《正多边形和圆》教学设计

教学设计课题正多边形和圆科目数学年级课时1课型新授课授课人教学分析课程标准分析了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.教学内容分析正多边形和圆是学生学习了三角形、四边形、多边形以及圆有关内容后要学习的内容，是对前面所学知识的回顾，同时也是新知识的延伸和扩展.充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性和体系性.学情分析本阶段学生有了一定的生活经验，对生活中的多边形有了一定的认识，并且已经学习了三角形、四边形以及圆有关的知识，初步具备了有条理思考、表达、总结归纳的能力，所以让学生主动参与，亲身体验知识的发生与发展的过程，本部分内容应该比较容易学会.资源环境分析多媒体教室教学准备教学目标1.理解并掌握正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.2.通过合作探究正多边形与圆关系教学，培养学生观察、猜想、推理证明、总结归纳的能力.3.通过正多边形和圆教学进一步向学生渗透“特殊到一般”再由“一般到特殊”的数学思想.4.学会独立思考、合作交流，激发学生求知，探索的欲望.重点难点教学重点：正多边形的有关概念.教学难点：探究正多边形和圆的关系.教法学法教法：启发式教学.在提出问题的背景下，通过独立思考、教师的引导、合作探究等过程，充分发挥学生的主动性、积极性，最终达到使学生有效地掌握所学知识.学法：自主学习+合作探究教具资源PPT多媒体课件设计思路探究正多边形与圆的关系由生活中的图片引出正多边形.将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形.2.正多边形的有关概念（1）正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.（2）正多边形的半径:外接圆的半径.（3）正多边形的中心角:正多边形的每一条边所对的圆心角.（4）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.3.正多边形和圆有关的计算问题.正n边形的中心角等于360°÷n(eq\f(a,2))2＋r2＝R2.如何把一个圆进行n等分呢？得到结论：把中心角n等分，则弧被n等分，即可得到正多边形.4.画正多边形画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.可以用量角器或尺规作图两种方法.教学过程教学环节教师活动学生活动资源应用复习回顾，导入新课(1)观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？图27－4－2(2)回顾：等边三角形的边、角各有什么性质？正方形的边、角各有什么性质？(3)什么叫正多边形？正多边形和圆有什么关系？学生观察、思考通过对等边三角形、正方形的回顾，加强新旧知识的联系和延伸，类比旧知识的学习方法及思想来学习新知识.探究新知正多边形观察下列图形它们有什么特点？问题1：将一个圆分为五等份，依次连结各分点得到一个五边形，这个五边形一定是正多边形吗？如果是，请你证明这个结论.解：∵eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵))＝eq\o(EA,\s\up8(︵))，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA.∵eq\o(BAD,\s\up8(︵))＝eq\o(CAE,\s\up8(︵))＝3eq\o(AB,\s\up8(︵))，∴∠C＝∠D.同理可证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，∴五边形ABCDE是正五边形.∵A，B，C，D，E在⊙O上，∴五边形ABCDE是圆内接正五边形.问题2如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？答案：这个n边形一定是正n边形.问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？如果是，说明理由；如果不是，举出反例.答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形.因为：各边相等的圆内接多边形的各角也相等.各角相等的圆内接多边形不是正多边形.如：矩形.正多边形的有关概念（1）正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.（2）正多边形的半径:外接圆的半径.（3）正多边形的中心角:正多边形的每一条边所对的圆心角.（4）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.3.正多边形和圆有关的计算问题问题1：(1)正多边形的中心角怎么计算？(2)边长a，半径R，边心距r有什么关系？(3)正多边形的面积如何计算？结论：（1）正n边形的中心角等于360°÷n（2）(eq\f(a,2))2＋r2＝R2.问题2：如何把一个圆进行n等分呢？得到结论：把中心角n等分，则弧被n等分，即可得到正多边形．教师引导分析：①正方形的中心角为90°，说明两条半径互相垂直；②正六边形的中心角为60°，说明两条半径和一边构成等边三角形．4.画正多边形画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式：（1）用量角器等分圆周.方法一：由于在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.方法二：先用量角器画一个等于的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点.（2）用尺规等分圆正方形的作法:如图（1)在⊙O中，尺规作两条垂直的直径，把⊙O四等分，从而作出正方形ABCD.再逐次平分各边所对弧，则可作正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形.正六边形的作法：方法一：如图（2）任意作一条直径AB，再分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径作弧，与⊙O交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D为⊙O的六等分点，顺次连接各等分点，得到正六边形ACEBFD.方法二：如图（3）由于正六边形的半径等于边长.所以在圆上依次截取等于半径的弦，就将圆六等分，顺次连接各等分点即可得到正六边形.学生观察、思考，学生讨论、交流，发表各自见解.利用以前圆的有关知识加以证明.学生小组讨论思考.学生讨论，思考回答.创设情境，使学生主动将圆的知识与正多边形联系起来，激发学生探索的热情，调动学生学习的积极性.教师引导学生从正多边形的定义入手证明，即证明多边形各边都相等，各角都相等；引导学生观察、分析，教师带领学生完成证明过程.从问题1到问题2是将结论由特殊推广到一般，这符合学生的认知规律，并教导学生一种研究问题的方法，由特殊到一般.通过学生探索、归纳，教给学生等分圆周的方法，尤其是尺规作正方形、正六边形.这两种方法可以任意等分圆，但不可避免地存在误差.例题解析有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题.解：如图.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=360°÷6=60°.∴△BOC是等边三角形.∴R=BC=4m，∴这个亭子地基的周长为:4×6=24（m）.过O点作OP⊥BC，垂足为P.在Rt△OCP中，OC=R=4，CP=BC=2.已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形.方法一：①用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°；②连结AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形.方法二：①用量角器画圆心角∠BOC＝120°；②在⊙O上用圆规截取弧AB＝弧BC；③连结AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形.方法三：①作直径AD；②以点D为圆心，OD长为半径画弧，交⊙O于点B，C；③连结AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形.学生画出图形，进行分析，完成例题的解答.学生先独立解决问题，然后小组中讨论，鼓励学生勇于探索实践，然后与同桌交流，上讲台演示.随堂训练如图27－4－8，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是(A)A．2eq\r(3)cmB.eq\r(3)cmC.eq\f(2\r(3),3)cmD．1cm2.如图27－4－10，AB，CD是⊙O中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，OA为半径画弧，与⊙O交于E、F两点.(1)求证：AE是正六边形的一边；(2)请在图上继续画出这个正六边形．解：(1)证明：连结OE，OF，AF，∵AE＝OA＝OE，∴△AOE是等边三角形，故∠OAE＝60°，同理可证：△OAF是等边三角形．∴∠OAF＝60°，∴AE＝AF，且∠EAF＝∠OAE＋∠OAF＝120°，∴AE是正六边形的一边.(2)以B为圆心，AE长为半径画弧，与⊙O交于点G，H，然后顺次将A，E，G，B，H和F连结起来就得到正六边形.课堂小结通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？你能画出正多边形吗？学生总结，后一个为前一个补充，教师总结.通过提问式总结，使学生知识系统化，脉络更清晰.布置作业板书设计教学反思本节课教学从实际生活出发（观看美丽图案），引导学生自己总结得出正多边形的定义和性质，对概念的教学不是直接告诉学