2026版创新设计高考总复习物理(人教基础版)教师用-第3讲　机械能守恒定律及其应用

第3讲机械能守恒定律及其应用学习目标1.理解重力势能和弹性势能，知道机械能守恒的条件。2.会判断研究对象在某一过程机械能是否守恒。3.会用机械能守恒定律解决单个物体或系统的机械能守恒问题。考点一机械能守恒的理解与判断1.重力做功与重力势能(1)重力做功的特点:重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关，重力做功不引起物体机械能的变化。(2)重力势能①表达式:Ep=mgh。②重力势能的特点:重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化量与参考平面的选取无关。③重力做功与重力势能变化的关系:重力对物体做正功，重力势能减小，重力对物体做负功，重力势能增大，即WG=Ep1－Ep2=－ΔEp。2.弹性势能(1)定义:发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。(2)弹力做功与弹性势能变化的关系:弹力做正功，弹性势能减小;弹力做负功，弹性势能增加。即W=－ΔEp。3.机械能守恒定律(1)内容:在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。(2)表达式:mgh1+12mv12=mgh2+12mv22或Ek1+Ep1=(3)守恒条件①系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力。②系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功。③系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零。判断正误(1)物体所受的合力为零，物体的机械能一定守恒。(×)(2)物体做匀速直线运动，其机械能一定守恒。(×)(3)物体的速度增大时，其机械能可能减小。(√)例1(2024·浙江1月选考，3)如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点2的高度为h，则足球()A.从1到2动能减少mghB.从1到2重力势能增加mghC.从2到3动能增加mghD.从2到3机械能不变答案B解析由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，则从1到2重力势能增加mgh，动能减少量大于mgh，故A错误，B正确;从2到3由于空气阻力作用，机械能减小，重力势能减小mgh，则动能增加量小于mgh，故C、D错误。人教版教材必修第二册P83练习与应用T2与本高考试题用同一情境进行考查，高考题在教材习题求解重力做功与重力势能变化量的基础上进行拓展，从而分析动能的变化量和机械能的变化情况，是对教材习题的延伸。2.如图，质量为m的足球在地面1的位置被踢出后落到地面3的位置，在空中达到的最高点2的高度为h。重力加速度为g。(1)足球由位置1运动到位置2时，重力做了多少功?足球的重力势能增加了多少?(2)足球由位置2运动到位置3时，重力做了多少功?足球的重力势能减少了多少?例2(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是()A.甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A的机械能守恒B.乙图中，物体B沿固定斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒C.丙图中，不计滑轮质量和任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒D.丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒答案CD解析甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，弹簧弹力对A做负功，物体A的机械能不守恒，物体A与弹簧组成的系统机械能守恒，故A错误;乙图中，物体B沿固定斜面匀速下滑，说明B受到摩擦力的作用，物体B的机械能减少，故B错误;丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时A加速下落，B加速上升过程中，A、B系统只有重力做功，A、B系统机械能守恒，故C正确;丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的动能和势能都不变，机械能守恒，故D正确。