2026届高考物理总复习（第1轮）教师用书第七章 静电场

第七章静电场课程标准1.通过实验，了解静电现象.能用原子结构模型和电荷守恒的知识分析静电现象.2.知道点电荷模型.知道两个点电荷间相互作用的规律.体会探究库仑定律过程中的科学思想方法.3.知道电场是一种物质.了解电场强度，体会用物理量之比定义新物理量的方法.会用电场线描述电场.4.了解生产生活中关于静电的利用和防护.5.知道静电场中的电荷具有电势能.了解电势能、电势和电势差的含义.知道匀强电场中电势差与电场强度的关系.能分析带电粒子在电场中的运动情况，能解释相关的物理现象.6.观察常用电容器，了解电容器的电容，观察电容器的充、放电现象.能举例说明电容器的应用.核心素养物理观念1.理解电荷、元电荷、电场强度及电势、电势能等基本概念.2.运用力和能量观念求解相关运动学、动力学问题.科学思维1.理解静电感应的原理、静电力做功的特点.2.理解电场强度、电势的定义及意义，会熟练利用矢量叠加的原理求合场强.3.掌握带电粒子在电场中的加速、偏转的运动学规律.科学探究1.掌握探究平行板电容器的电容影响因素的方法.2.了解电容器的充、放电过程及示波器的原理.科学态度与责任1.理解尖端放电的原理及应用；熟悉静电吸附、常见电容器的种类及应用.2.通过电场的学习，利用所学的知识解释生产、生活中的现象，养成理论联系实际的习惯，提高学生解决实际问题的能力，增强学生对电学的理解及安全防护意识.命题探究命题分析高考考题主要以计算题的形式出现，有时也以选择题的形式出现，主要涉及电场强度、电势、电势能、电场力做功及图像等问题；试题注重考查学生对物理模型的建立及规律的应用.趋势分析以带电粒子在电场中的运动为载体，重点考查学生对电场的理解及带电粒子在电场中运动时的受力分析、运动情况分析，能量守恒与转化；考查学生的综合分析能力、物理建模的能力.预设情境示波管、卫星上的带电粒子探测装置、电子放大器、带电粒子质量分析器、尖端放电、避雷针、静电吸附、加速器、电子显示设备、带电圆环、带电的球壳、反射式速调管等.

第1讲电场力的性质一、电荷守恒定律1.内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变.2.起电方式：摩擦起电、接触起电、感应起电.3.带电实质：物体带电的实质是得失电子.二、库仑定律1.内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上.2.表达式：F＝keq\f(q1q2,r2)，式中k＝9.0×109N·m2/C2，叫静电力常量.三、电场强度1.定义：放入电场中某点的电荷受到的电场力F与它的电荷量q的比值.2.定义式：E＝eq\f(F,q)，单位：N/C或V/m.3.点电荷的电场强度：E＝keq\f(Q,r2).4.方向：规定正电荷在电场中某点所受的静电力的方向为该点的电场强度方向.5.电场强度的叠加：电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，遵从平行四边形定则.四、电场线1.定义：为了形象地描述电场中各点电场强度的大小及方向，在电场中画出一些曲线，曲线上每一点的切线方向都跟该点的电场强度方向一致，曲线的疏密表示电场强度的大小.2.电场线的特点(1)不相交：电场中的电场线不相交.(2)不闭合：电场线起始于正电荷（或无穷远处），终止于无穷远处（或负电荷）.(3)电场线上某点的切线方向表示该点的电场强度方向.(4)同一电场中，电场线密的地方电场强度大.(5)沿电场线方向电势降低.(6)电场线和等势面在相交处相互垂直.考点一库仑力及其平衡问题1.对库仑定律的理解(1)F＝keq\f(q1q2,r2)，r指两点电荷间的距离.对可视为点电荷的两个均匀带电球，r为两球的球心间距.(2)当两个电荷间的距离r→0时，电荷不能视为点电荷，它们之间的静电力不能认为趋于无限大.(3)对于两个带电金属球，当两球的间距与金属球半径相差不大时，金属球表面的电荷会重新分布，如图所示.eq\o(\s\up7(),\s\do15(甲乙))①同种电荷：F＜keq\f(q1q2,r2)；②异种电荷：F＞keq\f(q1q2,r2).2.三个自由点电荷的平衡问题(1)平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零，或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合电场强度为零的位置.(2)平衡规律：库仑定律与电荷守恒定律的结合问题【例1】两个分别带有电荷量为－Q和＋3Q的相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为r的两处，它们之间静电力的大小为F.两小球相互接触后将其固定距离变为eq\f(r,2)，则小球间静电力的大小变为()A.eq\f(1,12)FB.eq\f(3,4)FC.eq\f(4,3)FD.12F【解析】C因为相同的两带电金属小球接触后，它们的电荷先中和后均分，所以接触后两小球带电荷量均为Q′＝eq\f(－Q＋3Q,2)＝Q，由库仑定律得接触前F＝keq\f(3Q2,r2)，接触后F′＝keq\f(Q′2,(\f(r,2))2)＝keq\f(4Q2,r2)，联立得F′＝eq\f(4,3)F，C正确.【变式训练1】如图所示为某电子秤示意图.一绝缘支架放在电子秤上，上端固定一带电小球a，稳定后，电子秤示数为F.现将另一固定于绝缘手柄一端的不带电小球b与a球充分接触后，再移至小球a正上方L处，待系统稳定后，电子秤示数为F1；用手摸小球b使其再次不带电，后将该不带电小球b与a球再次充分接触并重新移至a球正上方L处，电子秤示数为F2.若两小球完全相同，则()A.F1＜F2B.F1＝4F2C.若小球a带负电，L增大，则F1增大D.若小球a带正电，L减小，则F2增大【解析】D小球b与a球充分接触后b对a有个向下的库仑力，设为F′，则F′＝keq\f(\f(Q,2)×\f(Q,2),L2)＝keq\f(Q2,4L2)，示数为F1＝F＋F′，用手摸小球b使其再次不带电，后将该不带电小球b与a球再次充分接触并重新移至a球正上方L处，b对a向下的库仑力F″＝keq\f(\f(Q,4)×\f(Q,4),L2)＝keq\f(Q2,16L2)，电子秤示数为F2＝F＋F″，因此F1＞F2，但F1≠4F2，A、B错误；若小球a带负电，L增大，根据库仑定律可知，库仑力减小，则F1减小，C错误；若小球a带正电，L减小，根据库仑定律可知，库仑力增大，则F2增大，D正确.库仑力的叠加【例2】（2023·湖南卷）如图，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为Q1、Q2和Q3，P点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为90°、60°和30°.若P点处的电场强度为零，q>0，则三个点电荷的电荷量可能为()A.Q1＝q，Q2＝eq\r(2)q，Q3＝qB.Q1＝－q，Q2＝－eq\f(4\r(3),3)q，Q3＝－4qC.Q1＝－q，Q2＝eq\r(2)q，Q3＝－qD.Q1＝q，Q2＝－eq\f(4\r(3),3)q，Q3＝4q【解析】DA、B的电荷均为正和均为负，则根据电场强度的叠加法可知，P点的场强不可能为零，A、B错误；设P、Q1间的距离为r，则Q1、Q3在P点产生的合场强大小有cos120°＝eq\f((\f(kq,r2))2＋(\f(kq,4r2))2－E2,2·\f(k2q2,4r4))，解得E＝eq\f(\r(21)kq,4r2)，而Q2在P点产生的场强大小为E′＝eq\f(3\r(2)kq,4r2)，则P点的场强不可能为零，C错误；设P、Q1间的距离为r，则Q1、Q3在P点产生的合场强大小有cos120°＝eq\f((\f(kq,r2))2＋(\f(4kq,4r2))2－Eeq\o\al(2,1),2·\f(4k2q2,4r4))，解得E1＝eq\f(\r(3)kq,r2)，而Q2在P点产生的场强大小为E1′＝eq\f(\r(3)kq,r2)，则P点的场强可能为零，D正确.