转全等中的非腰对应边)③BD、CE所在直线的交点连向公用顶角顶点产生的射线，平分BD、证法：双垂+面积法.如图，已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.(1)求证：△ABD≌△ACE.(2)求证：BD=CE.如图，已知AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,BD与CE交于点O,连接AO.证明：AO平分∠BOE.二、“手拉手”模型综合如图所示，D是BC边上一点，AB=AD,BC=DE,AC=AE,求证：△ABC≌△ADE;如图，已知△ACD与△BCE,AD与BE相交于P点，若AC=BC,AD=BE,CD=CE,∠ACE=55°,∠BCD=155°,则∠BPD的度数为().A.110°B.125°C.130°D.155°如图1,点M为直线AB上一动点，△PAB,△PMN都是等边三角形，连接BN.(1)求证：AM=BN.(2)分别写出点M在如图2和图3所示位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系(不需证明).(3)如图4,当BM=AB时，证明：MN⊥AB.四、名人励志故事成功离我们并不遥远闻名世界的美国石油巨头洛克菲勒，原来只是一家石油公司的小职员。而且，他所做的工作是也行，这项工作如果是别人来做，要不就会很快跳槽，要不就可能一直做到老死在机器旁边。有一次，他突然发现石油罐子每旋转一次，焊接剂滴落39滴，焊接工作便结束了。此后，他一直在想：焊接剂能否少一些呢?如果能将焊接剂减少一两滴，是不是能节省点儿成本?不久后，他研制出“35滴型焊接机”、“36滴型焊接机”和“37滴型焊接机”。但经过先后试用，都在焊接后偶尔会漏油，没有获得成功。人们都劝他不要吃饱饭没事干，如果闲着，不如下班后去做兼职。然而洛克菲勒并没有因此而退缩，又研制出“38滴型焊接机”。经过试用后，意外地成功了。不久后，他申请了专利，并找人投资生产出这种新型的节约能源的机器。洛克菲勒节省的只是一滴焊接剂，但“一滴”却给公司带来了每年上亿美元的利润。这也站他后来终于成了美国的石油巨头。如图，△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,点C、D、E三点在同一直线上，连结BD.求证：已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B,C重合).以AD为边作等边△ADE(顶点A,D,E按逆时针方向排列),连接CE.(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其它条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立?若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由.第9讲等腰直角三角形之“三垂直”模型一、“三垂直”模型结构及结论知识导航三垂直，其完整的名字是“一线三垂直”,也就是一线三直角，在一直线上有三个直角，如下BAB上面两图中，∠1=∠2=∠3=90°,亦即在直线AC上有三个直角，即一线三垂直.想一想：在一线三垂直背景下，△ABD和△CEB三组角是否分别对应相等?三垂直模型：如图所示，△ABC为等腰直角三角形，即AB=AC,∠BAC=90°.过直角顶点A有一直线1,过B作BM⊥l于点M,过C作CN⊥l于点N.则：△ABM≌△CAN(AAS)→AN=BM,AM=CN如图所示，△ABC为等腰直角三角形，即AB=AC,∠BAC=90°.过直角顶点A有一直线1,过B作BM⊥l于点M,过C作CN⊥l于点M.则：△ABM≌△CAN(AAS)→AN=BM,AM=CN→MN=AM-AN=CN-BM直线MN绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：△ADC≌△CEB.已知，如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥m,CE⊥m,垂足分别为D、E,若BD=2,CE=3,则DE=_刻意练习如图，AE⊥AB,且AE=AB,BC⊥CD,且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中已知，△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,过A任作一直线l,作BD⊥l于D,CE⊥l于E,观察三条线段BD,CE,DE之间的数量关系.