人教A版高中数学必修二学习讲义1.3空间几何体的表面积与体积第2课时

第2课时柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学习目标1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积．知识点一柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；2．锥体的体积公式V＝eq\f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)；3．台体的体积公式V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h(S′、S为上、下底面面积，h为高)；4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V＝ShV＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)hV＝eq\f(1,3)Sh.知识点二球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)；2．球的体积公式V＝eq\f(4,3)πR3.类型一柱体、锥体、台体的体积例1(1)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为()A.eq\f(\r(3),12) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12) D.eq\f(\r(6),4)答案A解析三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为eq\f(\r(3),2)，底面积为eq\f(1,2)，故其体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).(2)现有一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降()A．0.6cmB．0.15cmC．1.2cmD．0.3cm答案A解析设杯里的水下降hcm，由题意知π(eq\f(20,2))2h＝eq\f(1,3)×20×π×32，解得h＝0.6cm.反思与感悟(1)常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．(2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练1(1)如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．解设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，∴VC－A′D′D＝eq\f(1,3)CD·S△A′D′D＝eq\f(1,3)a·eq\f(1,2)bc＝eq\f(1,6)abc，∴剩余部分的体积为VABCD－A′B′C′D′－VC－A′D′D＝abc－eq\f(1,6)abc＝eq\f(5,6)abc，∴棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解如图，在三棱台ABC－A′B′C′中，取上、下底面的中心分别为O′，O，BC，B′C′的中点分别为D，D′，则DD′是梯形BCC′B′的高．所以S侧＝3×eq\f(1,2)×(20＋30)×DD′＝75DD′.又因为A′B′＝20cm，AB＝30cm，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝eq\f(\r(3),4)×(202＋302)＝325eq\r(3)(cm2)．由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325eq\r(3)，所以DD′＝eq\f(13\r(3),3)(cm)，O′D′＝eq\f(\r(3),6)×20＝eq\f(10\r(3),3)(cm)，OD＝eq\f(\r(3),6)×30＝5eq\r(3)(cm)，所以棱台的高h＝O′O＝eq\r(D′D2－OD－O′D′2)＝eq\r(\f(13\r(3),3)2－5\r(3)－\f(10\r(3),3)2)＝4eq\r(3)(cm)．由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V＝eq\f(h,3)(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))＝eq\f(4\r(3),3)×(eq\f(\r(3),4)×202＋eq\f(\r(3),4)×302＋eq\f(\r(3),4)×20×30)＝1900(cm3)．类型二球的表面积与体积eq\x(命题角度1与球有关的切、接问题)例2(1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．解如图等边△ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O.设球的半径OE＝R，OA＝eq\f(OE,sin30°)＝2OE＝2R，∴AD＝OA＋OD＝2R＋R＝3R，BD＝AD·tan30°＝eq\r(3)R，∴V球＝eq\f(4,3)πR3，V圆锥＝eq\f(1,3)π·BD2×AD＝eq\f(1,3)π(eq\r(3)R)2×3R＝3πR3，则V球∶V圆锥＝4∶9.(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2答案B解析长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为eq\r(2a2＋a2＋a2)＝eq\r(6)a，得球的半径为eq\f(\r(6),2)a，则球的表面积为4π(eq\f(\r(6),2)a)2＝6πa2.反思与感悟(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝eq\f(a,2)，过在一个平面上的四个切点作截面如图①.(2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝eq\f(\r(2),2)a，如图②.(3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2＋c2)，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝eq\r(3)a.(5)正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝eq\f(\r(6),2)a.跟踪训练2(1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A．1∶eq\r(3)B．1∶3C．1∶3eq\r(3)D．