【变式训练2】（多选）如图所示，在竖直面内有三个带电小球a、b、c，其中球a和球b固定，二者连线为一条竖直线，它们的电荷量大小分别为q1和q2，球c在图示位置处于静止状态，已知ab、bc和ac的连线的长度分别为4cm、3cm和2cm，则()A.球a和球b一定带同种电荷B.球a和球b一定带异种电荷C.eq\f(q1,q2)＝eq\f(1,8)D.eq\f(q1,q2)＝eq\f(8,27)【解析】BD球c受重力及球a和球b对它的库仑力而平衡，球b对它的库仑力必须是斥力，而球a对它的库仑力必须是引力，球a和球b一定带异种电荷，A错误、B正确；画出球c的受力图，如图所示，三力平衡，设球c的带电荷量为q，在相似三角形中，有eq\f(\f(kq1q,(ac)2),ac)＝eq\f(\f(kq2q,(bc)2),bc)，整理有eq\f(q1,q2)＝eq\f(8,27)，C错误、D正确.三个自由电荷的平衡问题【例3】如图所示，同一直线上的三个点电荷q1、q2、q3，恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用.已知q1、q2间的距离是q2、q3间距离的2倍.下列说法错误的是()A.若q1、q3为正电荷，则q2为负电荷B.若q1、q3为负电荷，则q2为正电荷C.q1∶q2∶q3＝9∶4∶36D.q1∶q2∶q3＝36∶4∶9【解析】C根据库仑定律和平衡条件，对q2有keq\f(q1q2,(2r)2)＝keq\f(q3q2,r2)，解得q1＝4q3，对q3有keq\f(q3q2,r2)＝keq\f(q3q1,(3r)2)，解得q1＝9q2，所以q1∶q2∶q3＝36∶4∶9，C错误，符合题意，D正确，不符合题意；三个自由电荷在同一直线上处于平衡状态，则一定满足“两同夹异，近小远大”原理，即两边的电荷电性相同和中间的电性相反，则q1、q3电性一定相同，q2电性一定与前两者相反，A、B正确，不符合题意.【变式训练3】（多选）如图所示，带电荷量为6Q(Q＞0)的球1固定在倾角为30°光滑绝缘斜面上的a点，其正上方L处固定一电荷量为－Q的球2，斜面上距a点L处的b点有质量为m的带电球3，球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在b点处于静止状态.此时弹簧的压缩量为eq\f(L,2)，球2、3间的静电力大小为eq\f(mg,2).迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动.g为重力加速度，球的大小可忽略，下列关于球3的说法正确的是()A.带负电B.运动至a点的速度大小为eq\r(gL)C.运动至a点的加速度大小为2gD.运动至ab中点时对斜面的压力大小为eq\f(3\r(3)－4,6)mg【解析】BCD由题意可知三小球构成一个等边三角形，小球1和3之间的力大于小球2和3之间的力，弹簧处于压缩状态，故小球1和3之间的力一定是斥力，小球1带正电，则小球3带正电，A错误；小球3运动至a点时，弹簧的伸长量等于eq\f(L,2)，根据对称性可知，小球2对小球3做功为0，弹簧弹力做功为0，故根据动能定理有mgLsin30°＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝eq\r(gL)，B正确；小球3在b点时，设小球3的电荷量为q，有keq\f(qQ,L2)＝eq\f(mg,2)，设弹簧的弹力为F，根据受力平衡，沿斜面方向有F＝keq\f(q·6Q,L2)－keq\f(qQ,L2)sin30°－mgsin30°，解得F＝eq\f(9,4)mg，小球运动至a点时，弹簧的伸长量等于eq\f(L,2)，根据对称性可知，此时弹簧的弹力大小仍为F，由牛顿第二定律得F＋keq\f(qQ,L2)sin30°－mgsin30°＝ma，解得a＝2g，C正确；当小球3运动至ab中点时，弹簧弹力为0，此时小球2对小球3的力为F23＝keq\f(qQ,(\f(\r(3),2)L)2)＝eq\f(4,3)·keq\f(qQ,L2)＝eq\f(4,3)×eq\f(mg,2)＝eq\f(2,3)mg，斜面对小球的支持力为FN＝mgcos30°－F23＝eq\f(\r(3),2)mg－eq\f(2,3)mg＝eq\f(3\r(3)－4,6)mg，根据牛顿第三定律可知，小球3对斜面的压力大小为eq\f(3\r(3)－4,6)mg，D正确.库仑力作用下平衡问题的解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了库仑力，具体步骤如下：考点二电场线的理解与应用1.五种典型电场的电场线2.两种等量点电荷电场线的比较项目等量异种电荷等量同种电荷等势面电场线分布图以正点电荷为例连线特点场强方向：正→负强弱：强→弱→强，中点最小方向：中点两侧方向相反强弱：强→弱→强，中点E＝0电势正电荷→负电荷，高→低若为正电荷，中点最低若为负电荷，中点最高中垂线场强各点方向一致中点最强两侧渐弱中点两侧方向相反，两侧均有最大值，中点向两侧均为弱→强→弱电势电势为0的等势线不是等势线相同点场强的大小、电势均关于中点对称分布3.电场线的应用两等量点电荷的电场线分布【例4】（多选）电场线能直观、方便地反映电场的分布情况.如图甲是等量异号点电荷形成电场的电场线，图乙是电场中的一些点.O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，B、C和A、D是两电荷连线上关于O对称的两点.则()eq\o(\s\up7(),\s\do15(甲乙))A.E、F两点场强相同B.A、D两点场强不同C.B、O、C三点中，O点场强最小D.从E点向O点运动的电子所受静电力逐渐减小【解析】AC等量异号点电荷连线的中垂线是一条等势线，电场强度方向与等势线垂直，因此E、F两点场强方向相同，由于E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，则其场强大小也相等，A正确；根据对称性可知，A、D两点处电场线疏密程度相同，则A、D两点场强大小相同，由题图甲可看出，A、D两点场强方向相同，B错误；由题图甲可看出，B、O、C三点比较，O点处的电场线最稀疏，场强最小，C正确；由题图甲可知，电子从E点向O点运动过程中，电场强度逐渐增大，则静电力逐渐增大，D错误.【变式训练4】（多选）如图所示，两个带等量负电荷的小球A、B（可视为点电荷）被固定在光滑的绝缘水平面上，P、N是在小球A、B连线的中垂线上的两点，且PO＝ON.现将一个电荷量很小的带正电的小球C（可视为质点）从P点由静止释放，在小球C向N点运动的过程中，下列关于小球C的说法可能正确的是()A.速度先增大再减小B.速度一直增大C.加速度先增大再减小，过O点后，加速度先减小再增大D.加速度先减小再增大【解析】AD在A、B连线的中垂线上，从无穷远处到O点，电场强度先变大后变小，到O点变为零，若P、N相距很远，则小球C沿A、B连线的中垂线运动时，由P点到O点，小球C的加速度先变大后变小，速度不断增大，在O点时加速度变为零，速度达到最大；由O点到N点时，速度变化情况与另一侧速度的变化情况具有对称性，加速度先增大后减小.如果P、N相距很近，则加速度先减小再增大，A、D正确，B、C错误.电场线分布与运动图像【例5】eq\a\vs4\al([易错题])一个带负电的粒子从电场中A点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到B点，它运动的v－t图像如图所示.则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是()eq\o(\s\up7(),\s\do15(A))eq\o(\s\up7(),\s\do15(B))eq\o(\s\up7(),\s\do15(C))eq\o(\s\up7(),\s\do15(D))【解析】C根据v－t图像可知粒子的加速度逐渐增大，即粒子所受电场力逐渐增大，又根据电场线越密集电场强度越大可知，从A到B电场线逐渐密集，A、B错误；由于粒子带负电，故电荷所受电场力方向与电场强度方向相反，C正确、D错误.