(2)如图2,当1不与线段BC相交时，BD,CE,DE三者的数量关系为，并证明你的结论.(3)如图3,当1与线段BC相交，交点靠近B点时，请写出BD,CE,DE三者的数量关系，并证明你的结论，画图直接写出交点靠近C点时，BD,CE,DE三者的数量关系为备用图(1)试说明：BD=DE+CE.(2)若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?不需说明.(3)如图(3),将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点在一条直线上，并且有∠BDA=∠BAC=∠AEC,则问BD与DE、CE的关系如何?试说明理由.如图，已知在△ABC中，∠BAC=90°,在等腰直角△BDE,∠BDE=90°,BD=DE,点D在线段AC上.当∠ACB=45°,点E在BC外时，连接EC.证明：C如图，已知在△ABC中，∠BAC=90°,在等腰直角△BDE中，∠BDE=90°,BD=DE,点D在线段AC上.∠ACB=30°,点E在BC上时，试判断AD与CE的数量关系，并加以证明.二、“三垂直”求坐标知识导航“三垂直”模型的全等最重要的应用便是在平面直角坐标系中求等腰直角三角形的顶点坐标，而这个过程中的重要步骤便是在平面直角坐标系中构造出三垂直全等.1.当直角顶点A在坐标轴上时，可过底角顶点往坐标轴作垂线构造三垂直全等.直角顶点在y轴上，过B作BM⊥y轴于点M,则△ABM≌△CAO.图2直角顶点在x轴上，过B作BM⊥x轴于点M,过C作CN⊥x轴于N,则△ABM≌△CAN.2.当直角顶点A不在坐标轴上时，可先过直角顶点作x轴或y轴的平行线，再过底角顶点往所作平行线上作垂线构造三垂直全等.过A作EF//y轴，过B作BM⊥EF于点M,过C作CN⊥EF于点N,则△ABM≌△CAN.图4例题4求点A的坐标.练习4如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,已知A点坐标为(0,6),C点坐标为(2,0),求点B的坐标.例题5等腰Rt△ACB,∠ACB=90°,AC=BC,点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上.(1)如图1,求证：∠BCO=∠CAO.(2)如图2,若OA=5,OC=2,求B点的坐标.练习5例题6如图，在平面直角坐标系中，△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，且AC=BC,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(0,4),则点C的坐标为.练习6Rt△ABC,∠CAB=90°,AB=AC,求C点坐标.又聋的小哑巴——那时她才19个月大。父母在绝望之余、只好将她送至波士顿的一所盲人学校，特外界沟通和交流。她在10多岁的时候，名字就传遍了全美国，成为残疾人的楷模。小海伦成名后，并未因此而自满，她继续孜孜不倦地接受教育。1900年，这个学习了指语法、凸字及发音，并通过这些手段获得知识的20岁的姑娘，进入了哈佛大学德拉克利夫学院学习。她说“我已经不是哑巴了!”4年后，她作为世界上第一个受到大学教育的盲聋哑人，以优异的成绩毕海伦不仅学会了说话，还学会了用打字机著书和写稿。她虽然是位盲人，但读过的书却很多。而且，她著了7册书，比一般“正常人”更会鉴赏音乐。海伦的触觉极为敏锐，只需用手指轻轻地放在对方的唇上，就能知道对方在说什么;把手放在钢琴、小提琴的木质部分，就能“鉴赏”音乐。她能以收音机和音箱的振动来辨别声音，又能利用这个克服了常人“无法克服”的残疾的“造命人”,其事迹在全世界引起了震惊和赞赏。她大热忱。她喜欢游泳、划船以及在森林中骑马；她喜欢下棋和用扑克牌算命；在下雨的日子里，就以展示1如图所示，在平面坐标系中B(3,1),AB=OB,∠ABO=90°,求点A的坐标.展示2如图1,直线AB与x轴负半轴、y轴的正半轴分别交于A、B,OA、OB的长分别为a、b,且满足a-b=0.(1)判断△AOB的形状.(2)如图2,过坐标原点作直线0Q交直线AB于第二象限于点Q,过A、B两点分别作AM⊥0Q、BN⊥0Q,若AM=7,BN=4,求MN的长.展示3(1)求证：△FAD≌△DBC.(2)判断△CDF的形状并证明.一、“夹半角”模型结构及结论知识导航如下图所示：内夹：全部包含外夹：部分包含蓝色角是绿色角的两倍且二者共顶点，这样的几何结构，我们称其为夹半角.夹半角模型是初二全等几何又一个非常重要的模型，还能与其它知识点(如角平分线定理，勾股定理)相结合，是很多区、校大型考试压轴题中的热点.