1∶9答案C解析设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为eq\f(1,2)，外接球的直径为正方体的体对角线，∴外接球的半径为eq\f(\r(3),2)，∴其体积比为eq\f(4,3)π×(eq\f(1,2))3∶eq\f(4,3)π×(eq\f(\r(3),2))3＝1∶3eq\r(3).(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为eq\r(3)、eq\r(5)、eq\r(15)，则它的外接球表面积为_______．答案9π解析设长方体共顶点的三条棱长分别为a、b、c，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(3)，,bc＝\r(5)，,ac＝\r(15)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(3)，,b＝1，,c＝\r(5)，))∴外接球半径为eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)＝eq\f(3,2)，∴外接球表面积为4π×(eq\f(3,2))2＝9π.eq\x(命题角度2球的截面)例3在球内有相距9cm的两个平行截面面积分别为49πcm2和400πcm2，求此球的表面积．解方法一(1)若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O的大圆截面，C，C1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为Rcm，截面圆的半径分别为rcm，r1cm.由πreq\o\al(2,1)＝49π，得r1＝7(r1＝－7舍去)，由πr2＝400π，得r＝20(r＝－20舍去)．在Rt△OB1C1中，OC1＝eq\r(R2－r\o\al(2,1))＝eq\r(R2－49)，在Rt△OBC中，OC＝eq\r(R2－r2)＝eq\r(R2－400).由题意可知OC1－OC＝9，即eq\r(R2－49)－eq\r(R2－400)＝9，解此方程，取正值得R＝25.(2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC1＝eq\r(R2－49)，OC＝eq\r(R2－400).由题意可知OC1＋OC＝9，即eq\r(R2－49)＋eq\r(R2－400)＝9.整理，得eq\r(R2－400)＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2500π(cm2)．方法二(1)若截面位于球心的同侧，同方法一，得OCeq\o\al(2,1)＝R2－49，OC2＝R2－400，两式相减，得OCeq\o\al(2,1)－OC2＝400－49⇔(OC1＋OC)(OC1－OC)＝351.又OC1－OC＝9，∴OC1＋OC＝39，解得OC1＝24，OC＝15，∴R2＝OC2＋r2＝152＋202＝625，∴R＝25cm.(以下略)反思与感悟设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．跟踪训练3把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是()A．1B．2C．1或7D．2或6答案C解析画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧．对于①，m＝eq\r(52－32)＝4，n＝eq\r(52－42)＝3，两平行截面间的距离是m＋n＝7；对于②，两平行截面间的距离是m－n＝1.故选C.类型三组合体的体积例4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(1,3)＋π B.eq\f(2,3)＋πC.eq\f(1,3)＋2π D.eq\f(2,3)＋2π答案A解析由三视图可知该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V＝eq\f(1,2)π×12×2＋eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×1×2)×1＝π＋eq\f(1,3).故选A.反思与感悟此类问题的关键是把三视图还原为空间几何体，再就是代入公式计算，注意锥体与柱体两者的体积公式的区别．解答组合体问题时，要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体．跟踪训练4如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台，求这个奖杯的体积．解三视图复原的几何体下部是底座是正四棱台，中部是圆柱，上部是球．这个奖杯的体积V＝eq\f(1,3)h(S上＋eq\r(S上S下)＋S下)＋22π·16＋eq\f(4π,3)×33＝336＋100π(cm3)．1．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是()A．2cmB．3cmC．4cmD．8cm答案C解析∵铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，∴铜质的五棱柱的体积V＝16×4＝64(cm3)，设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为acm，则a3＝64，解得a＝4cm，故选C.2.已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1—ABC的体积为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(3),4)答案D解析V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(3),4).3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为()A．2π B．4πC．8π D．16π答案B解析体积最大的球是其内切球，即球的半径为1，所以表面积为S＝4π×12＝4π.4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．答案3∶1∶2解析设球的半径为R，则V柱＝πR2·2R＝2πR3，V锥＝eq\f(1,3)πR2·2R＝eq\f(2,3)πR3，V球＝eq\f(4,3)πR3，故V柱∶V锥∶V球＝2πR3∶eq\f(2,3)πR3∶eq\f(4,3)πR3＝3∶1∶2.5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．答案3π解析由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即eq\f(1,2)×4π＋π＝3π.1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V柱体＝Sheq\o(―,\s\up7(S′＝S))V台体＝eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS′)＋S′)eq\o(→,\s\up7(S′＝0))V锥体＝eq\f(1,3)Sh.2．