2024-2025学年广东省茂名市高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省茂名市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知正项等比数列{an}，a2aA.2 B.3 C.4 D.82.已知x与y之间的一组数据：x1234y5.543.53若y与x满足回归方程y=bx+5，则A.−25 B.−45 C.3.在正方体ABCD−A′B′C′D′中，O为底面ABCD的中心，则直线A′O与B′D′所成的角为(

)A.45° B.60° C.90° D.120°4.小明在注册某账号的密码时，想在1，2，3，a，b中组成无重复的五位字符的密码，要求a与b相邻，则可以设置不同的密码的个数为(

)A.12 B.24 C.36 D.485.已知圆锥的表面积为12π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为(

)A.4π B.433π C.6.已知曲线f(x)=(x+1)3在点(1,8)处的切线与直线y=kx平行，则k=(

)A.8 B.12 C.13 D.147.已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PB⊥CD，PB与底面ABCD所成角为60°，PB=2，则CD到平面PAB的距离是(

)A.12 B.1 C.328.袋子A中有2张10元纸币和4张1元纸币，袋子B中有6张5元纸币.现抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出几点就从两个袋子中各取出几张纸币，则从A中取出的纸币的面值之和大于从B中取出的纸币的面值之和的概率为(

)A.730 B.2390 C.310二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设某车床生产的零件长度为随机变量X，X～N(5,1)，则下列说法正确的是(

)A.E(X+3)=8 B.D(3X+1)=4

C.P(2≤X≤8)=1−2P(X>8) D.P(6≤X≤7)<P(4≤X≤5)10.等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=1A.a5=−3 B.数列{a2n−1}的第10项为−13

C.数列{1ana11.已知棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1A.正方体棱上满足条件的P的个数为3

B.正方体棱上满足条件的P所在的平面去截正方体，截面面积为23

C.正方体棱上满足条件的P所在的平面去截正方体，被截去较小部分的体积为12

D.点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(2x+1x)5的展开式中，x3的系数是______13.已知∀x∈[1,2]，xlnx+ax+2≤0恒成立，则a的取值范围是______．14.在一个数字转换程序中，S1，S2分别输入正整数m，n，经该转换程序处理后输出的数值为A(m,n)，该程序运行满足以下3个条件：

①A(1,1)=1；②A(m+1,1)=4A(m,1)+3；③A(m,n+1)=A(m,n)+3．

若S2输入2025，且输出的数值为6103，则S四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=(x+2)ex．

(1)求f(x)的单调区间及最值；

(2)设g(x)=f(x)−k，讨论g(x)在区间[−1,1]16.(本小题15分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2,a2n+1=2an+3(n∈N∗)，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且17.(本小题15分)

如图，在正方体ABCD−A′B′C′D′中，E，F分别是棱BC，CD上的动点．

(1)设E，F分别为BC、CD的中点.证明：EF//平面AB′D′；

(2)设BE=CF．

(i)证明：B′F⊥D′E；

(ii)当三棱锥A′−CEF的体积取得最大值时，求平面A′EF与平面CEF夹角的余弦值．18.(本小题17分)

某研究小组为了探究性别与商场购物意愿之间是否存在关联，随机调查200名市民，得到如下数据：

单位：人性别商场购物意愿合计喜欢在商场购物不喜欢商场购物男性603090女性9020110合计15050200(1)根据小概率值α=0.050的独立性检验，分析性别与商场购物意愿是否有关联．

(2)采用分层随机抽样，从调查中喜欢商场购物的市民抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中男性人数X的分布列和期望．

(3)某商场推出购物抽奖促销活动，抽奖是从一个装有1个红球、1个白球、4个黄球的不透明盒子中，依次有放回随机地摸取1个球.规则如下：每摸中1次红球，奖励10元购物券；当消费者摸中红球的个数比黄球个数多1时，抽奖结束，否则抽奖继续.记甲在n次摸球后抽奖结束且获奖30元购物券的概率为P(n)，求当P(n)取最大值时n的值．

附：χ2=n(ad−bcα0.0500.0100.001x3.8416.63510.82819.(本小题17分)