夹半角模型的辅助线思路有两种：一是截长补短，二是旋转.学会截长补短可以解决基本问题，而理解旋转才能真正理解这种模型.1.90°夹45°知识导航内夹：外旋(任一个)+对称处理方式：①构造△ABK≌△ADF(SAS或ASA),有AK=A(外旋)②求证△KAE≌△FAE(SAS),有EF=EK,∠AEF=∠AEK,则EF=BE+DF,EA平分∠BEF,同理有FA平分∠EFD.AABB处理方式：①构造△ABH≌△ADF(SAS或ASA),有AH=AF,∠HAF=∠BAD,则∠HAE=∠FAE=45°②求证△HAG≌△FAG(SAS),有HG=FG,则BG=DF+FG.则GA平分∠BGF(对称)总结：不论是内夹还是外夹结构，处理的过程都涉及两次全等，旋转+对称；值得注意的是，有夹半角可证得上述结论，但反过来利用上述结论也能反证夹半角.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD,F在CD上，如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD,F在CD上，延长CB到点Q,使点BQ=DF,连接AQ,作∠QAF的角平分线交BC于点E,连接EF,证明：EF=QE.延长线上，F在DC延长线上，且∠EAF=45°.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°,点E、F分别是在线段BC、CD上，且,则线段EF、BE、DF之间又有怎样的数量关系?求证AE平分∠BEF,AF平分∠DFE.刻意练习则线段EF、BE、DF之间有怎样的数量关系?CC总结归纳通过这些例练可知，尽管条件被不断改变或是弱化，但动角∠EAF始终等于定角∠DAB的一半，于是“半角”模型可进一步推广为：7在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别是直线BC、CD上的点，且二、“夹半角”的运用与构造F在CD上，且∠EAF=45°,延长EF、AD交于点Q.求证：△AEQ为等腰三角形.长线上，F在DC延长线上，且∠EAF=45°,延长AB交EF于点Q.证明：△AFQ为等腰三角例题6如图，在直角坐标系中，A点的坐标为(a,0),B点的坐标为(0,b),且a、b满足 若D(0,4),EB⊥OB于B,且满足∠EAD练习6古希腊的大哲学者苏格拉底还是单身的时候，和几个朋友一起住在一间只有七八平方米的小屋有人问他：“那么多人挤在一起，连转个身都困难，有什么可乐的?”苏格拉底说“朋友们在一块儿，随时都可以交换思想，交流感情，这难道不是很值得高兴的事儿吗?”过了一段时间，朋友们一个个相继成家了，先后搬了出去。屋里只剩下了苏格拉底一个人，但“我有很多书啊!一本书就是一个老师。和这么多老师在一起，时时刻刻都可以向它们请教，这怎能不令人高兴呢?”几年后，苏格拉底也成了家，搬进一栋大楼里。这栋大楼有七层，他的家在最底层。底层在这座楼里环境是最差的，上面老是往下面泼污水、丢死老鼠、破鞋子、和杂七杂八的脏东西，那人见他还是一副自得其乐的样子，好奇地问：“你住这样的房子，也感到高兴吗?”“是啊!你不知道住一楼有多少妙处啊!!比如，进门就是家，不用爬很高的楼梯；搬东西方可以在空地上养一丛一丛的花儿，种一畦一畦的菜，这些乐趣啊，数之不尽啊!”苏格拉底情不自过了一年，苏格拉底把的一层的房间给了一位朋友，这位朋友家有一个偏瘫的老人，上下楼很那人又故意问他：“先生，住七楼是不是也有许多好处啊?”利于身体健康；光线好，看书写文章不伤眼睛；没有人在顶干扰，白天黑夜都非常安静。”后来，那人遇到苏格拉底的学生柏拉图，问道：“你的老师总是那么快快乐乐，可我却感到，他每次所处的环境并不那么好啊!”柏拉图说：“决定一个人心情的，不在乎环境，而在于心境。”展示1△ABE,∠EAE₁的平分线交BC边于点F,求证：△CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一展示2F为CD中点，且∠EAF=45°,延长EF、AD交于点Q.求证：AD+EC=EQ.展示3如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于第11讲全等综合提升(一)——条件辅助线一、辅助线基础构造知识导航3、做：…,垂足为…4、截：在…上截取…,使…等于……例题1如图，已知AB=DC,AC=DB,求证：∠A=∠D.练习1例题2二、条件辅助线综合复习1.等腰三角形知识导航1.遇等腰三角形时，经常会利用“三线合一”的性质解题，思维模式是“对称型全等”.