《勾股定理》分层作业

数学第第页《勾股定理》勾股定理A卷（基础）一、选择题1．在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则AB2+AC2＝（）A．10 B．20 C．50 D．100【答案】D【解析】在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，∴AB2+AC2＝BC2＝100，故选：D．【知识点】利用勾股定理求边长．【难度】★【题型】选择题2．在Rt△ABC中，已知其两直角边长a＝5，b＝3，那么斜边c的长为（）A．3 B．4 C． D．【答案】D【解析】∵△ABC是直角三角形，两直角边长a＝5，b＝3，∴斜边c为＝＝＝，故选：D．【知识点】利用勾股定理求边长．【难度】★【题型】选择题3．已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，下列说法正确的有（）①若∠C＝90°，则a2+b2＝c2；②若∠B＝90°，则a2+c2＝b2；③若∠A＝90°，则b2+c2＝a2；④总有a2+b2＝c2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】∵a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，∴若∠C＝90°，则a2+b2＝c2；若∠B＝90°，则a2+c2＝b2；若∠A＝90°，则b2+c2＝a2；故①②③正确；只有当∠C＝90°时，才有a2+b2＝c2，故④错误，故选：C．【知识点】勾股定理．【难度】★【题型】选择题4．以直角三角形的三边为边长分别向外作正方形，图中字母B所代表的正方形的面积是（）A．12 B．13 C．144 D．194【答案】C【解析】∵169﹣25＝132﹣52＝122，∴字母B所代表的正方形的面积＝122＝144．故选：C．【知识点】勾股定理．【难度】★【题型】选择题5．若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是（）A．13 B．13或 C． D．12或13【答案】D【解析】当12是斜边时，它的斜边长是12；当12是直角边时，它的斜边长＝＝13；故它的斜边长是12或13．故选：D．【知识点】勾股定理．【难度】★★【题型】选择题二、填空题6．已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，则AC＝．【答案】5．【解析】在△ABC中，∠ABC＝90°，由勾股定理，得AC＝＝5，故答案为：5．【知识点】勾股定理．【难度】★【题型】填空题7．若第一象限的点A（a，4）到原点的距离为5，则a＝．【答案】3．【解析】∵点A（a，4）到原点的距离是5，∴a2+42＝52．∴a＝±3．∵点A（a，4）在第一象限，∴a＝3．故答案为：3．【知识点】勾股定理．【难度】★【题型】填空题8．在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝，则AB2+BC2+AC2＝．【答案】4．【解析】∵∠C＝90°，AB＝，∴AC2+BC2＝AB2＝2，∴AB2+BC2+AC2＝（BC2+AC2）+AB2＝2+2＝4，故答案为：4．【知识点】勾股定理．【难度】★【题型】填空题解答题9．如图，设直角三角形的两条直角边分别是a和b，斜边为c，利用图形证明：a2+b2＝c2．【答案】证明过程见解析．【解析】证明：由图可知，＝+，∴a2+2ab+b2＝ab+c2+ab，∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．【知识点】勾股定理的证明．【难度】★【题型】解答题10．△ABC的三边长分别为5，x﹣2，x+1，若该三角形是以x+1为斜边的直角三角形，求x的值．【答案】．【解析】∵该三角形是以x+1为斜边的直角三角形，∴52+（x﹣2）2＝（x+1）2，∴x＝．【知识点】勾股定理．【难度】★【题型】解答题B卷（巩固）选择题1．在平面直角坐标系中，点P（3，﹣4）到原点的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．±5【答案】C【解析】由勾股定理，得点P（3，﹣4）到原点的距离是．故选：C．【知识点】勾股定理．【难度】★【题型】选择题2．已知直角三角形的两边长分别为6，8，则该直角三角形的周长为（）A．14 B．24 C． D．24或【答案】D【解析】①当6和8均为直角边时，斜边＝＝10，则这个直角三角形的周长是6+8+10＝24；②当6为直角边，8为斜边时，则斜边为＝2．故这个直角三角形的周长是14+2．综上可知，这个直角三角形的周长是24或14+2．故选：D．【知识点】勾股定理．【难度】★★【题型】选择题3．如图，数轴上的点A对应的实数是﹣1，点B对应的实数是1，过点B作BC⊥AB．使BC＝1，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是（）A．﹣1 B．+1 C． D．【答案】A【解析】在Rt△ABC中，AC＝＝＝，根据题意，可得AC＝AD，点D所对应的实数是．故选：A．【知识点】勾股定理；实数与数轴．【难度】★★【题型】选择题4．直角三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足+|b﹣4|＝0，则此三角形的第三边长为（）A．5 B．25 C． D．5或【答案】D【解析】∵a，b满足+|b﹣4|＝0，∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，∴直角三角形的第三边长＝＝5，或直角三角形的第三边长＝＝，∴直角三角形的第三边长为5或，故选：D．【知识点】勾股定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【难度】★★【题型】选择题5．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】A【解析】直角三角形较短的直角边为＝6，所以，正方形EFGH的面积＝10×10﹣8×6÷2×4＝100﹣96＝4．故选：A．【知识点】勾股定理的应用．【难度】★★【题型】选择题6．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，则△ABC的面积为（）A．12 B．24 C．10 D．20【答案】A【解析】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BD＝CD＝BC＝×6＝3．在△ABD中，∵AD2+BD2＝AB2，∴AD＝＝＝4，∴S△ABC＝BC•AD＝×4×6＝12，故选：A．【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质．【难度】★★【题型】选择题7．