2024-2025学年河南省信阳市商城县高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省信阳市商城县高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x≥4}，B={1,2,3,4,5}，则A∩B=(

)A.{5} B.{4,5} C.{2,3} D.{1,2,3}2.若{e1,e2}A.{e1, e1+e2}3.若α为第三象限角，则下列各式的值为负数的是(

)A.sin(π+α) B.cos(π+α) C.sin(π−α)4.若tan(θ−3π4)=−4A.−725 B.725 C.−5.已知一组数据39，41，44，46，49，50，x，55的第65百分位数是50，那么实数x的取值范围是(

)A.[50,+∞) B.(50,+∞) C.(50,55) D.[50,55]6.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,A=π4,b=4，若△ABC有两解，则a的取值范围是A.(2,22) B.(22,4)7.在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥AB，AD=AB=12BC=2，点E在线段CD上，则AC⋅A.(2,8) B.[2,8] C.(4,16) D.[4,16]8.由瑞士著名建筑大师马里奥⋅博塔设计的清华大学艺术博物馆整体为长方体造型，长方体ABCD−A1B1C1D1是该建筑的直观图，当身高为ℎm人(忽略眼睛到头顶的距离)站在点N处(AB的延长线上)时可以估测B1点、C1点的仰角，现测得楼宽BC长为am，此人估测得B1点的仰角为α，CA.ℎ+a⋅B.ℎ+a⋅cosαcosβsin(α+β)sinD.ℎ+二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设A，B是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是(

)A.P(A)+P(B)>1

B.若A和B互斥，则A和B一定相互独立

C.若事件A⊆B，则P(A)≤P(B)

D.若A和B相互独立，则A和B一定不互斥10.下列关于向量的命题，错误的是(

)A.AB+BC=AC

B.在边长为1的等边△ABC中，BA⋅BC=12

C.若a//b11.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2A.当E为CD1中点时，AE与BB1所成角的正切值是5

B.AE与平面ABB1A1所成角为定值

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=(1,1),b=(m,−6)，且a//b，则实数13.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为棱AD、14.刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制).例如，正四面体的每个顶点有3个面角，每个面角为π3，所以正四面体在各顶点的曲率为2π−π3×3=π.在底面为矩形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD=2PA.PC与底面ABCD所成的角为π四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知A(0,1)，B(3,2)，C(−1,5)．

(1)若AB−2AC=(m,n)，求m，n；

(2)若AD16.(本小题15分)

已知函数f(x)=23sin2(x+π4)−2sin2x−3+1．

17.(本小题15分)

已知a，b，c分别为锐角三角形ABC三个内角A，B，C的对边，且3c=2asinC．

(1)求A；

(2)若a=7，b=2，求c；

(3)若18.(本小题17分)

某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数)分为6组：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，绘制出如图所示的频率分布直方图．

(1)求出图中实数a的值；

(2)若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；

(3)若从成绩来自[40,50)和[90,100]两组的学生中随机选取两名学生：

(ⅰ)写出该试验的样本空间；

(ⅱ)求这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率．19.(本小题17分)

如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC，M是半圆弧AB上异于A，B的动点，平面ABC⊥平面ABM.设O，N分别为AB，AM的中点，∠MAB=α，三棱锥A−BCM体积的最大值为13．

(1)证明：AM⊥平面OCN；

(2)当α=π6时，求二面角C−AM−B的正切值；

(3)求点N到平面BCM的距离(用α

答案解析1.【答案】B

【解析】解：∵A={x|x≥4}，B={1,2,3,4,5}，

∴A∩B={4,5}．

故选：B．

根据集合的交集进行运算即可．

本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．2.【答案】D

【解析】解：根据{e1, e2}是平面内的一个基底，可知e1,e2不共线，

对于A，因为e1,e2不共线，故不存在实数λ，使e1+e2=λe1，

所以e1, e1+e2不共线，{e1, e1+e2}可以作为基底；

对于B，因为e1,e2不共线，故不存在实数λ，使e1+e2=λ(e1−3.【答案】C

【解析】解：因为α为第三象限角，所以sinα<0，cosα<0，tanα>0，

由sin(π+α)=−sinα>0，可知A错误；

由cos(π+α)=−cosα>0，可知B错误；

由sin(π−α)=sinα<0，可知C正确；

由tan(π+α)=tanα>0，可知D错误．

故选：C．4.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查三角恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．

由已知利用两角差的正切函数公式可求tanθ的值，根据二倍角的正切函数公式即可求解．

【解答】

解：因为tan(θ−3π4)=−43，

所以tanθ+11−tanθ=−43，5.【答案】A

【解析】解：由已知可得该组数据共有8个，

则8×65%=5.2，所以这组数据的第65百分位数是第6个数，

因此

x不小于50，即x∈[50,+∞)．

故选：A．

根据百分位数定义列不等式求解．

本题考查了百分位数的求解，属于基础题．6.【答案】B

【解析】解：在△ABC中，A=π4,b=4，

若△ABC有两解，则bsinA<a<b，

所以4sinπ4<a<4，

即22<a<4．

故选：7.【答案】D

【解析】解：以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．

由AD//BC，AD⊥AB，AD=AB=12BC=2，可得：

B(0,0)，C(4,0)，A(0,2)，D(2,2)，

则AC=(4−0,0−2)=(4,−2)．

因为点E在线段CD上，设CE=λCD(λ∈[0,1])，

CD=(2−4,2−0)=(−2,2)，所以CE=λ(−2,2)=(−2λ,2λ)．

又BC=(4,0)，那么BE=BC+CE=(4−2λ,2λ)，

AC⋅BE=(4,−2)⋅(4−2λ,2λ)