【易错点】本题易错选D.负电荷受力与电场强度方向相反，正电荷受力与电场强度方向相同，学生因不注意粒子的电性而错选.【变式训练5】（多选）空间某电场线分布如图所示，一负电荷q仅在电场力作用下从M点以初速度v0沿MO方向运动（以向右为正方向），则电荷在运动过程中的速度—时间图像可能正确的是()eq\o(\s\up7(),\s\do15(A))eq\o(\s\up7(),\s\do15(B))eq\o(\s\up7(),\s\do15(C))eq\o(\s\up7(),\s\do15(D))【解析】AC依题意，由于负电荷受到的电场力方向与初速度方向相反，所以开始时，电荷先减速，速度减为零时，又反向加速.根据电场线的疏密程度反应电场强度的大小，知电场线越密，场强越大.若电荷不能过O点，根据F＝Eq＝ma可知电荷先做加速度逐渐增大的减速运动，减速到零后，反向做加速度逐渐减小的加速运动；若电荷能过O点，则电荷先做加速度逐渐增大的减速运动，过O点后又做加速度逐渐减小的减速运动，速度减为零时，反向做加速度逐渐增大的加速运动，过O点后，又做加速度逐渐减小的加速运动，根据v－t图像的斜率表示加速度，由数学知识可知A、C正确.电场线分布与运动轨迹【例6】（多选）如图所示，A、B两个点电荷固定在空间，实线为两点电荷电场中的部分电场线，弯曲虚线为一个带电粒子仅在电场力作用下运动的轨迹，a、b为轨迹上两点，下列说法正确的是()A.A、B带同种电荷B.A、B带电荷量的绝对值不相等C.a点电场强度比在b点电场强度大D.带电粒子在a点的速度比在b点的速度大【解析】BD图中电场线起源于A，终止于B，由电场线分布的特征可知两粒子带异种电荷，且A带正电，B带负电，A错误；由于题图中电场线分布不具有对称性，则两点电荷带电荷量的绝对值不等，B正确；由于电场线分布的密集程度表示电场的强弱，所以b点的电场强度比a点的电场强度大，C错误；根据轨迹可知粒子从a点运动到b点电场力做负功，故粒子在a点的速度比在b点的速度大，D正确.【变式训练6】（2023·全国甲卷）在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集.下列四幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是()eq\o(\s\up7(),\s\do15(A))eq\o(\s\up7(),\s\do15(B))eq\o(\s\up7(),\s\do15(C))eq\o(\s\up7(),\s\do15(D))【解析】A电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，A正确；电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有可见与电场力的受力特点相互矛盾，B错误；电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有可见与电场力的受力特点相互矛盾，C错误；电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有可见与电场力的受力特点相互矛盾，D错误.分析电场中运动轨迹问题的方法(1)“运动与力两线法”——画出运动轨迹在初始位置的切线（“速度线”）与在初始位置电场线的切线（“力线”）方向，从二者的夹角情况来分析曲线运动的情况.(2)“三不知时要假设”——电荷的正负、场强的方向（或等势面电势的高低）、电荷运动的方向是题意中相互制约的三个方面.若已知其中的任一个，可顺次分析判定各待求量；若三个都不知，则要用“假设法”分别讨论各种情况.考点三电场强度的叠加与计算1.电场强度三个表达式的比较表达式E＝eq\f(F,q)E＝keq\f(Q,r2)E＝eq\f(U,d)公式意义电场强度定义式真空中点电荷电场强度的决定式匀强电场中E与U的关系式适用条件一切电场(1)真空(2)点电荷匀强电场决定因素由电场本身决定，与q无关由场源电荷Q和场源电荷到该点的距离r共同决定由电场本身决定相同点矢量，遵守平行四边形定则单位：1N/C＝1V/m2.求解电场强度的常规方法3.求解电场强度的非常规思维方法通常在求解带电圆环、带电平面等一些特殊带电体产生的电场强度时，上述公式无法直接应用.这时，如果转换思维角度，灵活运用叠加法、对称法、补偿法、微元法、等效法等巧妙方法，可以化难为易.点电荷电场强度的叠加与计算【例7】（2024·河北卷）如图所示，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C.M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为eq\f(q,2).已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k.顶点A处的电场强度大小为()A.eq\f(2\r(3)kq,a2)B.eq\f(kq,a2)（6＋eq\r(3)）C.eq\f(kq,a2)（3eq\r(3)＋1）D.eq\f(kq,a2)（3＋eq\r(3)）【解析】DB点、C点的电荷在M的场强的合场强为E＝2eq\f(kq,(\f(\r(3),3)a)2)cos60°＝eq\f(3kq,a2)，因M点的合场强为零，因此带电细杆在M点的场强EM＝E，由对称性可知带电细杆在A点的场强为EA＝EM＝E，方向竖直向上，因此A点合场强为E合＝EA＋2eq\f(kq,a2)cos30°＝eq\f(kq,a2)（eq\r(3)＋3），D正确.【变式训练7】如图，在(a，0)位置放置电荷量为q的正点电荷，在(0，a)位置放置电荷量为q的负点电荷，在距P(a，a)为eq\r(2)a的某点处放置正点电荷Q，使得P点的电场强度为零.则Q的位置及电荷量分别为()A.(0，2a)，eq\r(2)qB.(0，2a)，2eq\r(2)qC.(2a，0)，eq\r(2)qD.(2a，0)，2eq\r(2)q【解析】B根据点电荷场强公式E＝keq\f(Q,r2)知，两等量异种点电荷在P点的场强大小均为E0＝eq\f(kq,a2)，方向如图所示.两等量异种点电荷在P点的合场强为E1＝eq\r(2)E0＝eq\r(2)eq\f(kq,a2)，方向与＋q点电荷与－q点电荷的连线平行，如图所示，Q点电荷在P点的场强大小为E2＝keq\f(Q,(\r(2)a)2)＝eq\f(kQ,2a2)，三点电荷的合场强为0，则E2方向如图所示，大小有E1＝E2，解得Q＝2eq\r(2)q，由几何关系可知Q的坐标为(0，2a)，B正确.非点电荷电场强度的叠加与计算【例8】如图，电荷量为＋q的点电荷与一正方形均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过薄板的几何中心O，图中AO＝OB＝d，已知B点的电场强度为零，静电力常量为k.下列说法正确的是()A.薄板带正电，A点的电场强度大小为eq\f(10kq,9d2)B.薄板带正电，A点的电场强度大小为eq\f(8kq,9d2)C.薄板带负电，A点的电场强度大小为eq\f(10kq,9d2)D.薄板带负电，A点的电场强度大小为eq\f(8kq,9d2)【解析】AB点的电场强度为零，而电荷量为＋q的点电荷在B点的电场强度方向由B到O，根据矢量合成可知，薄板在B点的电场强度方向由O到B，则薄板带正电，C、D错误；B点的电场强度为零，则薄板在B点的电场强度大小与电荷量为＋q的点电荷在B点的电场强度大小相等，即E＝eq\f(kq,d2)，根据对称性，薄板在A点的电场强度大小也为E，方向由O到A，而电荷量为＋q的点电荷在A点的电场强度方向由O到A，则A点电场强度大小EA＝E＋eq\f(kq,(3d)2)＝eq\f(10kq,9d2)，A正确、B错误.【变式训练8】如图所示，均匀带正电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直于圆环平面中心轴上的一点，OP＝L，试求P点的场强.