总结提升判断机械能守恒的三种方法考点二单物体的机械能守恒问题1.机械能守恒定律表达式2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤例3(2025·海南嘉积中学期中)如图所示是体育课上某同学水平抛出铅球的示意图，不考虑空气阻力，选地面作为参考平面，用h表示铅球离地面的高度、E表示铅球的机械能，Ep表示铅球的重力势能、Ek表示铅球的动能，则铅球下落过程中，下列图像可能正确的是()答案B解析不考虑空气阻力，抛出后的铅球机械能守恒，故A错误，B正确;铅球的重力势能为Ep=mgh，故C错误;设抛出时铅球的动能为E0，距地面的高度为h0，根据机械能守恒定律得mgh0+E0=mgh+Ek，可得Ek=mgh0+E0－mgh，故D错误。例4(2024·全国甲卷，17)如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m的小环套在大圆环上，小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部，Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小()A.在Q点最大 B.在Q点最小C.先减小后增大 D.先增大后减小答案C解析设小环运动轨迹所对的圆心角为θ(0≤θ≤π)，大圆环的半径为R，大圆环对小环的作用力为F，由机械能守恒定律有mgR(1－cosθ)=12mv2，又小环做圆周运动，则有F+mgcosθ=mv2R，联立得小环下滑过程中受到大圆环的作用力F=mg(2－3cosθ)，则F的大小先减小后增大，且当cosθ=23时F最小，当cosθ=－1，即小环在大圆环最低点时F最大，例5(2025·江西抚州模拟)如图所示，某人站在山顶上，将一质量m=0.5kg的石块沿与水平方向成θ=45°夹角的方向斜向上抛出，石块出手时离地面的高度h=40m，石块落在水平地面上的动能Ek=400J，不计空气阻力作用，重力加速度g取10m/s2，则()A.石块抛出时的速度大小为40m/sB.石块在空中运动的时间约为2.8sC.石块在运动过程中，最大速度为50m/sD.石块在运动过程中，最小速度为20m/s答案D解析石块落地时速度最大，根据Ek=12mv2，可得石块的最大速度v=40m/s，故C错误;根据机械能守恒定律mgh+12mv02=12mv2，解得石块抛出时的速度大小v0=202m/s，故A错误;物体抛出后，在竖直方向上做上抛运动，总运动时间比自由落体运动时间要长，即t>2hg=2.8s，故B错误;石块运动到轨迹最高点时，竖直方向速度为零，其速度最小，最小速度等于抛出时的水平速度为vx=v0cos考点三多物体的机械能守恒问题解决多物体系统机械能守恒的注意点(1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk=－ΔEp或ΔEA=－ΔEB的形式。模型轻绳连接的物体系统机械能守恒常见情景三点提醒①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒;但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。例6(2025·山东济南高三开学考)如图所示，物块A用不可伸长的轻绳绕过轻质光滑定滑轮与置于光滑水平面上的物块B连接，物块A、B的质量均为m，施加外力使物块A、B保持静止，此时轻绳恰好处于伸直状态。某时刻撤去外力，两物块同时由静止开始运动，当物块A下落高度为h时，其加速度大小为a，方向竖直向下，此时连接物块B的轻绳与水平方向的夹角为θ，整个过程物块B始终未离开水平面，已知重力加速度为g。当物块A下落高度为h时，下列说法正确的是()A.物块B的加速度大小为aB.物块B的加速度大小为(g+a)cosθC.物块A的速度大小为2D.