2024-2025学年山东省菏泽市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省菏泽市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.i2025A.0 B.1 C.i D.−i2.某人打靶时连续射击三次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是(

)A.三次都没有中靶 B.三次都中靶 C.至多一次中靶 D.只有一次中靶3.菱形ABCD的边长为2，且∠DAB=60°，AB⋅BC=A.3 B.−2 C.2 D.4.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图，其中∠O′B′A′=90°，A′B′=1，则AB=(

)A.1

B.2

C.2

D.5.已知α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，下列结论中正确的是(

)A.若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β

B.若m⊂α，α⊥β，则m⊥β

C.若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β

D.若α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，m//n，则l//n6.如图，某数学兴趣小组欲测量校内旗杆顶部M和教学楼顶部N之间的距离，从C点测得M点的仰角∠MCA=45°，N点的仰角∠NCB正弦值为35，∠ACB=60°，旗杆AM高10米，教学楼BN高15米，则MN=(

)A.63米

B.413米

C.5137.已知样本数据x1，x2，⋯，x2025的平均数和方差分别为a，b，样本数据y1，y2，⋯，y2025的平均数和方差分别是b，a，若A.5 B.17 C.20 D.20258.现有大小和质地相同的6个球，其中有3个红球(标号分别为1、2、3)，3个绿球(标号分别为1、2、3)，按一定方式抽取两球，标号之和大于4即为取球成功.现有三种抽取方式：方式①有放回依次抽取两球；方式②不放回依次抽取两球；方式③按颜色等比例分层抽取两球.记这三种方式取球成功的概率分别为p1，p2，p3，则A.p1>p2>p3 B.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若虚数z1，z2是方程x2−x+1=0A.|z1|=|z2| B.z10.已知三个随机事件A，B，C，概率均不为0，下列说法正确的有(

)A.若A⊆B，则P(AB)=P(A)

B.若A，B互斥，P(A∪B)=0.6，P(B)=0.2，则P(A−)=0.6

C.若P(A∪C)=P(B∪C)，则P(A)=P(B)

D.若11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点E，F分别是AD，DDA.过B1，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是四边形

B.存在点P，使得FP//平面ABC1D1

C.FP+B1P的最小值为17

D.若FP⊥CP，则点P轨迹的长度为12.已知正方形ABCD边长为1，AB=a,BC=b,13.在等腰梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=π3，BC=3AD=3，该梯形绕直线AD旋转一周形成的面围成的几何体体积为______．14.如图，平面凸四边形ABCD中，AD⊥AC，AB⊥BC，AC平分∠BCD.∠ACD=30°，则tan∠BDC=______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知点O(0,0)，向量OA=(2,3),OB=(4,−3),OC=(1,λ)．

(1)若OC⊥AB，求λ的值；

(2)若点P在线段16.(本小题15分)

某部门针对某社区建设满意度进行评分，第一轮由8名评委进行评分，评分如下：71，73，76，79，81，83，86，91

第二轮由100名社区居民进行评分，将居民的评分分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五组，并画出其频率分布直方图(如图)．

(1)求a的值并估计这100名居民评分的中位数；

(2)若第一轮评分的平均分为x−，第二轮评分的平均分为y−(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).记z=x−z的取值z<140140≤z<160z≥160满意度等级不满意满意非常满意试估计该社区建设满意度等级．17.(本小题15分)

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+3asinCb+c=1

(1)求角A；

(2)若a=6，O为平面ABC18.(本小题17分)

品酒师测试通常采用的方法如下：拿出3瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这3瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.分别以a1，a2，a3表示第一次排序时被排为1，2，3的三种酒在第二次排序时的序号，令X=|a1−1|+|a2−2|+|a3−3|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.若两轮测试都有X=0，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有X≤2，且至少有一轮测试出现X≠0，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号，甲没有任何品酒经验，采用随机猜测的方法排序．

(1)试列出甲每轮测试第二次排序时所有可能的结果(a1,a2,19.(本小题17分)

如图，△ABC与△BCD所在平面互相垂直，在直角三角形△ABC中，AB=AC，在△BCD中，BC⊥BD，∠BCD=60°，点E、F分别在线段BD、CD上，将△DEF沿直线EF向上翻折，使点D与点A重合．

(1)证明：AC⊥AE；

(2)求直线AF与平面ABE所成角的正弦值；

(3)判断四棱锥A−BEFC是否存在外接球，若存在，求出外接球半径，若不存在说明理由．

参考答案1.C

2.A

3.C

4.D

5.D

6.C

7.A

8.D

9.ACD

10.ABD

11.BC

12.213.7π

14.315.(1)∵点O(0,0)，向量OA=(2,3),OB=(4,−3),OC=(1,λ)，

∴AB=OB−OA=(2,−6)，

∵OC⊥AB，∴OC⋅AB=2−6λ=0，

解得λ=13；

(2)设P(x,y)，

∵点P在线段AB16.(1)(0.010+a+0.025+0.030+0.015)×10=1，a=0.020，

因为0.1+0.2=0.3<0.5，0.3+0.25=0.55>0.5，

因此100名居民评分的中位数位于区间[70,80)，

设居民评分的中位数为x，

则0.3+(x−70)×0.025=0.5，x=78；

(2)x−=18(71+73+76+79+81+83+86+91)=80，

y17.(1)由acosC+3asinCb+c=1，得：acosC+3asinC=b+c，

由正弦定理得sinAcosC+3sinAsinC=sinB+sinC，

因sinB=sinAcosC+cosAsinC，

代入整理得：3sinAsinC=cosAsinC+sinC，

因为sinC≠0，所以3sinA−cosA=1，即sin(A−π6)=12，

由0<A<π可得−π6<A−π6<5π6，故A−π6=π6，即A=18.(1)所有可能的(a1,a2,a3)构成的样本空间：

Ω={(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)}．

(2)令A表示事件“X=0”，B表示事件“X=2”，C表示事件“X=4”．

由(1)知道事件A包含样本点(1,2,3)，事件B包含样本点(1,3,2)，(2,1,3)，

事件C包含样本点(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，

因此P(A)=16，P(B)=13，P(C)=12，

甲参加第一轮测试X值记为X1，参加第二轮测试X值记为X2，

记事件D1=“X1=0，X2=2”，D2=“X1=2，X2=0”，

D3=“X1=2，X2=2”，

则D=D1∪D2∪D3，

因此P(D1)=P(19.(1)证明：因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，BD⊥BC，

BD⊂平面BCD，故BD⊥平面ABC，

而AC⊂平面ABC，所以DB⊥AC，

又AB⊥AC，BD∩AB=B，BD，AB⊂平面ABD，

所以AC⊥平面ABD，又AE⊂平面ABD，

所以AC⊥AE．

(2)连接AD.设BC=2，则AB=AC=2，DC=4，BD=23，

由(1)知：AC⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，则AC⊥AD，

在Rt△ACD中，又AF=DF，得∠ADC=∠DAF，

又∠ACD=π2−∠ADC，∠FAC=π2−∠ADF，故