2024-2025学年甘肃省张掖市高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年甘肃省张掖市高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本大题共8小题，共40分。1.已知tanθ=2，则tan2θ=(

)A.4 B.43 C.−432.从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高(单位：cm)分别是23，24，23，26，25，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是(

)A.26，25 B.26，24 C.23，24 D.23，233.复数z与复数1+i1+2i在复平面内对应的点关于虚轴对称，则z=(

)A.1+13i B.−1−13i4.甲乙两人玩跳棋游戏，约定由抛两次硬币的结果确定谁先走，若两次都正面向上，则甲先走，否则乙先走，已知甲先走的情况下，甲胜的概率为p，乙先走的情况下，甲胜的概率为12p，则甲获胜的概率是(

)A.1−38p B.58p 5.已知α,β,γ是不重合的三个平面，m是直线，则下列说法错误的是(

)A.若α与β不垂直，m⊥β，则m⊄α

B.若α⊥β，α∩β=m，点P∈α，PT⊥m，则PT⊥β

C.若α⊥γ，α//β，则β⊥γ

D.若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，则m⊥γ6.已知平面向量a=2,4，b=2,1，则向量a在向量aA.(53,53) 7.已知▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，a<b<c，▵ABC的外接圆圆心为O，则(

)A.OA⋅OB<OA⋅OC<OB⋅8.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的底面为直角三角形，∠ACB=90∘，AC=62，BC=CA.45 B.2C.85 二、多选题：本大题共3小题，共18分。9.已知z=2+i为关于x的方程x2+ax+5=0a∈R在复数范围内的一个根，则A.z2=5

B.a=4

C.5z+2为纯虚数

D.2−i为关于10.已知随机事件A、B，B表示事件B的对立事件，PA=0.4，PB=0.6A.事件A与B一定是对立事件

B.PA∪B=1

C.PAB=0.24

D.若事件A11.已知圆台的上底面圆心为O1，下底面圆心为O2，过直线O1O2的平面截圆台得截面为梯形ABCD，其中O2在线段AB上，O1在线段DC上，AB=2BC=2CD=2，E为弧AB上的动点(不与点A，A.当E为弧AB的中点时，异面直线AD和CE所成的角的大小为π4

B.几何体ABCDE的体积最大值为34

C.圆台外接球的表面积为16π

D.直线三、填空题：本大题共3小题，共15分。12.已知复数z=m2−4+m−2i为纯虚数，则实数m13.在▵ABC中，∠BAC为直角，∠BAC的平分线AD交BC于D，且有AD=14AC+tAB.若AB=414.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为DD1的中点，Q为正方形A四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.将一枚质地均匀的正四面体骰子(四个面的点数分别为1，2，3，4)先后抛掷两次，分别观察底面上的点数，第一次、第二次出现的点数用数对x,y表示．(1)写出这个试验的样本空间；(2)向量a=1,−1，b=x,y，记事件A:16.已知α，β为锐角，sinα+β=12(1)求证：tanα=2(2)求cosα−β的值．17.在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且sinAsin(1)求角B；(2)若a=2，求▵ABC周长的取值范围．18.某MOBA游戏统计了100名玩家的团战支援评分(百分制，分数越高支援效率越高)，并按分数作出如图所示的频率分布直方图．(1)求a的值及样本评分的第75百分位数；(2)以每组数据区间中点作代表，估计该游戏玩家团战支援评分的平均分；(3)在频率分布直方图中，若玩家的团战支援评分在50,60的平均值为52，方差为6，在60,70的平均值为64，方差为3，求两组样本评分合并后的平均数x和方差s2．19.如图，已知三棱台ABC−A1B1C1的体积为73，AB⊥AC，AB=AC=AA

(1)求证：MN//平面ABB(2)求A1N与平面ABC所成角的正切值．答案解析1.【答案】C

【解析】【分析】利用二倍角的正切公式即可求解．【详解】tan2θ=故选：C．2.【答案】C

【解析】【分析】把给定的数据组由小到大排列，再求出众数及中位数．【详解】原数据组由小到大排列为：23，23，23，24，25，25，26，所以这组数据的众数和中位数分别是23，24．故选：C．3.【答案】D