物块A的速度大小为2答案D解析对物块A，根据牛顿第二定律mg－T=ma，对物块B，根据牛顿第二定律有Tcosθ=maB，解得aB=(g－a)cosθ，故A、B错误;对物块A和B整体，根据机械能守恒定律mgh=12mvA2+12mvB2，物块A和B的速度有vA=vBcosθ，联立解得vA=2gh模型轻杆连接的物体系统机械能守恒常见情景模型特点①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。例7(2025·辽宁沈阳联考)如图所示，倾角为45°的光滑斜面与光滑的水平地面在C点连接，质量均为m的小球A、B(均可视为质点)用长为L的轻质硬杆连接，现把小球B放置在水平面上的C点，小球A由静止释放，在小球A下滑的过程中，小球B始终在水平地面上运动，重力加速度为g，下列说法正确的是()A.在小球A下滑的过程中，小球A重力势能的减少量等于小球B动能的增加量B.在小球A下滑的过程中，轻质硬杆对小球B先做正功后做负功C.小球A刚到达C点前瞬间，小球A、B的速度相等D.小球A刚到达C点前瞬间，小球B的动能为26答案D解析在小球A下滑的过程中，小球A重力势能的减少量等于小球A、B动能的增加量之和，故A错误;在小球A下滑的过程中，轻质硬杆对小球B的作用力与小球B的运动方向始终成锐角，故轻质硬杆对小球B始终做正功，故B错误;设小球A下滑时杆与地面的夹角为θ、与斜面的夹角为α，则vAcosα=vBcosθ，可得vB=vAcosαcosθ，小球A刚到达C点还未与地面接触时θ=0°，α=45°，此时vB=22vA，由机械能守恒定律可得mgLsin45°=12mvA2+12mvB2，解得vA=22gL3，vB=2gL3，小球B模型轻弹簧连接的物体系统机械能守恒模型特点由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。两点提醒①对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。例8(2025·山东菏泽联考)如图所示，一轻质弹簧置于固定光滑斜面上，下端与固定在斜面底端的挡板连接，弹簧处于原长状态时上端位于B点。一质量为m的物块(可视为质点)从斜面上A点由静止开始释放、下滑至最低点C。已知弹簧的弹性势能表达式为Ep=12kx2，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，斜面倾角为30°，AB=BC=L，忽略空气阻力和一切摩擦，弹簧形变始终在弹性限度内，重力加速度为g。下列说法正确的是(A.由A到C的过程中，物块的机械能守恒B.弹簧的劲度系数为mgC.当弹簧的压缩量为14L时，D.由A到C的过程中，物块的最大速度大小为3答案C解析由A到C的过程中，弹簧弹力对物块做功，物块的机械能不守恒，故A错误;由于物块与弹簧组成的系统机械能守恒，有mg·2Lsin30°=12kL2，解得k=2mgL，故B错误;当物块的加速度为零时，速度达到最大，则mgsin30°=kx，解得x=L4，故C正确;根据系统机械能守恒定律可得mgsin30°L+L4=12kL42+12m限时作业(限时:40分钟)基础对点练对点练1机械能守恒的理解与判断1.(2024·重庆卷，2)2024年5月3日，嫦娥六号探测器成功发射，开启月球背面采样之旅，探测器的着陆器上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段。则组合体着陆月球的过程中()A.减速阶段所受合力为0B.悬停阶段不受力C.自由下落阶段机械能守恒D.自由下落阶段加速度大小g=9.8m/s2答案C解析组合体在减速阶段有加速度，合力不为零，故A错误;组合体在悬停阶段速度为零，处于平衡状态，合力为零，仍受重力和升力，故B错误;组合体在自由下落阶段只受重力，机械能守恒，故C正确;月球表面重力加速度不为9.8m/s2，故D错误。2.(2025·浙江金华模拟)如图所示是航天员在水下进行模拟失重训练的一种方式。航天员穿水槽训练航天服浸没在水中，通过配重使其在水中受到的浮力和重力大小相等。假设其总质量为m，训练空间的重力加速度为g且不变，航天员在某次出舱作业时，匀速上升距离为h的过程中，下列说法正确的是()A.宇航员处于完全失重状态B.机械能增加了mghC.合力不做功，机械能守恒D.重力做负功，机械能减少答案B解析航天员匀速上升，处于平衡状态，故A错误;根据功能关系，除了重力外其他力做的功等于机械能的增加量，由题意可知F浮=mg，浮力做的功W浮=F浮h=mgh，则航天员机械能增加了mgh，重力对航天员做的功WG=－mgh，故B正确，C、D错误。对点练2单物体的机械能守恒问题3.