【解析】设想将圆环看成由n个小段组成，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量Q′＝eq\f(Q,n)，由点电荷场强公式可求得每一小段带电体在P处产生的场强为E＝eq\f(kQ,nr2)＝eq\f(kQ,n(R2＋L2))，由对称性知，各小段带电体在P处场强E的垂直于中心轴的分量Ey相互抵消，而其轴向分量Ex之和即为带电环在P处的场强EP，方向沿OP方向，则EP＝nEx＝nkeq\f(Q,n(R2＋L2))·cosθ＝keq\f(QL,(R2＋L2)\s\up6(\f(3,2))).1.如图所示，真空中A、B两点分别固定两个相同的带电金属小球（均可视为点电荷），所带电荷量分别为＋Q和－5Q，在A、B的延长线上的C点处固定一电荷量为q的试探电荷，试探电荷受到的电场力大小为F1，已知AB＝BC.若将两带电金属小球接触后再放回A、B两处时，试探电荷受到的电场力大小为F2，则eq\f(F1,F2)为()A.eq\f(21,10)B.eq\f(21,16)C.eq\f(19,10)D.eq\f(19,16)【解析】C设AB＝BC＝l，根据库仑定律得F1＝eq\f(5kQq,l2)－eq\f(kQq,(2l)2)＝eq\f(19kQq,4l2)，将两带电小球接触后，两小球所带电荷量均为－2Q，根据库仑定律得F2＝eq\f(2kQq,l2)＋eq\f(2kQq,(2l)2)＝eq\f(5kQq,2l2)，所以eq\f(F1,F2)＝eq\f(19,10)，C正确.2.如图所示，三个带电小球A、B、C分别位于等边三角形的三个顶点且放在光滑绝缘的水平桌面上，空间存在水平且与BC连线垂直的匀强电场，三个小球均可看成点电荷且均静止不动，则三个带电小球所带电荷的电性及电荷量的关系是()A.A、B带正电，C带负电，A、B、C所带电荷量之比为1∶1∶1B.A、B带正电，C带负电，A、B、C所带电荷量之比为2∶1∶1C.A带正电，B、C带负电，A、B、C所带电荷量之比为1∶1∶1D.A带正电，B、C带负电，A、B、C所带电荷量之比为2∶1∶1【解析】D三个带电小球两两之间存在库仑力，且库仑力的方向一定沿两小球的连线方向，假设C球带负电，对C球进行受力分析，可知匀强电场对C球的电场力方向水平向左，要使C球受力平衡，则A球带正电，B球带负电，A、B错误；假设A球带正电，则匀强电场对A球的电场力方向水平向右，要使A球受力平衡，则B、C两球须均带负电且两者电荷量相等，对B球进行受力分析，可得keq\f(qAqB,l2)cos60°＝keq\f(qCqB,l2)，可得qA＝2qC，因此有qA∶qB∶qC＝2∶1∶1，C错误、D正确.3.如图所示，圆心为O、半径为R的均匀带电圆环位于水平面内，带电量为Q.一个质量为m，带同种电荷且带电量也为Q的小球，在圆心O的正上方高为h的O′处，处于静止状态，若O′与圆环上任一点的距离为L，则OO′间的距离h为（静电力常量为k，重力加速度大小为g）()A.h＝eq\f(mgL3,kQ2)B.h＝eq\f(mgR3,kQ2)C.h＝eq\f(kQ2,mgL3)D.h＝eq\f(kmg,Q2L3)【解析】A在带电圆环上取一小段长度Δx，则该小段长度圆环带电量为Δq＝eq\f(Δx,2πR)Q，该小段带电圆环对带电小球的库仑力为ΔF＝keq\f(Q·Δq,L2)，该库仑力的竖直分力为ΔFy＝keq\f(Q·Δq,L2)cosα＝keq\f(Q·Δq,L2)eq\f(h,L)，其合力为∑ΔFy＝∑keq\f(Q·Δq,L2)eq\f(h,L)＝keq\f(hQ,L3)∑Δq＝eq\f(khQ2,L3)＝mg，解得h＝eq\f(mgL3,kQ2)，A正确.4.如图所示，正方形线框由边长为L、粗细均匀的绝缘棒组成，线框上均匀地分布着正电荷，以线框中心O为原点，建立xOy平面直角坐标系，现从与x轴平行的线框上侧的中点A处取下足够短的电荷量为q的一小段，将其移动至线框内x轴上的B点处，若线框其他部分的电荷量与电荷分布保持不变，此时O点的电场强度方向与x轴正向成37°角偏上，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则B点的位置坐标为()A.（－eq\f(\r(2),3)L，0）B.（－eq\f(\r(3),4)L，0）C.（－eq\f(\r(2),4)L，0）D.（－eq\f(\r(3),6)L，0）【解析】B整个均匀带正电的正方形线框在O点的合电场强度为零，可知在A处取下足够短的电荷量为q的一小段，剩下部分在O点产生的电场强度方向沿＋y方向，大小为Ey＝keq\f(q,(\f(L,2))2)＝eq\f(4kq,L2)，将从A处取下的电荷量为q的一小段移动至x轴上的B点处，设B点离O点的距离为r，可知这一小段在O点产生的电场强度方向沿＋x方向，大小为Ex＝eq\f(kq,r2)，根据题意有tan37°＝eq\f(Ey,Ex)，联立解得r＝eq\f(\r(3),4)L，可知B点的位置坐标为（－eq\f(\r(3),4)L，0），B正确.5.（多选）如图所示，实线为不知方向的三条电场线，从电场中M点以相同速度垂直于电场线方向飞出a、b两个带电粒子，仅在电场力作用下的运动轨迹如图中虚线所示，则()A.a一定带正电，b一定带负电B.a的速度将减小，b的速度将增大C.a的加速度将减小，b的加速度将增大D.两个粒子的动能均增大【解析】CD根据两粒子的偏转方向，可知两粒子带异性电荷，但无法确定其具体电性，A错误；由粒子受力方向与速度方向的关系，可判断电场力对两粒子均做正功，两粒子的速度、动能均增大，B错误、D正确；从两粒子的运动轨迹判断，a粒子经过的电场的电场线逐渐变得稀疏，b粒子经过的电场的电场线逐渐变密，说明a的加速度减小，b的加速度增大，C正确.6.（2024·海南卷）（多选）真空中有两个点电荷，电荷量均为－q(q>0)，固定于相距为2r的P1、P2两点，O是P1P2连线的中点，M点在P1P2连线的中垂线上，距离O点为r，N点在P1P2连线上，距离O点为x（xr），已知静电力常量为k，则下列说法正确的是()A.P1P2中垂线上电场强度最大的点到O点的距离为eq\f(\r(3),3)rB.P1P2中垂线上电场强度的最大值为eq\f(4\r(3)kq,9r2)C.在M点放入一电子，从静止释放，电子的加速度一直减小D.在N点放入一电子，从静止释放，电子的运动可视为简谐运动【解析】BCD设P1处的点电荷在P1P2中垂线上某点A处产生的场强与竖直向下的夹角为θ，则根据场强的叠加原理可知，A点的合场强为E＝keq\f(2q,r2)sin2θcosθ，根据均值不等式可知，当cosθ＝eq\f(\r(3),3)时，E有最大值，且最大值为E＝eq\f(4\r(3)kq,9r2)，再根据几何关系可知A点到O点的距离为y＝eq\f(\r(2),2)r，A错误、B正确；在M点放入一电子，从静止释放，由于r>eq\f(\r(2),2)r，可知电子在向上运动的过程中电场力一直减小，则电子的加速度一直减小，C正确；根据等量同种电荷的电场线分布可知，电子在运动过程中，O点为平衡位置，可知当发生位移x时，粒子受到的电场力为F＝keq·eq\f(－4rx,(r＋x)2(r－x)2)，由于xr，整理后有F＝－eq\f(4keq,r3)·x，在N点放入一电子，从静止释放，电子将以O点为平衡位置做简谐运动，D正确.7.如图所示，等边三角形△ABC位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上.已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q，求：(1)B点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负；(2)C点处点电荷的电荷量.【解析】(1)题中已知M点的电场强度竖直向下，又M为AB边的中点，可知A、B处点电荷在M点产生的电场强度等大反向，C处点电荷带正电，结合点电荷的电场强度公式E＝eq\f(kq,r2)可知A、B处两点电荷的电荷量大小相等，电性相同，即B点处点电荷的电荷量的绝对值为q.C处点电荷在N点产生的电场强度方向为N→B，假设A、B两点处点电荷均带负电，则三个点电荷在N处产生的合电场强度方向不可能竖直向上，所以A、B两点处点电荷均带正电，即3个点电荷均带正电.