在三棱锥A－BCD中，若求点A到平面BCD的距离h，可以先求VA－BCD，h＝eq\f(3V,S△BCD).这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V一般用换顶点法求解，即VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，求解的原则是V易求，且△BCD的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．5．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．课时作业一、选择题1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于()A．πB．2πC．4πD．8π答案B解析设圆柱母线长为l，底面半径为r，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝2r，,2πrl＝4π，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝2.))∴V圆柱＝πr2l＝2π.2．如图，在正方体中，四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．不确定答案B解析由于四棱锥S－ABCD的高与正方体的棱长相等，底面是正方形，根据柱体和锥体的体积公式，得四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的eq\f(1,3)，故选B.3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.eq\f(9,2)π＋12 B.eq\f(9,2)π＋18C．9π＋42 D．36π＋18答案B解析由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V＝eq\f(4,3)π(eq\f(3,2))3＋3×3×2＝eq\f(9,2)π＋18.4．如图，ABC－A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)答案C解析∵VC－A′B′C′＝eq\f(1,3)VABC－A′B′C′＝eq\f(1,3)，∴VC－AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).5．一平面截一球得到直径为6cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4cm，则该球的体积是()A.eq\f(100π,3)cm3 B.eq\f(208π,3)cm3C.eq\f(500π,3)cm3 D.eq\f(416\r(3)π,3)cm3答案C解析如图，根据题意，|OO1|＝4cm，|O1A|＝3cm，∴|OA|＝R＝eq\r(|OO1|2＋|O1A|2)＝5(cm)，故球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3)(cm3)．故选C.6．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2cm，那么该棱柱的表面积为()A．(2＋4eq\r(2))cm2 B．(4＋8eq\r(2))cm2C．(8＋16eq\r(2))cm2 D．(16＋32eq\r(2))cm2答案C解析∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm的球面上，正四棱柱的底面边长为2cm，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为2eq\r(2)，∴正四棱柱的高为eq\r(16－8)＝2eq\r(2)，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×2eq\r(2)＝8＋16eq\r(2)，故选C.7.如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.eq\f(2,3)πB.eq\f(4,3)πC.eq\f(5,3)πD．2π答案C解析由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－eq\f(1,3)×π×12×1＝eq\f(5,3)π.8．一个表面积为36π的球外切于一圆柱，则圆柱的表面积为()A．45πB．27πC．36πD．54π答案D解析因为球的表面积为36π，所以球的半径为3，因为该球外切于圆柱，所以圆柱的底面半径为3，高为6，所以圆柱的表面积S＝2π×32＋2π×3×6＝54π.二、填空题9．如图，三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A－FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为________．答案eq\f(1,24)解析设三棱柱的高为h，∵F是AA1的中点，则三棱锥F－ADE的高为eq\f(h,2)，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴S△ADE＝eq\f(1,4)S△ABC，∵V1＝eq\f(1,3)S△ADE·eq\f(h,2)，V2＝S△ABC·h，∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,6)S△ADE·h,S△ABC·h)＝eq\f(1,24).10．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2πcm，半径为eq\r(2)cm，则该圆锥的体积为___cm3.答案eq\f(π,3)解析∵圆锥的侧面展开图的弧长为2πcm，半径为eq\r(2)cm，故圆锥的底面周长为2πcm，母线长为eq\r(2)cm，则圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的体积V＝eq\f(1,3)·π·12·1＝eq\f(π,3).11．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为________．答案eq\f(\r(2)π,6)＋eq\f(1,6)解析由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×1×1)×1＋[eq\f(4,3)π(eq\f(\r(2),2))3]×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)＋eq\f(\r(2)π,