(2025·陕西安康联考)如图所示，内壁光滑的四分之三圆弧形槽放置在水平地面上，O点为其圆心，A、B为圆弧上两点，OA连线水平，OB连线竖直，槽的质量为5m，圆弧的半径为R。一个质量为m的小球从A点以初速度v0(未知)竖直向下沿槽运动，小球运动至最高点B时槽对地面的压力刚好为零。不计空气阻力，重力加速度为g，槽始终未发生移动，则小球的初速度大小v0为()A.gR B.2gR C.22gR答案C解析小球在最高点B时，槽对地面的压力刚好为零，则在B点小球对槽的弹力向上，大小为5mg，由牛顿第三定律和向心力公式有5mg+mg=mv2R，对小球由A到B，由机械能守恒定律有12mv02=mgR+12mv2，可得v4.(2025·山东淄博模拟)图甲是淄博市科技馆的一件名为“最速降线”的展品，在高度差一定的不同光滑轨道中，小球滚下用时最短的轨道叫作最速降线轨道。取其中的“最速降线”轨道Ⅰ和直线轨道Ⅱ进行研究，如图乙所示，两轨道的起点M高度相同，终点N高度也相同，轨道Ⅰ的末端与水平面相切于N点。若将两个相同的小球a和b分别放在Ⅰ、Ⅱ两轨道的起点M，同时由静止释放，发现在Ⅰ轨道上的小球a先到达终点。下列描述两球速率v与时间t、速率平方v2与下滑高度h的关系图像可能正确的是()答案A解析根据机械能守恒定律可得mgH=12mv2，解得小球a和b到达轨道底端的速度大小均为v=2gH，小球b沿直线轨道Ⅱ做匀加速直线运动，其v－t图像为一条倾斜直线，小球a沿“最速降线”轨道Ⅰ运动过程，加速度逐渐减小，则其v－t图像的切线斜率逐渐减小，且小球a所用时间小于小球b所用时间，故A正确，B错误;根据机械能守恒定律可得mgh=12mv2，可得小球a和b下滑过程速率平方v2与下滑高度h的关系为v2=2gh，可知小球a和b的v2－h图像均为一条过原点的倾斜直线，故C5.(多选)(2025·湖南省雅礼中学月考)2022年北京冬奥会在北京和张家口举行，北京成为了历史上第一个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市。图示为某滑雪运动员训练的场景，运动员以速度v1=10m/s沿倾角α=37°、高H=15m的斜面甲飞出，并能无碰撞地落在倾角β=60°的斜面乙上，顺利完成飞越。把运动员视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。以下说法正确的是()A.运动员落至斜面乙时的速率为18m/sB.斜面乙的高度为7.2mC.运动员在空中飞行时离地面的最大高度为20mD.运动员在空中飞行时离地面的高度最大时的速度大小为8m/s答案BD解析运动员在水平方向做匀速直线运动，水平方向速度大小为vx=v1cosα=8m/s，落到斜面乙时，设速度大小为v2，则满足vx=v2cosβ，解得v2=16m/s，故A错误;运动员在空中飞行时离地面的高度最大时的速度为水平方向，即此时速度大小为8m/s，故D正确;设斜面乙高度为h，从斜面甲到斜面乙过程中，由机械能守恒定律得mg(H－h)=12mv22－12mv12，解得h=7.2m，故B正确;从斜面甲飞出时，运动员在竖直方向的速度大小为vy=v1sinα=6m/s，则运动员在空中飞行时离地面的最大高度为Hmax=H+对点练3多物体的机械能守恒问题6.(多选)(2025·湖南浏阳一中月考)如图所示，轻绳一端系一质量为m的金属环，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为5m的重物。金属环套在固定竖直光滑直杆上，定滑轮与竖直杆间的距离OQ=d，金属环从图中P点由静止释放，OP与直杆之间的夹角θ=53°，不计一切摩擦，重力加速度为g(sin53°=45，cos53°=35，tan53°=43)，则A.金属环在Q点的速度大小为gdB.金属环从P上升到Q的过程中，绳子拉力对重物做的功为－54C.金属环从P上升到Q的过程中，重物所受重力的瞬时功率一直增大D.若金属环最高能上升到N点(N点未标出)，则ON与直杆之间的夹角为53°答案AB解析根据关联速度的特点，可知金属环从P上升到Q的过程中，重物的速度开始为零，到达Q点时也为零，所以其重力的瞬时功率先增大后减小，故C错误;金属环运动到Q点时，对金属环及重物系统，根据机械能守恒定律有5mg(OP－d)－mg·PQ=12mvQ2，其中OP=dsin53°，PQ=dtan53°，解得金属环在Q点的速度大小为vQ=gd，故A正确;金属环从P上升到Q的过程中，对重物利用动能定理有5mg(OP－d)+W=0，解得绳子拉力对重物做的功为W=－54mgd，故B正确;若ON与直杆之间的夹角为53°，则重物高度没有变化，机械能不变，金属环由P到N，机械能增加7.