(2)设C点处点电荷的电荷量为qC，等边三角形的边长为2L，则AN＝eq\r(3)L，对三个点电荷在N处产生的电场强度分析，如图所示，其中EBC是B、C处点电荷在N处产生的合电场强度，EAN是A处点电荷在N处产生的电场强度，EN为N点处的合电场强度.根据几何关系得eq\f(EAN,EBC)＝tan30°，故eq\f(kq,(\r(3)L)2)＝（eq\f(kq,L2)－eq\f(kqC,L2)）tan30°，解得qC＝eq\f(3－\r(3),3)q.8.如图所示，在真空中有一个“V”形光滑绝缘支架，支架置于绝缘水平面上，C为支架最低点，支架两边与水平面的夹角均为37°，支架两边各穿一个带电量为Q＝＋8×10-7C的相同小球A和B，小球可视为质点.两小球距离水平面的高度均为h＝0.3m，且保持静止，静电力常量为k＝9.0×109N·m2/C2（取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），求：(1)两小球之间的库仑力的大小；(2)支架对小球A的支持力大小；(3)C处的电场强度.【解析】(1)设A、B两球之间的距离为r，由几何关系可得r＝eq\f(2h,tan37°)＝0.8m，由库仑定律可得两球之间库仑力为FC＝keq\f(Q2,r2)＝9.0×109×eq\f((8×10-7)2,0.82)N＝9.0×10-3N.(2)对球A受力分析，如图，可得FN＝F合＝eq\f(FC,sin37°)，代入可得，支架对球A的支持力大小为FN＝1.5×10-2N.(3)A球在C点产生的电场强度EA＝keq\f(Q,req\o\al(2,1))，由数学知识可得r1＝eq\f(h,sin37°)，联立可得EA＝2.88×104N/C，同理，B球在C点产生的电场强度EB＝2.88×104N/C，由场强叠加原理可得，C点的电场强度EC＝2EAcos53°＝3.456×104N/C，方向竖直向下.

第2讲电场能的性质一、电势能和电势1.电势能(1)电场力做功的特点：电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关.(2)电势能①定义：电荷在电场中具有的势能，数值上等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功.②电场力做功与电势能变化的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp.2.电势(1)定义：试探电荷在电场中某点具有的电势能与它的电荷量的比值Ｗ.(2)定义式：φ＝eq\f(Ep,q).(3)标矢性：电势是标量，有正、负之分，其正（负）表示该点电势比零电势高（低）.(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同.3.等势面(1)定义：电场中电势相等的各点组成的面.(2)四个特点①等势面一定与电场线垂直.②在同一等势面上移动电荷时电场力不做功.③电场线方向总是从电势高的等势面指向电势低的等势面.④等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小Ｗ.二、电势差1.定义：在电场中，两点之间电势的差值.电势差也叫作电压.2.定义式：UAB＝φA－φB.3.电势差与电场力做功的关系：UAB＝eq\f(WAB,q).三、匀强电场中电势差与电场强度的关系1.电势差与电场强度的关系：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场线方向的距离的乘积.即U＝Ed，也可以写作E＝eq\f(U,d).2.公式U＝Ed的适用范围：匀强电场.四、静电感应和静电平衡1.静电感应当把一个不带电的金属导体放在电场中时，导体的两端分别感应出等量的正、负电荷，“近端”出现与施感电荷异种的感应电荷，“远端”出现与施感电荷同种的感应电荷.这种现象叫静电感应.2.静电平衡(1)定义：导体放入电场中时，附加电场与原电场在导体内部大小相等且方向相反，使得叠加场强为零时，自由电荷不再发生定向移动，导体处于静电平衡状态.(2)处于静电平衡状态的导体的特点①导体内部的场强处处为零；②导体是一个等势体，导体表面是等势面；③导体表面处的场强方向与导体表面垂直；④导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体的外表面上；⑤在导体外表面越尖锐的位置，净电荷的密度（单位面积上的电荷量）越大，凹陷的位置几乎没有净电荷.考点一电势高低及电势能大小的比较1.判断电势高低的四种方法(1)根据电场线方向判断：沿电场线方向电势逐渐降低.(2)根据场源电荷的正负判断：取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低.(3)根据电势能的高低判断：正电荷在电势较高处电势能大，负电荷在电势较低处电势能大.(4)根据电场力做功判断：根据UAB＝eq\f(WAB,q)，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低.2.判断电势能大小的四种方法(1)公式法：将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep＝qφ，正Ep的绝对值越大，电势能越大；负Ep的绝对值越大，电势能越小.(2)电势法：正电荷在电势高的地方电势能大；负电荷在电势低的地方电势能大.(3)做功法：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加.(4)能量守恒法：在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小；动能减小，电势能增加.3.电场力做功的计算方法4.功能关系(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变；(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变；(3)除重力外，其他各力对物体所做的功等于物体机械能的变化；(4)所有力对物体所做功的代数和，等于物体动能的变化.电势及电势能高低的判断【例1】（2023·海南卷）（多选）如图所示，正三角形三个顶点固定三个等量电荷，其中A、B带正电，C带负电，O、M、N为AB边的四等分点，下列说法正确的是()A.M、N两点的电场强度相同B.M、N两点的电势相同C.负电荷在M点电势能比在O点时要小D.负电荷在N点电势能比在O点时要大【解析】BC根据场强叠加以及对称性可知，M、N两点的场强大小相同，但是方向不同，A错误；因在A、B处的正电荷在M、N两点的合电势相等，在C点的负电荷在M、N两点的电势也相等，则M、N两点电势相等，B正确；负电荷从M到O，因A、B两电荷的合力对负电荷的库仑力从O指向M，则该力对负电荷做负功，C点的负电荷也对该负电荷做负功，可知三个电荷对该负电荷的合力对其做负功，则该负电荷的电势能增加，即负电荷在M点的电势能比在O点小，同理可知负电荷在N点的电势能比在O点小，C正确、D错误.【变式训练1】（2024·广东卷）（多选）污水中的污泥絮体经处理后带负电，可利用电泳技术对其进行沉淀去污，基本原理如图所示.涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极，金属圆盘置于底部、金属棒插入污水中，形成如图所示的电场分布，其中实线为电场线，虚线为等势面.M点和N点在同一电场线上，M点和P点在同一等势面上.下列说法正确的是()A.M点的电势比N点的低B.N点的电场强度比P点的大C.污泥絮体从M点移到N点，电场力对其做正功D.污泥絮体在N点的电势能比其在P点的大【解析】AC根据沿着电场线方向电势降低可知M点的电势比N点的低，污泥絮体带负电，根据Ep＝qφ可知污泥絮体在M点的电势能比在N点的电势能大，污泥絮体从M点移到N点，电势能减小，电场力对其做正功，A、C正确；根据电场线的疏密程度可知N点的电场强度比P点的小，B错误；M点和P点在同一等势面上，则污泥絮体在M点的电势能与在P点的电势能相等，结合A、C选项分析可知污泥絮体在P点的电势能比其在N点的大，D错误.