已知f(x)=ex+e−x+λsinx(λ∈R)．

(1)若f(x)为偶函数，求λ的值；

(2)若f(x)在区间(0,π)内有两个不同的极值点x1，x2，求证：x1+x2>π；

(3)当λ=2时，定义复数zn=f(nπ)+if′(nπ)，参考答案1.C

2.A

3.C

4.D

5.D

6.B

7.D

8.B

9.ACD

10.AC

11.ACD

12.80

13.(−∞,−2]

14.3

15.(1)导函数f′(x)=ex+(x+2)ex=(x+3)ex，令f′(x)=0，解得x=−3．

当x>−3时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；

当x<−3时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，

因此当x=−3时，函数f(x)取最小值为f(−3)=−1e3，f(x)没有最大值．

因此函数f(x)单调递增区间为(−3,+∞)，单调递减区间为(−∞,−3)，

且f(x)没有最大值，最小值为f(−3)=−1e3．

(2)g(x)=f(x)−k，由(1)，可知f(x)在[−1,1]上递增，而f(−1)=1e，f(1)=3e．

根据k的不同取值，分情况讨论：

①当k<1e时，对于x∈[−1,1]，由于f(x)≥f(−1)=1e>k，则g(x)>0恒成立，故g(x)没有零点．

②当k>3e时，由f(x)≤f(1)=3e<k，即g(x)<0恒成立，故g(x)没有零点；

③当1e≤k≤3e时，由f(x)的单调性，可知存在唯一c∈[−1,1]，使g(c)=0，

故g(x)16.(1)由等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2,a2n+1=2an+3(n∈N∗)，

可得4a1+6d=4(2a1+d)，即d=2a1，又a3=a1+2d=2a1+3，即a1=2d−3，解得a1=1d=2．

所以an=1+(n−1)×2=2n−1．

在等比数列{bn}中，当n≥2时，由bn+1=Tn+2(n∈N∗)17.(1)证明：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD′所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为a，E，F分别是棱BC，DC的中点，

则D′(0,0,a)，B′(a,a,a)，F(0,12a,0)，E(12a,a,0)，

所以D′B′=(a,a,0)，FE=(12a,12a,0)，

则D′B′=2FE，所以D′B′//EF，

又EF⊄平面AB′D′，B′D′⊂平面AB′D′，

所以EF/​/平面AB′D′．

(2)(ⅰ)证明：设BE=CF=m，则F(0,a−m,0)，E(a−m,a,0)，

所以D′E=(a−m,a,−a)，B′F=(−a,−m,−a)，D′E⋅B′F=(a−m)(−a)−am+a2=0，

所以B′F⊥D′E．

(ⅱ)在正方体ABCD−A′B′C′D′中，VA′−CEF=13⋅S△CEF⋅AA′，

若三棱锥A′−CEF的体积取得最大值，

则S△CEF取得最大值，又BE=CF=m．

S△CEF=12⋅CE⋅CF=12⋅(a−m)⋅m≤12⋅(a−m+m2)2=a28，

当且仅当a−m=m时，即m=a2时取等号，即E，F分别是棱BC，CD上中点，

由A′(a,0,a)，F(0,12a,0)，E(12a,a,0)，

得FA′18.(1)假设零假设H0：性别与商场购物意愿无关，

将题干数据代入公式可以得到：χ2=200×(60×20−30×90)290×110×150×50=20033≈6.061>3.841，

所以根据小概率值α=0.050的独立性检验，推断性别与商场购物意愿有关；

(2)因为调查数据中男性人数：女性人数=2：3，

所以抽取的5人中2人是男性，3人是女性，

所以随机变量X的可能取值为0，1，2，X012P331将表格数据代入期望公式可以得到：E(X)=0×310+1×35+2×110=45；

(3)由题干信息易知，甲共抽中3次红球，并且第n次摸到红球，前n−1次抽到2次黄球、2次红球，

且是“黄红黄红”或“黄黄红红”的顺序，其余均抽到白球，共有Cn−14种，

则“n次摸球后抽奖结束且甲获奖30元购物券”的概率P(n)=2Cn−14(16)3(219.(1)易知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．

由f(x)为偶函数，可得f(−x)=f(x)，

即e−x+ex−λsinx=ex+e−x+λsinx，

可得2λsinx=0，故λ=0．

(2)证明