《圆周角》分层作业

数学第第页《圆》圆周角A卷（基础）一、选择题1．如图，A、B、C为⊙O上的三个点，∠AOB＝60°，则∠C的度数为（）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】B【解析】∵∠AOB和∠C都对，∴∠C＝∠AOB＝×60°＝30°．故选：B．【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系.【难度】★【题型】选择题2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（）A．80° B．85° C．90° D．95°【答案】B【解析】∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵∠C＝50°，∴∠BAC＝40°，∵∠ABC的平分线是BD，∴∠CBD＝45°，∵∠CBD＝∠CAD，∴∠CAD＝45°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝40°+45°＝85°．故选：B．【知识点】圆周角定理．【难度】★【题型】选择题3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠D＝85°，则∠B的度数为（）A．95° B．105° C．115° D．125°【答案】A【解析】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D+∠B＝180°，∵∠D＝85°，∴∠B＝180°﹣∠D＝180°﹣85°＝95°．故选：A．【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【难度】★【题型】选择题4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠AOC＝140°，则∠BDC＝（）A．20° B．40° C．55° D．70°【答案】A【解析】∵∠BOC+∠AOC＝180°，∠AOC＝140°，∴∠BOC＝180°﹣140°＝40°，∴∠BDC＝∠BOC＝20°．故选：A．【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【难度】★【题型】选择题5．如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且点D是弧AB的中点，CD交OB于E，∠AOB＝100°，∠OBC＝55°，则∠OEC的度数为（）A．90° B．80° C．70° D．60°【答案】B【解析】如图，连接OD，∵点D是弧AB的中点，∴，∵∠AOB＝100°，∴∠BOD＝∠AOB＝50°，∴∠BCD＝∠BOD＝25°，∴∠OEC＝∠OBC+∠C＝55°+25°＝80°．故选：B．【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【难度】★★【题型】选择题二、填空题6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC＝2CD，则∠BAD的度数是°．【答案】120．【解析】如图，连接OD，∵BC是⊙O的直径，BC＝2CD，∴OC＝OD＝CD，∴△COD为等边三角形，∴∠C＝60°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠C＝180°，∴∠BAD＝120°，故答案为：120．【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【难度】★【题型】填空题7．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，分别连接AC，BC，CD，∠DOB＝150°，则∠ACD的度数为．【答案】15°．【解析】∵∠DOB＝150°，∠AOD+∠DOB＝180°，∴∠AOD＝30°，∴∠ACD＝∠AOD＝15°，故答案为：15°．【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【难度】★【题型】填空题8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝112°，则∠ABC的大小为度．【答案】124．【解析】∵∠AOC＝112°，∴∠D＝∠AOC＝56°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣56°＝124°．故答案为：124．【知识点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【难度】★★【题型】填空题解答题9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ADC＝26°．求∠CAB的度数．【答案】64°【解析】如图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝∠D＝26°，∴∠CAB＝90°﹣26°＝64°．【知识点】圆周角定理．【难度】★【题型】解答题10．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，过点C作⊙O的弦CM⊥AB，垂足是H，CM交AD于点E，CB交AD于点F，求证：CE＝EF．【答案】见解析．【解析】证明：∵C是的中点，∴弧AC＝弧CD，∴∠ABC＝∠CBD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DFB+∠DBF＝90°，∵AB⊥CM，∴∠CHB＝90°，∴∠C+∠CBH＝90°，∴∠C＝∠DFB，∵∠CFE＝∠DFB，∴∠C＝∠CFE，∴CE＝EF．【知识点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．【难度】★★【题型】解答题B卷（巩固）一、选择题1．