高考数学一轮复习讲义第二二次函数演示教学

一轮复习讲义幂函数与二次函数

忆一忆知识要点忆一忆知识要点①对称轴:②顶点:时递减时递增时递增，时递减2.二次函数的图象与性质图象函数性质定义域x∈R(个别题目有限制的,由解析式确定)值域a>0a<0奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性a>0a<0图象特点忆一忆知识要点求二次函数的解析式二次函数的图象与性质且二次函数的综合应用

02分类讨论在二次函数中的应用涉及方程

f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布问题,一般情况下要从四个方面考虑:①

f(x)

图象的开口方向;②方程

f(x)=0的判别式;④区间端点处函数值的符号.③

f(x)

图象的对称轴与区间的关系;1.二次方程ax2+bx+c=0(a>0)实根分布问题忆一忆知识要点①方程

f(x)=0

有两正根

②方程

f(x)=0

有两负根

③方程

f(x)=0

有一正根一负根

忆一忆知识要点记

f(x)=ax2+bx+c(a>0)1.二次方程ax2+bx+c=0(a>0)实根分布问题根的分布图象充要条件根的分布图象充要条件根的分布图象充要条件两个实根有且仅有一根在区间内2.二次函数图象和性质二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)(1)开口方向:a>0时,开口____,a<0时,开口_____．向上向下(2)顶点、对称轴：顶点坐标为_____________;对称轴方程为________.(3)与坐标轴的交点①与y轴的交点是________;②当Δ>0时，与x轴两交点的横坐标x1、x2分别是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．且|x1-x2|=______;

③当Δ＝0时,与x轴切于一点________;

④当Δ<0时，与x轴_______．不相交(0,c)(4)在对称轴的两侧单调性相反.(5)当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数.Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象方程ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集有两不等实根x1,x2{x|x<x1,x>x2}有两相等实根x1=x2无实根{x|x≠x1}R3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系{x|x1<x<x2}ØØ4.不等式

ax2+bx+c>0

恒成立问题①

ax2+bx+c>0在R上恒成立

③

f(x)=ax2+bx+c>0(a>0)

在

[m,n]

上恒成立

f(x)min>0(x∈[m,n])②

ax2+bx+c<0在R上恒成立

④f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)

在

[m,n]

上恒成立

对勾函数奇偶性:奇函数xyo单调性【例1】已知函数在区间[0,1]上的最大值是2，求实数a的值.对称轴为①当0≤≤1，即0≤a≤2时，得a=3或a=-2,与0≤a≤2矛盾.不合要求；②当<0，即a<0时，y在[0，1]上单调递减，有ymax=f(0)=2，③当>1，即a>2时，y在[0，1]上单调递增，综上，得有ymax=f(1)=2,已知函数f(x)=-x2+8x,求函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t).

解：

f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16.①当t+1<4,即t<3时，

f(x)在[t,t+1]上单调递增.此时h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7；②当t≤4≤t+1,即3≤t≤4时，h(t)=f(4)=16；③当t>4时，f(x)在[t,t+1]上单调递减.此时h(t)=f(t)=-t2+8t.综上可知练一练例2.设不等式mx2-2x-m+1<0对于满足|m|≤2的一切值都恒成立，求实数x的取值范围.解：设f(m)=mx2-2x-m+1,【点评】解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.则

f(m)是一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当-2≤m≤2时，线段在x轴下方,所以实数x的取值范围是【1】练一练与直线y=k有交点,xy-11Y=k【2】若方程x2-2x=k在区间[-1,1]上有解,则实数k的取值范围为_____________.-1≤k≤3由图象，得练一练【3】方程x2-mx+1=0的两根为α,β且则实数m的取值范围是____________.练一练由图可知，方法2:设f(x)=x2-mx+1,则f(0)=1.【3】方程x2-mx+1=0的两根为α,β且则实数m的取值范围是____________.练一练例3.已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝mx有四个不相等的实根}.(2)由图象可知，y＝f(x)与y＝mx图象有四个不同的交点，直线y＝mx应介于x轴与切线l1之间.解:作出图象如图所示.(1)递增区间为[1,2]和[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]和[2,3].得x2＋(m－4)x＋3＝0.由Δ＝0，得当时，舍去.所以集合M＝{m|0＜m＜4－2}.例3.已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝mx有四个不相等的实根}.则问题转化为m≤g(x)min解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，（1）变量分离法(分离参数)例4.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.不等式恒成立问题【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题．问题等价于f(x)max≤0,解：构造函数23y..xo（2）转换求函数的最值例4.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.不等式恒成立问题则解：构造函数23y..xo例4.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.（３）数形结合思想不等式恒成立问题解：据题意，由已知得: