2024-2025学年湖南省株洲四中高一（下）期末数学试卷含答案

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省株洲四中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足i⋅z=1−i，则|z|=(

)A.12 B.1 C.2 2.若平面向量a,b,c两两的夹角相等，且|aA.2 B.4 C.2或4 D.1或43.已知f(x)是在R上单调递增的奇函数，则函数y=f(x)cosx在[−2,2]上的图象可能为(

)A. B.

C. D.4.圆锥SO的底面圆半径OA=1，侧面的平面展开图的面积为3π，则此圆锥的体积为(

)A.223π B.235.已知某中学共有学生1000名，其中男生有600人，现按性别采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生身高的平均数和方差分别为160和4，女生身高的平均数和方差分别为155和3，则估计该校学生身高的总体方差是(

)A.9.6 B.9 C.8.6 D.86.如图，A，B两地相距45km，甲欲驾车从A地去B地，由于山体滑坡造成道路AB堵塞，甲沿着与AB方向成18°角的方向前行，中途到达C点，再沿与AC方向成153°角的方向继续前行到达终点B，则这样的驾车路程比原来的路程约多了(参考数据：sin18°≈0.31，sin27°≈0.45，2≈1.41)(

)A.45.5km B.51.5km C.56.5km D.60.5km7.已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所在的对边，且a=4，b+c=5，tanB+tanC+3=3tanBA.34 B.33 C.8.设角α1、α2满足12+sinα1A.π4 B.π3 C.π2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z满足|z|=6，则下列结论正确的是(

)A.z在复平面内对应的点可能是(2,2)B.z⋅z−=4

C.z的实部与虚部之积小于等于3D.10.以下结论正确的是(

)A.“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件．

B.掷两枚质地均匀的骰子，设A=“第一次出现奇数点”，B=“第二次出现偶数点”，则A与B相互独立

C.假设P(A)=0.7，P(B)=0.8，且A与B相互独立，则P(A∪B)=0.56

D.若P(A)>0，P(B)>0，则事件A，B相互独立与事件A，B互斥不能同时成立11.在平面四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD.将该四边形沿着对角线AC折叠，得到空间四边形ABCD，E为棱BD的中点，则(

)A.异面直线AC，BD所成的角是π4 B.BD⊥平面AEC

C.平面ABD⊥平面AEC D.三、填空题：本题共3小题，共15分。12.已知平面向量a=(t−1,2−t)，b=(3,−2)，若a//b，则13.某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组[50,60)，第二组[60,70)，第三组[70,80)，第四组[80,90)，第五组[90,100]，其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数为______，成绩优秀的经验概率是______．14.已知△ABC为等边三角形，点G是△ABC的重心.过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E.设AD=λAB，AE=μAC，则1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=asin(π−x)cosx+cos(2x+π4)，且f(π4)=22．

(Ⅰ)求a的值和函数f(x)的最小正周期；

(Ⅱ)求不等式f(x)>32的解集；

(Ⅲ)在△ABC中，AB=1，16.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD为正四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，四棱锥的高为1，点E在棱AB上，且2AE=EB．

(1)若点F在棱PC上，是否存在实数λ满足PF=λFC，使得BF//平面PDE？若存在，请求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．

(2)在第(1)问的条件下，当BF//平面PDE时，求三棱锥P−DEF的体积．17.(本小题15分)

高一年级疫情期间举行全体学生的数学竞赛，成绩最高分为100分，随机抽取100名学生进行了数据分析，将他们的分数分成以下几组：第一组[0,20)，第二组[20,40)，第三组[40,60)，第四组[60,80)，第五组[80,100]，得到频率分布直方图，如图所示．

(1)试估计这次竞赛成绩的众数和平均数；

(2)已知100名学生落在第二组[20,40)的平均成绩是32，方差为7，落在第三组[40,60)的平均成绩为50，方差为4，求两组学生成绩的总平均数x−和总方差s2；

(3)已知年级在第二组[20,40)和第五组[80,100]两个小组按等比例分层抽样的方法，随机抽取4名学生进行座谈，之后从这4人中随机抽取2人作为学生代表，求这两名学生代表都来自第五组[80,100]18.(本小题12分)

如图1，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，将△BCD沿BD折起至△BPD(如图2)，且点E为AP的中点．

(1)证明：平面ABP⊥平面BDE；

(2)若AP⋅AC=9，求平面PBC与平面BDE19.(本小题12分)

如图，在正四面体A−BCD中，棱长为2，E为CD中点．

(1)求证：CD⊥平面ABE．

(2)已知F为棱BC上一点(不含端点)，CF=x，M为线段AF上一动点，N为截面ABE上一动点．

(i)若存在M，N使得平面FMN//BD，求x范围．

(ⅱ)设CM+MN的最小值为关于x的函数f(x)，求f(x)值域．

参考答案1.C

2.D

3.B

4.A

5.A

6.C

7.C

8.A

9.ACD

10.BD

11.BCD

12.4

13.100

0.15

14.3

15.(Ⅰ)f(x)=asin(π−x)cosx+cos(2x+π4)