【解析】【分析】根据复数的除法运算和复数的几何意义即可得到答案．【详解】1+i1+2i=1+i则复数z在复平面内对应的点为−35,−故选：D．4.【答案】B

【解析】【分析】由互斥事件的概率公式即可求解；【详解】由题意可知：甲先走的概率为14，则乙先走的概率为3甲获胜有两种情形：甲先走且获胜；乙先走且甲获胜，则甲获胜的概率14故选：B．5.【答案】B

【解析】【分析】根据线面、面面位置关系的相关判定定理与性质定理逐一判断即可．【详解】对于A，若m⊂α，m⊥β，则α⊥β，与题目条件“α与β不垂直”矛盾，故m⊄α，A正确；对于B，若P∈m，则PT⊂α不一定成立，从而PT⊥β不一定成立，B错误；对于C，因α//β，α⊥γ，即平面α与γ成直角，故平面β与γ也成直角，即β⊥γ，C正确；对于D，如图，因α⊥γ，β⊥γ，设α∩γ=a,β∩γ=b，过平面γ内一点O在平面γ内作c⊥a,d⊥b，由α∩β=m可知m⊂α,m⊂β，则c⊥m,d⊥m，因c∩d=O,c,d⊂γ，故m⊥γ，即D正确．故选：B．6.【答案】D

【解析】【分析】利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标公式计算即可．【详解】由a=2,4，b=a⋅b=2×2+4×1=8则a⋅a+2则向量a在向量a+2a⋅故向量a在向量a+2b上的投影向量的坐标为故选：D．7.【答案】A

【解析】【分析】结合图形，利用向量数量积的定义和平面几何知识依次得到OA⋅OB=1−2sin2∠ACB，【详解】如图，设▵ABC的外接圆半径为1，则OA⋅同理OB⋅OC=又由a<b<c和正弦定理，可知sinC>故得1−2sin2A>1−2si故选：A．8.【答案】B

【解析】【分析】结合图形，沿BC1将▵CBC1翻折至与▵A1B【详解】连接A1B，沿BC1将▵CBC则A1C的长度即由题设可知A1C1⊥B1C∴A1C1⊥平面B1C在平面图形中，因BC=CC1=4，∠BCC1=90由余弦定理，可得A1故选：B．9.【答案】AD

【解析】【分析】根据实系数的一元二次方程的根的特征，及共轭复数、纯虚数的概念，利用复数的四则运算和模长公式即可逐一判断各选项．【详解】对A，∵z=2+i，∴z2=对C，5z+2=5对D，又z=2+i为关于x的方程x2+ax+5=0a∈R的一个根，故z对B，z+z=4=−a，∴a=−4，故故选：AD．10.【答案】D

【解析】【分析】举例判断AB，由于不确定事件A、B的关系，故不能求解PA∪B,PAB，即可判断C，结合对立事件概率公式和相互独立事件乘法公式求解P【详解】对于AB，一个密封的盒子中有标号为1，2，3，4，5的5个小球从中任取1球，记事件A：从中取出球的标号为1，2，事件B：从中取出球的标号为1，2，3，则PA=0.4,PB=0.6，满足PA由上例可知PA∪B=PB对于C，PAB=PAPB仅在事件A、B相互独立时才成立，而不知道事件A对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、B也相互独立，所以PA故选：D11.【答案】AB

【解析】【分析】对于A，利用平移得到异面直线所成的角，解三角形即得；对于B，结合A项结论，当E为弧AB的中点时，O2E⊥平面ABCD，，得到体积最大值；对于C，借助于圆台的轴截面，利用勾股定理解方程即可求得外接球半径从而得解；对于D，证明CN⊥平面ABE，即得直线CE与下底面所成的角即为∠CEN，利用正切值结合点【详解】如图，作CN⊥AB于N，DM⊥AB于M，连接CO2，O2当E为弧AB的中点时，可得AO2//DC所以四边形AO2CD是平行四边形，AD//则异面直线AD和CE所成的角为O2C与CE所成的角，即为因E为弧AB的中点，则O2E⊥AB，又O1而O2E⊂底面ABE，则O1O2⊥OEO2⊥平面ABCD，则E则▵EO2C为等腰直角三角形，则∠几何体ABCDE的体积即为四棱锥E−ABCD的体积，显然当E为弧AB的中点时，四棱锥E−ABCD的体积最大，最大值为13×1×1如图，设圆台的外接球的球心O在线段O2O1上，O由勾股定理得x2+1=即O与O2重合，圆台外接球的半径为1，所以圆台外接球的表面积为4π，故C因为CN⊥AB，CN//O1O2，所以所以直线CE与下底面所成的角即为∠CEN，在Rt△CNE，tan∠CEN=CNEN=E为弧AB上的动点(不与点A，B重合)时，故EN没有最大值，所以∠CEN没有最小值，故D错误．故选：AB．12.【答案】−2