如图，在△AOB中，，AB＝3．以O为圆心，OA为半径的⊙O交OB于点C．点D在⊙O上，连接CD，AD，若∠ADC＝30°，则⊙O的半径为（）​A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，∵∠B＝30°，∴∠OAB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，在Rt△OAB中，设OA=r，则OB=2r.由OB2=OA2+AB2，得（2r）2=r2+32.解得r=3.故选：B．【知识点】圆周角定理．【难度】★【题型】选择题2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知点C为的中点，若∠A＝50°，则∠CBD的度数为（）A．50° B．40° C．30° D．25°【答案】D【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝50°，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，∵点C为的中点，∴CD＝CB，∴∠CDB＝∠CBD＝×（180°﹣130°）＝25°，故选：D．【知识点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【难度】★【题型】选择题3．如图，点A，B，C，D是⊙O上的点，AD是⊙O的直径，若∠BCD＝110°，则∠ADB的度数为（）A．10° B．20° C．50° D．70°【答案】B【解析】∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵∠BCD＝110°，∴∠ACB＝∠BCD﹣∠ACD＝20°，∴∠ADB＝∠ACB＝20°．故选：B．【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【难度】★★【题型】选择题4．如图，在⊙O中，P为优弧上一个动点（不与A，B两点重合），PQ⊥AB，垂足为Q，D是BP的中点，连接DQ．若⊙O的半径为4，则线段DQ的最大值是（）A．4 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】∵PQ⊥AB，垂足为Q，D是BP的中点，∴DQ＝PB，当PB为直径时，PB最大，∵⊙O的半径为4，当PB＝8时，DQ＝4，故选：A．【知识点】圆周角定理；直角三角形斜边上的中线．【难度】★★【题型】选择题5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是的中点，点E是上的一点，若∠ADC＝110°，则∠DEC的度数是（）A．35° B．45° C．50° D．55°【答案】A【解析】连接BD，如图．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝110°，∴∠ABC＝70°，∵点D是的中点，∴∠ABD＝∠CBD＝35°，∴∠DEC＝∠CBD＝35°，故选：A．【知识点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【难度】★★【题型】选择题6．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC＝5，∠BAC＝∠D．则AB的长为（）A．5 B．10 C．5 D．10【答案】C【解析】由已知，得∠D＝∠B，∵∠BAC＝∠D，∴∠B＝∠BAC，∴△ABC是等腰三角形，∵AB是直径，∴△ABC是等腰直角三角形，∵AC＝5，∴AB＝5，故选：C．【知识点】圆周角定理．【难度】★★【题型】选择题7．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°，则∠AOC的度数为（）A．20° B．40° C．60° D．80°【答案】C【解析】如图，连接OD，∵AB＝2DE，∴OD＝DE，∵∠AEC＝20°，∴∠DOE＝20°，∴∠CDO＝∠DOE+∠E＝40°，∵OC＝OD，∴∠DCO＝∠CDO＝40°，∴∠COD＝180°﹣∠DCO﹣∠CDO＝100°，∴∠AOC＝180°﹣∠DOE﹣∠COD＝60°，故选：C．【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【难度】★★【题型】选择题二、填空题8．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠ADB的度数为．【答案】15°【解析】由已知可知，∠AOC＝70°，∠BOC＝40°，∴∠AOB＝∠AOC-∠BOC＝30°.∴∠ADB＝12∠AOB＝15故答案为：15°．【知识点】圆周角定理．【难度】★【题型】填空题9．一块直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边分别交⊙O于B、C两点，若弦BC＝1，则⊙O的半径为．【答案】1【解析】连接OB、OC，如图，∵∠A与∠BOC都对，∠A＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∵BC＝1，∴OB＝BC＝1，即⊙O的半径为1．故答案为：1．【知识点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．【难度】★★【题型】填空题10．如图，在⊙O中，A点在圆上，弦，∠BAC＝45°，则⊙O的直径为．【答案】4．【解析】如图所示，连接OB，OC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，又∵OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，由BC=22，得OB=OC=2∴⊙O的直径为4，故答案为：4．【知识点】圆周角定理．【难度】★★【题型】填空题11．