=asinxcosx+cos2xcosπ4−sin2xsinπ4

=a−22sin2x+22cos2x，

因为f(π4)=22，所以a−22×1+22×0=22，即a=22，

所以f(x)=22sin2x+22cos2x=sin(2x+π4)，

所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π．

(Ⅱ)由f(x)=sin(2x+π4)>32，得2kπ+π3<2x+π4<2kπ+2π3，k∈Z，

所以kπ+π24<x<kπ+5π24，k∈Z，

所以不等式f(x)>32的解集为(kπ+π24,kπ+5π24)，k∈Z．

(Ⅲ)因为f(34α)=22，所以sin(3α216.(1)存在实数λ=2满足PF=λFC，使得BF//平面PDE．

证明如下：如图，

取DC上一点G，满足DG=2GC，连接GF，GB，BF，

因为PF=2FC，所以GF//PD．

因为GF⊄平面PDE，PD⊂平面PDE，所以GF//平面PDE，

因为底面ABCD是正方形，且2AE=EB，所以DG//BE且DG=BE，

所以四边形EBGD为平行四边形，所以BG//ED，

因为BG⊄平面PDE，ED⊂平面PDE，所以BG//平面PDE，

又因为BG∩GF=G，BG⊂平面BGF，GF⊂平面BGF，

所以平面BGF//平面PDE．

又因为BF⊂平面BGF，所以BF//平面PDE；

(2)已知VP−DEF=VF−PDE，因为BF//平面PDE，所以VF−PDE=VB−PDE，

17.解：(1)由图可得，众数为60+802=70，

平均数为10×0.05+30×0.10+50×0.20+70×0.35+90×0.30=65；

(2)由图可得，第二组[20,40)的人数为0.10×100=10人，第三组[40,60)的人数为0.20×100=20，

故x−=32×10+50×2010+20=44，

s2=13×[7+(32−44)2]+23×[4+(50−44)2]=77；

(3)由题，第二组[20,40)和第五组[80,100]的人数比为0.10：0.30=1：3，

故在第二组[20,40)和第五组[80,100]分别抽1人和3人．

记第二组[20,40)中的1人为A，第五组[80,100]中的3人分别为B1，B2，B3，

则这4人中随机抽取2人作为学生代表，所有可能的情况有：

(A,B1)，(A,B2)，(A,B3)，18.(1)证明：连接AC，交BD于点O，连接OP，OE，

在菱形ABCD中，AC⊥BD，BC=CD，且O既是AC的中点，也是BD的中点，

又∵∠BAD=60°，∴△BCD是等边三角形，

显然BP=DP，∴OP⊥BD，

又AC∩OP=O，AC，OP⊂平面PAC，

∴BD⊥平面PAC，

∵AP⊂平面PAC，

∴BD⊥AP，

在折叠过程中，始终有BP=AB，又E是AP的中点，

∴BE⊥AP，又BE∩BD=B，BE、BD⊂平面BDE，

∴AP⊥平面BDE，

∵AP⊂平面ABP，

∴平面ABP⊥平面BDE；

(2)在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴AC=23，

以O为原点，OA，OB所在直线分别为x，y轴，作Oz⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(3,0,0)，B(0,1,0)，C(−3,0,0)，

∴AB=(−3,1,0)，AC=(−23,0,0)，CB=(3,1,0)，

设P(m,0,n)，∴AP=(m−3,0,n)，

∴AP⋅AC=−23×(m−3)=9，解得m=−32，

又∵折叠过程中，OP=OC=3，

∴|OP|=m2+n2=3，

解得n=32，

∴P(−32,0,32)，∴19.(1)证明：在正四面体A−BCD中，△ACD，△BCD为等边三角形，

∵E为CD中点，∴CD⊥DE，CD⊥AE，

∵DE∩AE=E，DE，AE⊂平面ABE，

∴CD⊥平面ABE．

(2)(i)如图，延长AN交BE于P，N在截面ABE上，

则P在线段BE上，

平面FMN与平面AFP为同一平面，

∵平面FMN//BD，BD，FP⊂平面BCD，

∴BD//FP，又P在线段BE上，∴x∈[1,2)．

(ii)将平面AFP沿AF展开，并延长CF，AP交于点Q，

CM+MN≤CN≤2sin∠CAN，

当CF=x，AF=4+x2−2x，FP=1−x2，

∴CD⊥平面ABE，

当FP⊥AE，即FP⊥平面ABE，∠FAP取得最小值，