电场中的功能关系【例2】（多选）地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，将一带正电荷的小球自电场中P点水平向左射出.小球所受的重力和电场力的大小相等，重力势能和电势能的零点均取在P点.则射出后()A.小球的动能最小时，其电势能最大B.小球的动能等于初始动能时，其电势能最大C.小球速度的水平分量和竖直分量大小相等时，其动能最大D.从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，重力做的功等于小球电势能的增加量【解析】BD由题意知，Eq＝mg，故等效重力G′的方向与水平方向成45°.当vy＝0时速度最小为vmin＝v1，由于此时v1存在水平分量，电场力还可以向左做负功，故此时电势能不是最大，A错误.水平方向上，v0＝eq\f(Eq,m)t，在竖直方向上，v＝gt，由于Eq＝mg，得v＝v0，如图所示，小球的初动能等于末动能.由于此时速度没有水平分量，故电势能最大.由动能定理可知，WG＋WEq＝0，则重力做功等于小球电势能的增加量，B、D正确.当速度为图中所示的v1时，速度的水平分量与竖直分量相等，动能最小，C错误.【变式训练2】（多选）（科技前沿）一种可用于卫星上的带电粒子探测装置，由两个同轴的半圆柱形带电导体极板（半径分别为R和R＋d）和探测器组成，其横截面如图甲所示，点O为圆心.在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，方向指向O点.4个带正电的同种粒子从极板间通过，到达探测器.不计重力.粒子1、2做圆周运动，圆的圆心为O、半径分别为r1、r2(R<r1<r2<R＋d)；粒子3从距O点r2的位置入射并从距O点r1的位置出射；粒子4从距O点r1的位置入射并从距O点r2的位置出射，轨迹如图乙中虚线所示.则()甲eq\o(\s\up7(),\s\do15(乙))A.粒子3入射时的动能比它出射时的大B.粒子4入射时的动能比它出射时的大C.粒子1入射时的动能小于粒子2入射时的动能D.粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能【解析】BD在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，可设为Er＝k，带正电的同种粒子1、2在均匀辐向电场中做匀速圆周运动，则有qE1＝meq\f(veq\o\al(2,1),r1)，qE2＝meq\f(veq\o\al(2,2),r2)，可得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)＝eq\f(qE1r1,2)＝eq\f(qE2r2,2)，即粒子1入射时的动能等于粒子2入射时的动能，C错误；粒子3从距O点r2的位置入射并从距O点r1的位置出射，做向心运动，电场力做正功，则动能增大，粒子3入射时的动能比它出射时的小，A错误；粒子4从距O点r1的位置入射并从距O点r2的位置出射，做离心运动，电场力做负功，则动能减小，粒子4入射时的动能比它出射时的大，B正确；粒子3做向心运动，有qE2>meq\f(veq\o\al(2,3),r2)，可得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,3)<eq\f(qE2r2,2)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能，D正确.考点二电场线、等势面及运动轨迹问题带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法(1)判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向.选用轨迹和电场线（等势线）的交点更方便.(2)判断电场力的方向：仅受电场力作用时，因轨迹始终夹在速度方向和带电粒子所受电场力方向之间，而且向合外力一侧弯曲，结合速度方向，可以判断电场力方向.若已知电场线和轨迹，所受电场力的方向与电场线（或切线）共线；若已知等势线和轨迹，所受电场力的方向与等势线垂直.(3)判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力方向与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力方向与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加.运动轨迹与等势面的结合问题【例3】如图所示为真空中某静电场，虚线表示等势面，各等势面电势的值如图所示，一带电粒子只在电场力的作用下，沿图中的实线从A经过B运动到C，B、C两点位于同一等势面上，则以下说法正确的是()A.带电粒子在A点的电势能大于在C点的电势能B.A点电场强度大于B点电场强度C.带电粒子从A点经过B点运动到C点的过程中动能先增大再减小D.带电粒子从A点到C点电场力所做的功等于从A点到B点电场力所做的功【解析】D根据电场线与等势面垂直，且由高电势指向低电势，可知电场线方向大致向右，根据粒子轨迹的弯曲方向可知，粒子所受的电场力方向大致向左，则知粒子一定带负电.从A点到C点，由W＝qU，知U>0，q<0，则W<0，即电场力做负功，电势能增加，带电粒子在A点电势能小于在C点的电势能，A错误；等差等势面的疏密反映电场强度的大小，则A点场强小于B点场强，B错误；带电粒子从A点运动到B点的过程中，电场力做负功，动能减小，C错误；由题图知，A、C间电势差等于A、B间的电势差，根据W＝Uq知，带电粒子从A点到C点电场力所做的功等于从A点到B点电场力所做的功，D正确.【变式训练3】如图所示，虚线为某静电场中的等差等势线（相邻两虚线间的电势差相等），实线为某带电粒子在该静电场中运动的轨迹，a、b、c、d为粒子的运动轨迹与等势线的交点，除静电力外，粒子受到的其他力均可不计.下列说法正确的是()A.粒子在a、c两点的加速度大小一定相等B.粒子在b、c两点的速度大小一定相等C.粒子运动过程中速度一定先减小后增大D.粒子在b点时的电势能一定比在d点时的电势能大【解析】B因a点处的等差等势线比c点处的密集，故a点处的电场强度大于c点处的电场强度，故粒子在a点受到的静电力大于在c点受到的静电力，结合牛顿第二定律可知，粒子在a点的加速度比在c点的加速度大，A错误；b、c两点的电势相等，则粒子在b、c两点的电势能相等，由能量守恒定律可知，粒子在b、c两点的动能相等，速度大小相等，B正确；由粒子运动的轨迹弯曲的方向及等势线与电场线垂直可知，粒子受到的静电力指向轨迹曲线内侧且垂直于等势线，假设粒子从a点运动到d点，则粒子从a点运动到b点静电力做正功，粒子速度增大，从c点运动到d点静电力做负功，速度减小，故粒子在由a点到d点的运动过程中的速度先增大后减小，同理，粒子在由d点到a点的运动过程中的速度也先增大后减小，C错误；假设粒子从a点运动到d点，因粒子由c点到d点的过程中静电力做负功，动能减小，电势能增大，即粒子在d点的电势能大于在c点的电势能，由于c点电势与b点电势相等，粒子在c点与b点电势能相等，故粒子在d点的电势能大于在b点的电势能，同理，由粒子从d点到a点的运动也可判断粒子在d点的电势能大于在b点的电势能，D错误.等势面的综合应用【例4】如图所示，A、B、C、D为电场中相邻的四个等差等势面，一个电子垂直经过等势面D时，动能为20eV，飞经等势面C时，电势能为－10eV，飞至等势面B时速度恰好为零，已知相邻等势面间的距离均为5cm，则下列说法正确的是()A.该电场一定是匀强电场，电场强度为200V/mB.C等势面的电势为－10VC.电子再次飞经等势面D时，动能为10eVD.