【解析】【分析】根据纯虚数的定义列式计算即可．【详解】由题可得m2故答案为：−2．13.【答案】3【解析】【分析】过点D作DE//AB交AC于点E，DF//AC交AB于点F，由向量加法的法则结合条件可求得AC=12，将已知向量等式取平方，利用向量数量积的运算律计算即可．【详解】如图，过点D作DE//AB交AC于点E，DF//AC交AB于点F，则AD=14AC+tAB=又因AD平分∠BAC，且AB=4，则AEEC=1则FA=3BF=34AB，因此t=则AD=116AC故答案为：3

14.【答案】2【解析】【分析】两次应用线面平行判定定理得出B1GH//平面BC1P【详解】如图，分别取AA1，A1D1的中点H,G，连接B1G，GH因为P为DD1的中点，得HP//A1D1//因为B1H⊂平面B1GH，PC1⊄又因为AB//A1B1//D1因为GH//AD1，故BC1//GH，又BC1⊄平面B1且PC1∩BC1=C1，又因为B1Q//平面BC1P，故B1Q⊂平面B故答案为：215.【答案】解：(1)因为每次骰子落地时，底面上的点数有1，2，3，4共4个可能的基本结果，所以试验的样本空间为Ω={(3,4),4,1(2)为向量a=1,−1，b=x,y，则事件A包含的样本点有2,1，3,1，3,2，4,1，4,2，4,3，共6个，由(1)知试验的样本空间包含16个样本点，所以事件A发生的概率为616

【解析】(1)根据试验的结果可得答案；(2)列出满足x−y>0的样本点，由古典概型概率计算公式可得答案．16.【答案】解：(1)因为sinα+β所以sinαcosβ+所以cosα所以sinαcosβ=2所以tanα=2(2)sin所以cos因为α,β为锐角，所以0<α<π2，0<β<π所以−π2<α−β<

【解析】(1)由sinαcosβ+cosαsinβ=(2)先求得sinα−β17.【答案】解：(1)在▵ABC中，A+B+C=π，所以sinA即sin由正弦定理可得a2−ac=b由余弦定理，得cosB=因为B为锐角三角形ABC的内角，所以B=π(2)由(1)知，B=π3.所以A∈0,π2，C=由正弦定理asinA=所以b=2sinπ所以▵ABC的周长a+b+c=2+因为1+cosAsin所以1+cos因为tanπ4=1，tan所以3即▵ABC的周长的取值范围是3+

【解析】(1)根据诱导公式和正弦定义边角互化，求出三角形三边之间的关系，再根据余弦定理解三角形即可．(2)由三角形形状和角B的大小，求出另外两个角的范围，根据正弦定理，用正弦值表示三角形各边长，再根据角的范围，求出三角函数值的范围，根据函数性质判断三角形周长的范围．18.【答案】解：(1)由题意知，0.05+0.1+0.2+0.3+10a+0.1=1，解得a=0.025．由题意知，团战支援评分在40,80的频率为0.05+0.1+0.2+0.3=0.65，团战支援评分在40,90的频率为1−0.1=0.9，故第75百分位数q在80,90，则0.65+q−80解得q=84，故第75百分位数为84．(2)因为45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74，所以估计该游戏玩家团战支援评分的平均分为74．(3)样本数据在区间50,60上的个数为100×0.1=10，在区间60,70上的个数为100×0.2=20，所以平均数x=方差s2

【解析】(1)根据每组小矩形的面积之和为1列式即可求解；(2)由频率分布直方图平均数的计算公式求解即可；(3)利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解．19.【答案】解：(1)如图，取BC的中点D，连接C1D，因在▵DCC1