(2025·东北三省名校联考)如图所示，两个质量相等可视为质点的小球a、b通过铰链用长为2L的刚性轻杆连接，a球套在竖直杆M上，b球套在水平杆N上，最初刚性轻杆与细杆M的夹角为45°。两根足够长的细杆M、N不接触(a、b球均可无碰撞通过O点)，且两杆间的距离忽略不计，将两小球从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，重力加速度为g。下列说法中正确的是()A.a、b两球组成系统机械能不守恒B.a球到达与b球等高位置时速度大小为gLC.a球运动到最低点时，b球速度最大D.a球从初位置下降到最低点的过程中，刚性轻杆对a球的弹力一直做负功答案C解析a球和b球所组成的系统只有重力做功，则机械能守恒，故A错误;当a球到达与b球等高位置时，b球速度为零，则mgL=12mva2，解得va=2gL，故B错误;当a球运动到两杆的交点后再往下运动2L，此时b球到达两杆的交点处，a球的速度为0，b球的速度达到最大，故C正确;由于系统机械能守恒，a球从初位置下降到最低点的过程中，刚性轻杆对a球的弹力先做负功后做正功再做负功8.(多选)(2025·河北沧州模拟)蹦床运动可以简化为如图甲所示模型，轻质弹簧原长为4L，弹簧的弹力与形变量的关系如图乙所示。第一次将质量为m的小球A在距离弹簧顶端为L的位置由静止释放，小球下落过程中速度最大值为v0;第二次将质量为2m的小球B在相同位置由静止释放，不考虑空气阻力，弹簧始终在弹性限度内，两小球均可视为质点。下列说法正确的是()A.两小球在相同的位置达到最大速度B.当两小球达到最大速度时，第一次和第二次弹簧的弹性势能之比为1∶4C.小球B在下落过程中的最大速度为32vD.小球B在下落过程中的最大速度为103v答案BD解析小球的速度最大时小球受到的重力与弹簧的弹力大小相等，由于小球A、B的质量不同，所以两小球在不同的位置达到最大速度，故A错误;小球达到最大速度时，弹簧的弹性势能等于小球克服弹力所做的功，由胡克定律F=kx，可知当两小球达到最大速度时，第一次和第二次弹簧的压缩量之比为1∶2，小球克服弹力所做的功等于F－x图像下与坐标轴围成的面积，所以当两小球达到最大速度时，第一次和第二次弹簧的弹性势能之比为1∶4，故B正确;由题图乙可知mg=kL4，所以小球A在下落过程中的速度最大时弹簧的压缩量为xA=L4，弹簧的弹性势能EpA=12mg×L4=18mgL，由小球A与弹簧组成的系统机械能守恒可得mgL+L4=18mgL+12mv02，小球B达到最大速度时2mg=kx，解得小球B在下落过程中的最大速度时弹簧的压缩量x=L2，弹簧的弹性势能EpB=12×2mg×L2=12mgL，由小球B与弹簧组成的系统机械能守恒2mg·L+L2=12mgL+综合提升练9.(2025·江苏南京高三月考)如图所示，一根轻质弹簧与质量为m的滑块P连接后，穿在一根光滑竖直杆上，弹簧下端与竖直杆的下端连接，一根轻绳跨过定滑轮将滑块P和重物Q连接起来。图中O、B两点等高，线段OA长为L，与水平方向的夹角θ=37°，重物Q的质量M=5m，把滑块从图中A点由静止释放后沿竖直杆上下运动，当它经过A、B两点时，弹簧对滑块的弹力大小相等，不计滑轮的摩擦，在滑块从A到B的运动过程中()A.滑块P的速度一直增大B.滑块P在位置B的速度为4C.轻绳对滑块P做功为0.5mgLD.P与Q的机械能之和先减小后增大答案B解析由A、B两点弹簧对滑块的弹力大小相等可知，A点弹簧处于压缩状态，B点弹簧处于伸长状态，B点P所受合力竖直向下，则P在越来越靠近B点过程中必有所受合力方向竖直向下的阶段，该阶段P的速度减小，故A错误;滑块P在A、B两点时，弹簧对滑块的弹力大小相等，即弹簧的形变量相等，弹簧的弹性势能相等，到B点时，Q的速度为零，则系统由机械能守恒定律可得5mg(L－Lcos37°)=mgLsin37°+12mvB2，解得vB=45gL，故B正确;对滑块P，从A到B根据动能定理有W－mgLsin37°=12mvB2，解得W=mgL，故C错误;由A项分析知，从A点到B点过程中，弹簧对P、Q整体先做正功，后做负功，所以10.(2025·北京石景山模拟)一兴趣小组的同学为探究物体做圆周运动的特点制作了如图所示的装置:弧形轨道下端与半径为R的竖直圆轨道平滑相接，B