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示：S△ABC＝×BC×AE＝×BD×AC．∵AE＝4，AC＝＝5，BC＝4，∴×4×4＝×5×BD，解得：BD＝．故选：C．【知识点】勾股定理．【难度】★★【题型】选择题二、填空题8．已知直角三角形的三边分别为6，8，x，则x＝．【答案】10或2【解析】分两种情况进行讨论：①两直角边分别为6，8，由勾股定理，得x＝＝10；②一直角边为6，一斜边为8，由勾股定理，得x＝＝2；故答案为：10或2．【知识点】勾股定理．【难度】★★【题型】填空题9．一个直角三角形两条直角边的比是3∶4，斜边长为10cm，那么这个直角三角形面积为．【答案】24cm2．【解析】∵一个直角三角形两条直角边的比是3∶4，∴设两条直角边分别为3x，4x，根据勾股定理，得（3x）2+（4x）2＝102，∴x＝2（x＝－2舍去），∴两条直角边分别为6cm和8cm，∴这个直角三角形面积为×8×6＝24（cm2），故答案为：24cm2．【知识点】勾股定理．【难度】★★【题型】填空题10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，若AC＝2，则AB的长为．【答案】4．【解析】如图，设BC＝x，∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴AB＝2x．由勾股定理，得BC2+AC2＝AB2，∵，∴，解得x＝2，∴AB＝2x＝4，故答案为：4．【知识点】勾股定理；含30度角的直角三角形．【难度】★★【题型】填空题11．如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝．【答案】7【解析】由勾股定理可知OB＝，OC＝，OD＝．∴OD2＝7．【知识点】勾股定理．【难度】★★【题型】填空题12．直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，把四个相同的直角三角形拼成如图所示的正方形，则阴影部分的面积为．【答案】120．【解析】在Rt△AEF中，AE＝＝＝5，∴S△AEF＝AE•AF＝×5×12＝30，∴阴影部分的面积＝4×30＝120．故答案为：120．【知识点】勾股定理的证明．【难度】★★【题型】填空题三、解答题13．计算图中四边形ABCD的面积．【答案】36【解析】如图，在直角△ACD中，由勾股定理知，AC2＝CD2﹣AD2＝132﹣122＝52．则在直角△ABC中，由勾股定理知，AB2＝AC2﹣BC2＝52﹣42＝32．所以AB＝3．所以S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB•BC+＝+＝6+30＝36．即四边形ABCD的面积是36．【知识点】勾股定理．【难度】★★【题型】解答题14．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高AD＝12，求BC的长．【答案】14．【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，在Rt△ACD中，AC＝15，AD＝12，∴CD＝＝＝9．在Rt△ABD中，AB＝13，AD＝12，∴BD＝＝＝5，∴BC＝CD+BD＝9+5＝14．【知识点】勾股定理．【难度】★★【题型】解答题15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC+AC＝3+，求BC的长．【答案】见解析．【解析】设AC＝x，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝2x，∴BC＝＝x，由题意，得x+x＝3+，解得x＝，则BC＝x＝3．【知识点】勾股定理；含30度角的直角三角形．【难度】★★【题型】解答题C卷（拓展）选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC为边作正方形，若AB＝12，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（）A．144 B．120 C．100 D．无法计算【答案】A【解析】根据题意知，AB2＝AC2+BC2，S正方形ADEC＝AC2，S正方形BCFG＝BC2，∴S正方形ADEC+S正方形BCFG＝AB2＝122＝144．故选：A．【知识点】勾股定理．【难度】★【题型】选择题2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝6，BC＝3时，则阴影部分的面积为（）A． B． C．9π D．9【答案】D【解析】根据勾股定理可得，∴S阴影＝S半圆AC+S半圆BC+S△ABC﹣S半圆AB＝＝＝＝9．故选：D．【知识点】勾股定理．【难度】★★【题型】选择题二、填空题3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，BD⊥AD，BO=DO，AD＝12，AC＝26，则四边形ABCD的面积为．【答案】120．【解析】∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO．又∵∠AOD＝∠COB，BO=DO，∴△AOD≌△COB，∴AO＝OC＝AC＝13，BD＝2OD．∵BD⊥AD，∴OD＝＝＝5，∴BD＝10，∴S四边形ABCD＝AD·BD＝12×10＝120.故答案为：120．【知识点】勾股定理；平行线的性质．【难度】★★【题型】填空题4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动．设运动时间为t（t＞0）s．当点P运动到恰好到点A和点B的距离相等的位置时，t的值为．【答案】或19．【解析】在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，则由勾股定理，得AC＝＝＝8（cm）．当点P在AC上时，设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝tcm，PC＝（8﹣t）cm，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即（8﹣t）2+62＝t2，解得t＝，∴当t＝时，PA＝PB；当点P在AB上时，此时AC+BC+BP＝8+6+5＝19cm，∴当t＝19时，PA＝PB；故答案为：或19．【知识点】勾股定理的应用．【难度】★★★【题型】填空题三、解答题5．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如：某三角形三边长分别是2，4和，因为22+42＝20＝2×（）2，所以这个三角形是奇异三角形．（1）若△ABC三边长分别是2，2和，判断此此三角形是否奇异三角形，并说明理由；（2）若Rt△ABC是奇异三角形，直角