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2024-2025学年天津市南开区高三下学期质量监测（一）数学试卷

一、单选题(★)1.若集合，则（）

A．B．C．D．(★★)2.设，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★)3.设，则（）

A．B．C．D．(★★)4.如图是由一组实验数据得到的散点图，以下四个回归方程类型中适合作为与的回归方程类型的是（）

A．B．C．D．(★★)5.已知是奇函数，则（）

A．B．0C．1D．2(★★★)6.把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点中心对称，则函数的解析式可能是（）

A．B．C．D．(★★)7.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．(★★★)8.如图，在平行六面体中，是线段上的一点，且，则三棱锥的体积与平行六面体的体积之比为（）

A．B．C．D．(★★★)9.设双曲线的左、右顶点分别是，点是的一条渐近线上一点，若，则的离心率为（）

A．B．C．D．4二、填空题(★★)10.是虚数单位，若复数为纯虚数，则__________．(★★★)11.若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为__________．(★★★)12.已知圆与抛物线的准线相切于点为的焦点，则直线被圆截得的弦长为__________．(★★★)13.有编号分别为的3个盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球．现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，则从第1个盒子中取到白球的概率是__________；从第3个盒子中取到白球的概率是__________．(★★★)14.在中，，若点为的中点，点满足，点为与的交点，用和表示__________；则的余弦值为__________．(★★★★★)15.已知，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为__________．三、解答题(★★★)16.在中，内角的对边分别为，且．(1)求边的长；(2)求的值；(3)求的值．(★★★)17.如图，在四棱锥中，平面平面，为棱上一点，且．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面夹角的余弦值．(★★★)18.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点．(1)求的方程；(2)过点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，点，直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于，与轴交于．若，求直线的斜率．(★★★★)19.已知公差大于0的等差数列的前项和为，且是的等比中项．(1)求的通项公式及；(2)记为在区间内项的个数，为数列的前项和．（i）若，求的最大值；（ii）设，证明：．(★★★★★)20.

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