该电场方向向下【解析】A等差等势面是一组均匀的平行线，故一定是匀强电场，电子从D到B过程中，根据动能定理－eUDB＝0－EkD，电场强度E＝eq\f(UDB,d)＝200V/m，方向向上，A正确、D错误；φ＝eq\f(Ep,q)＝eq\f(－10eV,－e)＝10V，B错误；根据能量守恒可知，回到D时动能不变，为20eV，C错误.【变式训练4】图(a)为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图(b)为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，下列说法错误的是()eq\o(\s\up7(),\s\do15(图(a)))eq\o(\s\up7(),\s\do15(图(b)))A.P点电势比M点的高B.P点电场强度大小比M点的小C.M点电场强度方向沿z轴正方向D.带正电的粒子沿x轴正方向运动时，电势能减少【解析】DP点离正电荷较近，M点离负电荷较近，P点电势比M点的高，A正确，不符合题意；M点等势面比P点等势面密集，则P点电场强度大小比M点的小，B正确，不符合题意；根据电场线与等势面垂直且靠近负电荷处电势较低，可知M点电场强度方向沿z轴正方向，C正确，不符合题意；由对称性可知x轴上的电场强度等于零，所以带正电的粒子沿x轴正方向运动时，静电力不做功，电势能不变，D错误，符合题意.带电粒子运动轨迹类问题的解题技巧(1)判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为粒子在该点处的速度方向.(2)判断电场力（或场强）的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹的凹侧，再根据粒子的正、负判断场强的方向.(3)判断电场力做功的正、负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加.考点三电势差与电场强度的关系1.匀强电场中电势差与电场强度的关系(1)UAB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离.(2)沿电场强度方向电势降落得最快.(3)在匀强电场中U＝Ed，即在沿电场线方向上，U∝d.推论①：如图甲，C点为线段AB的中点，则有φC＝eq\f(φA＋φB,2).推论②：如图乙，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD.2.E＝eq\f(U,d)在非匀强电场中的两点妙用(1)判断电势差的大小及电势的高低：距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大，进而判断电势的高低.(2)判断电场强度大小：已知电场线分布时，电场线越密处，电场强度越大；已知等差等势线分布时，等势线越密处，电场强度越大.匀强电场中电场强度和电势差的关系【例5】（多选）如图所示，在匀强电场中，有边长为5cm的等边三角形ABC，三角形所在平面与匀强电场的电场线平行，O点为该三角形的中心，三角形各顶点的电势分别为φA＝1V、φB＝3V、φC＝5V，下列说法正确的是()A.O点电势为3VB.匀强电场的场强大小为80V/m，方向由A指向CC.在三角形ABC外接圆的圆周上电势最低点的电势为1VD.将电子由C点移到A点，电子的电势能增加了4eV【解析】AD因为φA＝1V、φC＝5V，则AC中点（设为D点）的电势为φD＝3V，则BD连线为等势面，因O点在该等势面上，则O点电势为3V，A正确；电场线与等势面垂直，可知匀强电场的场强方向由C指向A，大小为E＝eq\f(UCA,d)＝eq\f(4,0.05)V/m＝80V/m，B错误；沿电场线方向电势逐渐降低，如图所示，过圆心O作一条电场线，则交圆周于F点，该点电势最低，小于1V，C错误；由C到A电势降低4V，则将电子由C点移到A点，电子的电势能增加了4eV，D正确.【变式训练5】（多选）如图所示的直角三角形，ac＝2ab、bc＝20cm，d点为bc边上的点，已知∠cad＝∠dab，空间存在一平行于abc面的匀强电场.b点的离子源能向各个方向发射一系列的电子，电子的初动能为Ekb＝2000eV，其中到达a、c两点的电子动能分别为2100eV、1900eV，忽略电子间的相互作用.则下列说法正确的是()A.a点的电势比b点的电势高100VB.匀强电场的电场强度大小为1000eq\r(3)V/mC.该电场的方向由a指向dD.图中的虚线框内（包括虚线上）c点的电势最高【解析】AC由b到a由动能定理可得－eUba＝Eka－Ekb＝2100eV－2000eV，解得Uba＝－100V，则a点的电势比b点的电势高100V，A正确；由b到c由动能定理可得－eUbc＝Ekc－Ekb＝1900eV－2000eV，解得Ubc＝100V，可知bc间的电势差为100V，所以ac间的电势差为Uac＝100V－(－100V)＝200V，则b点与ac中点电势相等，连接b点与ac中点即为等势线，如图所示，由几何关系可知，电场线方向沿ad方向，电场强度大小为E＝eq\f(Uab,bctan30°×cos30°)＝eq\f(100,20×10-2×\f(\r(3),3)×\f(\r(3),2))V/m＝1000V/m，B错误、C正确；电场线方向沿ad方向且由a指向d，则图中的虚线框内，顶点a的电势最高，D错误.公式E＝eq\f(U,d)在非匀强电场中的应用【例6】我们所处的地球表面，实际上存在场强大小为100V/m的电场，可将其视为匀强电场，在地面立一金属杆后空间中的等势面如图所示.空间中存在a、b、c三点，其中a点位于金属杆正上方，b、c等高.则下列说法正确的是()A.b、c两点的电势差Ubc＝0B.a点场强大小大于100V/mC.a点场强方向水平向右D.a点的电势低于c点【解析】B由图可知，b、c两点的电势差为Ubc＝200V－300V＝－100V，A错误；由图可知，a点与相邻两等势面的距离小于1m，电势差等于100V，根据E＝eq\f(U,d)，可知a点场强大小大于100V/m，B正确；根据场强方向垂直于等势面，可知a点的场强方向沿竖直方向，不是水平方向，C错误；由图可知，a点与c点在同一等势面上，电势均为300V，D错误.【变式训练6】eq\a\vs4\al([易错题])如图所示是匀强电场遇到空腔导体后的部分电场线分布图，电场线的方向如图所示，M、N、Q是以直电场线上一点O为圆心的同一圆周上的三点，OQ连线垂直于MN，以下说法正确的是()A.O点电势与Q点电势相等B.将一正电荷由M点移到Q点，电荷的电势能减少C.MO间的电势差等于ON间的电势差D.在Q点释放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿与OQ垂直的方向竖直向上【解析】B过O点和Q点作电场的等势面，如图所示，由图可知，O、Q两点的电势不相等，A错误；将一正电荷由M点移到Q点，电场力对电荷做正功，故电荷的电势能减少，B正确；MO与ON相等，但由于电场不是匀强电场，且MO间的平均场强大于ON间的平均场强，由U＝Ed定性分析可知MO间的电势差大于ON间的电势差，C错误；在Q点释放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿Q点电场线的切线方向斜向上，D错误.【易错点】本题易错选D.学生误认为OQ为等势面，正电荷所受电场力与等势面垂直，方向竖直向上.此类问题，需要从电场线的分布入手，电场强度方向为该位置电场线的切线方向，同时要注意粒子的电性.等分法及其应用如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的eq\f(1,n)，采用这种等分间距求电势问题的方法，叫作等分法，如图所示.1.如图所示，雷雨天带有负电的乌云飘过一栋建筑物上空时，在避雷针周围形成电场，电场的等差等势面a、b、c、d分布情况如图所示，在等势面中有A、B、C三点.下列说法正确的是()A.避雷针附近的电场是匀强电场B.A点的电场强度比B点小C.a、b、c、d等势面中a的电势最低D.