几何语言表述：几何语言表述：取BC中点D,连AD,2.遇等腰三角形时，可作一腰的平行线，从而构造新的等腰三角形.D在AC上，过D作DE//AB交BC于点E.∴△DEC为等腰三角形.例题3CC如图，已知等腰△ABC中，AB=AC,D点在AB上，E点在AC延长线上，且BD=CE,连接DE交BC于点F.求证：DF=EF.(用多种方法证明)如图，△ABC中，∠A=60°,P为∠A上一点，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ,连PQ交AC边于D,PD=QD,证明：△ABC为等边三角形.知识导航遇到垂直平分线的条件时，常把垂直平分线上的点和线段的端点连接起来，利用垂直平分线上的点和线段两端点的距离相等进一步得到等腰三角形，并能应用等腰三角形的相关性质求解.在左边的图中直线I为线段AB的垂直平分线，Q点为直线l上的一点，那么常用的辅助线是连接QA和QB.我们便得到了等腰△ABQ.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,∠ABC=60°,AB(1)求证：AE=2CE.(2)求证：DE=EC.交BC于点E、F,垂足分别为M、N.求证：B3.角平分线②过点Q分别作QE⊥OM,QF⊥ON;⑤过D作DE//ON交0Q于点E,则可构造出等腰△DOE;⑥过D作DF//0Q交ON的反向延长线于点F,则可构造出等腰△DOF.如图，已知∠ABC=60°,BD如图，已知∠ABC=60°,BD能力提升阅读下列学习材料：如图1所示，OP平分∠MON,A为OM上一点，C为OP上一点.连接AC,在射线ON上截取请根据上面的学习材料，解答下列各题：比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.(2)如图4所示，上题中AD是△ABC的内角平分线，其它条件不变，求证：PC-PB<AC-AB.知识导航当题中出现中线或者是以中点为端点的线段这样的条件的时候，通常会作的一类辅助线是将中线倍长，或者将以中点为端点的线段倍长.倍长是为了构造“平行8字”全等，进而实现导边导角的最终目的.辅助线：延长AD到点E,并使DE=AB,连接CE.结论：△ADB≌△EDC(SAS)辅助线：延长ED到点F,并使DF=ED,连接BF.→CE=BF;AC//BF结论：△ABD≌△ECD(ASA)→D为AE的中点.例题7如图，已知△ABC,D、E在边BC上，BD=DE,∠1=∠2,AC=2AD.求证：AB=CE.练习7如图，已知△ABC,D、E在边BC上，BD=DE,∠1=∠2,∠3=∠4,求证：AC=2AD.5.截长补短知识导航长的线段上截取一段等于短的线段，或者是将短的线段延长到与长线段相等.例题8如图，已知AB=2AC,∠1=∠2,BD=AD,求证：AC⊥DC.(请用截长、补短两种方法完C成证明)CBCBC华佗学医华佗小时候失去了父母，母亲因病而死。华佗发誓，长大以后一定要做个医生，治好百姓的病。于是，他踏上了学医的旅程。华佗出了京城，听说某某山上有一座庙，庙里有一位长老医术高明，他风餐露宿，跋山涉水，不管乔风下雨，还是不停止学医的征途。过了一个月左右，他终于到了，但由于过度劳累，突然放松所以就倒下了。那位长老救了他并收他为徒。长老开始让华佗干些粗活，但华佗做什么事都全心全意，没有半名抱怨的话。后来，华佗发现，长老把自己的医术的精华和心血都记录在几本题目叫《医案》的书上，量是他总是找准时机看上几眼。长老正在看那本书，华佗见了，急忙抢过小徒弟给长的洗脚水，冲上了楼。他一边给长老洗脚，一边悄悄地看着《医案》,长老猜透了他的心思，于是说：“华佗啊，你想看这本书就拿去吧!”华佗大喜过望，他顾不着给长老洗脚了，拿起书便冲下楼去。经过几天的学习，华佗的医术大有长进，但他还是虚心求学。长老时不时也带他去看病。一天，华佗在看《医案》。一个小徒弟跑过来了，他大声说道：“华佗，师父生病了!”华佗急急忙忙地跑上楼，摸着师父的脉，华佗的脸逐渐从紧张到放松。原来，师没生病，而是在试探他的医术呢!当华佗下去的时候，一看糟了，《医案》被蜡烛的火烧了半边了。他急得像热锅上的蚂蚁，在屋子里团团转，于是，他凭着自己的记忆重新写了《医案》。第二天，师父说：“华佗，那本书带来了吗?”华佗把自己抄的那本给了师父，他说：“师父，这本不是原来的那本，这本是我凭记忆重新写的，原来那本已经烛火烧了。”师父一看，微微一笑，说：“华佗，你真过目不忘啊!”原来的那本并没烧，而是又在试探他呢!华佗长大后，为百姓治病，成了人人夸赞的“神医”。如图，已知在△ABC中，∠B=22.5°,边AB的垂直平分线交BC于D,DF⊥AC