=4×(4−2λ)+(−2)×2λ

=16−8λ−4λ

=16−12λ，

因为λ∈[0,1]，当λ=0时，16−12λ=16；当λ=1时，16−12λ=4，

所以16−12λ∈[4,16]．

8.【答案】D

【解析】解：设上底面与点M的高度差为H，

可得CN=Htanβ，BN=Htanα，

在直角三角形BCN中，∠BCN=90°，根据勾股定理可得BC2+BN2=CN2，代入已知可得a2+H2tan2α=H2tan2β，

解得H2=9.【答案】CD

【解析】解：对于A，若P(A)<12，P(B)<12，则P(A)+P(B)<1，故A错误；

对于B，D，若事件A和B互斥，则P(AB)=0，

若事件A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)>0，故B错误，D正确；

对于C，事件B包含事件A，则P(A)≤P(B)，故C正确．

故选：CD．10.【答案】CD

【解析】解：A：根据向量加法的三角形法则，AB+BC=AC，正确；

B：在边长为1的等边△ABC中，BA与BC夹角为60°，

则BA⋅BC=|BA||BC|cos60°=1×1×12=12，正确；

C：若a//b，a与b方向可能相同或相反，长度也不一定相等，故a=b不成立，错误；

11.【答案】ACD

【解析】解：当E为CD1中点时，取CD中点G，连结EG，AG，则∠AEG即为AE与BB1所成角．

因为EG⊥平面ABCD，AG⊂平面ABCD，所以EG⊥AG，

而EG=1,AG=5，故tan∠AEG=5,A正确；

点E到平面ABB1A1的距离为2，设AE与平面ABB1A1所成角为θ，则sinθ=2AE，不是定值，B错误；

因为CD1/​/平面ABB1A1，而E∈CD1，所以点E到平面ABB1A1的距离为2，

VA−EBB1=VE−ABB1=13×2×2=43为定值，C正确；

由已知，△AB1D1，△B1CD1都是等边为22的等边三角形，将它们展开为一个平面图形，

当E为CD112.【答案】−6

【解析】解：因为a//b，a=(1,1),b=(m,−6)，

所以1×(−6)=1×m，解得m=−6．

故答案为：−613.【答案】5【解析】解：根据题意，EF⊥平面ADD1A1，

∴ED1⊥EF，ED⊥EF，

∴∠D1ED是平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的平面角，

在Rt△D1ED中，D1E=1+14=52，

∴cos14.【答案】3π4【解析】解：设PA=1，则AD=2，

∵PA⊥底面ABCD，

∴AC是PC在底面ABCD上的射影，

则∠PCA是PC与底面ABCD所成的角，即∠PCA=π6，

则sin∠PCA=PAPC，即1PA=12，得PA=2，则AC=3，

即AB=AC2−BC2=3−2=1，

即AB=PA，则在Rt△PAB中，∠PBA=π4，

PB=BC=2，

15.【答案】解：(1)A(0,1)，B(3,2)，C(−1,5)，

则AB=(3,1)，AC=(−1,4)，

AB−2AC=(3,1)−(−2,8)=(5,−7)=(m,n)，即m=5，n=−7；

(2)设D(x,y)，

AB=(3,1)，AC=(−1,4)，

则2AB+4AC=(6,2)+(−4,16)=(2,18)，

A(0,1)，AD=2AB+4【解析】(1)根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量相等的条件，即可求解；

(2)根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量相等的条件，即可求解．

本题主要考查向量的坐标运算，以及向量相等的条件，属于基础题．16.【答案】函数f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z【解析】(1)由题意可得f(x)=23⋅1−cos(2x+π2)2−2⋅1−cos2x2−3+1

=3[1+sin2x]−(1−cos2x)−3+1

=3sin2x+cos2x

=2sin(2x+π6)，

令2x+π6∈[−π2+2kπ,π2+2kπ]，k∈Z，

解得x∈[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z，

故f(x)的单调递增区间为[−17.【答案】解：(1)由于0<C<π2，所以sinC≠0，

由3c=2asinC得3sinC=2sinAsinC，

所以sinA=32，且三角形ABC为锐角三角形，

所以A=π3；

(2)在△ABC中，由余弦定理有cosA=b2+c2−a22bc=4+c2−74c=12，【解析】(1)由已知结合正弦定理进行化简可求sinA，进而可求A；

(2)由已知结合余弦定理即可求解；

(3)由已知结合二倍角公式先求出cos2B，sin2B，然后结合两角和的余弦公式可求．

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．18.【答案】0.030；

224；

(ⅰ)答案详见解析；

(ⅱ)35【解析】(1)因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，

可得(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，解得a=0.030．

(2)若该校高一年级共有学生640名，成绩不低于80分的频率为(0.025+0.01)×10=0.35，

成绩不低于80分的人数为640×0.35=224人．

(3)(ⅰ)成绩来自[40,50)的学生人数为40×0.05=2人，记为a，b，

成绩来自[90,100]的学生人数为40×0.1=4人呢，记为c，d，e，f，

则从中随机选取两名学生的样本空间为：Ω={ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef}，共15个样本点，

(ⅱ)设M=“两名学生数学成绩至多有一名及格”，

则M={ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf}，其中含了9个样本点，

所以这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率P(M)=915=35．

(1)根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，列出方程，即可求解；

(2)根据题意，求得成绩不低于80分的频率为0.35，进而求得高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；

(3)根据题意，得到成绩来自[40,50)的学生人数为2人，记为a，b，成绩来自[90,100]