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是．【答案】30°．【解析】连接OB，如图，∵点B是的中点，∴∠AOB＝∠AOC＝×120°＝60°，∴∠D＝∠AOB＝30°．故答案为：30°．【知识点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【难度】★★【题型】填空题12．如图，在⊙O中，弦BC垂直平分半径OA，垂足为D，点M在⊙O上，不与A，B重合，连接OC、AC，则∠AMB＝．【答案】30°或150°．【解析】∵BC垂直平分半径OA，∴OC＝CA，∵OC＝OA，∴OC＝OA＝AC，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝60°，∴，当点M在优弧AB上时，∠AMB＝∠ACB＝30°，当点M′在劣弧AB上时，∠AM′B＝180°﹣30°＝150°，故答案为：30°或150°．【知识点】圆周角定理；线段垂直平分线的性质；垂径定理．【难度】★★【题型】填空题三、解答题13．如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，CD＝BD．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．（1）求证：CD＝DE；（2）若AC＝6，半径OB＝5，求BD的长．【答案】（1）见解答．（2）2．【解析】（1）证明：∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ADE＝90°，∵CD＝BD，∴∠EAD＝∠DAB，∴∠E＝∠ABE，连接BC，则∠DCB＝∠DBC，∠ACB＝∠ECB＝90°，∵∠EBC+∠E＝90°，∠DCB+∠ECD＝90°，∴∠E＝∠ECD，∴CD＝DE．（2）解：在Rt△ACB中，由勾股定理得BC＝＝＝8，∵∠E＝∠ABE，∴△AEB为等腰三角形，∴AB＝AE，BD＝DE，∴CE＝AE﹣AC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，在Rt△BCE中，由勾股定理得BE＝＝＝4，∴BD＝BE＝2．【知识点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系．【难度】★★【题型】解答题14．如图，点A、P、B、C是⊙O上的四个点，且∠APC＝∠CPB＝60°．（1）证明：△ABC是正三角形；（2）若⊙O的半径是6，求正△ABC的边长．【答案】（1）见解析；（2）正△ABC的边长为．【解析】（1）证明：∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB，∴△ABC是正三角形；（2）解：连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBE＝30°，BE＝CE，在Rt△OBE中，OE＝OB＝3，BE＝＝，∴BC＝，即正△ABC的边长为．【知识点】圆内接四边形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理．【难度】★★【题型】解答题C卷（拓展）一、选择题1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接CE，DE．若∠BAD＝105°，则∠DCE为（）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】B【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BAD＝105°，∴∠BCD＝75°，∵BE是⊙O的直径，∴∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝90°﹣75°＝15°.故选：B．【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【难度】★★【题型】选择题2．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠A＝∠BOD＝34°，则∠CBD＝（）A．129° B．128° C．109° D．99°【答案】A【解析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝34°，∴∠ABC＝90°﹣34°＝56°．∵∠BOD＝34°，∴∠OBD＝＝73°，∴∠CBD＝∠ABC+∠OBD＝56°+73°＝129°．故选：A．【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【难度】★★【题型】选择题二、填空题3．如图，AB是⊙O的直径，C是上一点，D是上一点，且OD∥AC，若∠CBD＝20°，则∠A＝．【答案】40°．【解析】如图，连接OC，∵∠CBD＝∠COD，∠CBD＝20°，∴∠COD＝2×20°＝40°，∵OD∥AC，∴∠ACO＝∠COD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠A＝∠COD＝40°，故答案为：40°．【知识点】圆周角定理．【难度】★★【题型】填空题4．如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：①AC＝BD；②＝；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；④若M为的中点，则D为OB的中点；所有正确结论的序号是．【答案】①②④．【解析】连接OM、ON，如图.∵MC⊥AB，ND⊥AB，∴∠OCM＝∠ODN＝90°，∵MN∥AB，∴∠CMN+∠MCD＝180°，∴∠CMN＝90°，∴四边形CMND是矩形，∴CM＝DN，在Rt△OMC和Rt△OND中，，∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），∴OC＝OD，∠COM＝∠DON，∴＝，故