有一带负电的雨点从乌云中下落，电场力做正功【解析】D匀强电场的等势线应是一簇平行线，由题图可知避雷针附近的电场不是匀强电场，A错误；等差等势面越密集电场强度越大，所以A点的电场强度比B点大，B错误；乌云带负电，则电场线终止于乌云，根据沿电场线方向电势降低可知a、b、c、d等势面中a的电势最高，C错误；有一带负电的雨点从乌云中下落，雨点所受电场力方向与速度方向的夹角小于90°，电场力做正功，D正确.2.（2024·湖南卷）真空中有电荷量为＋4q和－q的两个点电荷，分别固定在x轴上－1和0处.设无限远处电势为0，x正半轴上各点电势φ随x变化的图像正确的是()【解析】D真空中点电荷周围某点处的电势φ＝keq\f(Q,r)，设坐标为x0(x0>0)位置处的电势为0，则keq\f(4q,1＋x0)＋keq\f(－q,x0)＝0，解得x0＝eq\f(1,3)，当0<x<eq\f(1,3)时，电势φ<0，当x>eq\f(1,3)时，电势φ>0，D正确.3.电鳗是放电能力极强的淡水鱼类，具有“水中高压线”的称号.电鳗体内从头到尾都有一些类似小型电池的细胞，这些细胞就像许多叠在一起的叠层电池，这些电池（每个电池电压约0.15V）串联起来后，在电鳗的头和尾之间就产生了很高的电压，此时在电鳗的头和尾的周围空间产生了类似于等量异种点电荷（O为连线的中点）的强电场.如图所示，虚线为该强电场的等势线分布，实线ABCD为以O点为中心的正方形，点A和点D、点B和点C分别在同一等势线上.则下列说法正确的是()A.电鳗的头部带正电B.A点与B点的电场强度相同C.B点与D点的电场强度相同D.负电荷沿正方形对角线从C点向A点运动过程中，电势能减小【解析】C根据等量异种点电荷的电场线由正点电荷发出，终止于负点电荷，沿电场线方向电势降低，电场线与等势线垂直，可知电鳗尾部带正电，A错误；A点与B点关于中垂线左右对称，电场强度大小相等，方向不同，B错误；B点与D点关于O点对称，B点与D点的电场强度相同，C正确；负电荷从C点沿正方形对角线运动到A点过程中，静电力做负功，电势能增大，D错误.4.如图所示，空间有平行于梯形区域abcd的匀强电场（图中未画出），已知梯形的∠a＝45°，∠c和∠d均为直角，且上底bc＝2cm、下底ad＝4cm，并知a、b、c三点的电势分别为4V、8V、10V.将一电荷量q＝－2×10-5C的点电荷从a点开始沿abcd路线移动，则下列判断正确的是()A.梯形区域的下底ad中点的电势为4VB.该匀强电场的场强大小为eq\r(2)V/mC.该点电荷在c点的电势能为2×10-5JD.该点电荷从a点移到d点的过程中，电场力对它做功为＋8×10-5J【解析】D由b点向ad作垂线，垂足为P，根据几何关系知p为ad中点，由于是匀强电场，故沿着同一个方向前进相同距离电势的降低相等，故φb－φc＝φp－φd，φp＝eq\f(1,2)(φa＋φd)，代入数据解得φp＝6V，φd＝8V，A错误；由于是匀强电场，则bd为等势线，如图所示，根据几何关系可知ab⊥bd，则ab为一条电场线，且方向由b指向a，电场强度为E＝eq\f(Uba,dba)＝eq\f(8－4,\r(2)×2)V/cm＝eq\r(2)×102V/m，B错误；该点电荷在c点的电势能为Epc＝φcq＝10×(－2×10-5)J＝－2×10-4J，C错误；该点电荷从a点移到d点电场力做功为Wad＝Uadq＝(4－8)×(－2×10-5)J＝8×10-5J，D正确.5.（多选）如图，真空中电荷量为2q和－q(q>0)的两个点电荷分别位于M点与N点，形成一个以MN延长线上O点为球心，电势为零的等势面（取无穷处电势为零，真空中点电荷在某点产生的电势公式为φ＝eq\f(kQ,x)，x为该点到点电荷的距离，Q为点电荷的电荷量，k为静电力常量），P为MN连线上的一点，S为等势面与直线MN的交点，T为等势面上的一点，下列说法正确的是()A.P点电势高于S点电势B.T点电场强度方向指向O点C.除无穷远处外，MN直线上还存在两个电场强度为零的点D.将正试探电荷q0从T点移到P点，静电力做正功【解析】AB在直线MN上，左边正电荷在M右侧电场强度水平向右，右边负电荷在N左侧电场强度水平向右，根据电场的叠加可知MN间的电场强度水平向右，沿着电场线电势逐渐降低，可知P点电势高于等势面与MN交点处电势，则P点电势高于S点电势，A正确；由于正电荷的电荷量大于负电荷的电荷量，可知在N左侧电场强度不可能为零，则N右侧，设M、N距离为L，根据eq\f(k·2q,(L＋d)2)＝eq\f(k·q,(d)2)，可知除无穷远处外，直线MN上电场强度为零的点只有一个，C错误；由A项分析可知，T点电势低于P电势，则正电荷在T点的电势能低于在P电势的电势能，将正试探电荷q0从T点移到P点，电势能增大，静电力做负功，D错误；设等势圆的半径为R，A、N距离为x，M、N距离为L，如图所示，根据φ＝eq\f(kQ,x)，结合电势的叠加原理知A、S电势满足eq\f(k·2q,L－x)＝eq\f(kq,x)，eq\f(k·2q,L＋2R－x)＝eq\f(kq,2R－x)，解得x＝eq\f(L,3)，R＝eq\f(2L,3)，由于电场强度方向垂直等势面，可知T点的场强方向必过等势面的圆心，O点电势φO＝eq\f(k·2q,L＋\f(L,3))－eq\f(kq,\f(L,3))＝－eq\f(3kq,2L)，可知φT>φO，可知T点电场强度方向指向O点，B正确.6.（2023·山东卷）（多选）如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和O′，A、D两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法正确的是()A.F′点与C′点的电场强度大小相等B.B′点与E′点的电场强度方向相同C.A′点与F′点的电势差小于O′点与D′点的电势差D.将试探电荷＋q由F点沿直线移动到O点，其电势能先增大后减小【解析】ACD研究六棱柱的上表面，由几何条件可知正电荷在FO中点K的场强方向垂直FO，则K点的合场强与FO的夹角为锐角，在F点的场强和FO的夹角为钝角，因此将正电荷从F点移到O点的过程中电场力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，D正确；由等量异种电荷的电势分布可知φA′＝φ>0，φD′＝－φ<0，φO′＝0，φF′>0，因此φA′－φF′＝φ－φF′<φO′－φD′＝φ，C正确；由等量异种电荷的对称性可知F′和C′电场强度大小相等，B′和E′电场强度方向不同，A正确、B错误.7.如图所示，有a、b、c三点处在匀强电场中，ab＝5cm，ac＝20cm，其中ab与电场方向平行，ab与ac成θ＝120°角，一电子从a移到c电场力做了3.2×10-18J的负功，已知元电荷e＝1.6×10-19C.(1)求匀强电场的电场强度大小及方向；(2)求电子从b移到c，电场力对它做的功；(3)设a点电势φa＝0，则c点电势为多少？电子在b点的电势能为多少？【解析】(1)电子从a移到c电场力做负功，所以电场强度方向水平向右Wac＝－eE·ac·sin30°，将ac＝20cm＝0.2m代入解得E＝200V/m.(2)电子从b移到c电场力做负功，有Wbc＝Wba＋Wac，Wba＝－eE·ab，将ab＝5cm＝0.05m代入解得Wbc＝－4.8×10-18J.(3)根据Uac＝φa－φc＝E·ac·sin30°，解得φc＝－20V.同理可得b点的电势φb＝10V，电子在b点的电势能为Epb＝－φbe，联立代入数据解得Epb＝－1.6×10-18J.8.如图所示，可视为质点的三个物块A、B、C放在倾角为θ＝30°、长为L＝2m的固定斜面上，三个物块与斜面间的动摩擦因数均为μ＝eq\f(7\r(3),80)，A与B紧靠在一起，C紧靠在固定挡板上，其中A为不带电的绝缘体，B、C所带电荷量分别为qB＝＋4.0×10-5C、qC＝＋2.0×10-5C，且保持不变，A、B的质量分别为mA＝0.80kg、mB＝0.64kg.开始时三个物块均能保持静止状态，且此时A、B两物块与斜面间恰无摩擦力作用.如果选定两点电荷在相距无穷远处的电势能为零，则相距为r时，两点电荷具有的电势能可表示为Ep＝keq\f(q1q2,r).为使A在斜面上始终做加速度为a＝1.5m/s2的匀加速直线运动，现给A施加一平行