理论力学-5平衡理论专题与应用

第5章平衡理论专题与应用理论力学考虑摩擦时物体的平衡问题5-1物体的重心简单桁架的内力计算5-25-35-1考虑摩擦时物体的平衡问题1.摩擦的存在2.是否考虑摩擦3.研究摩擦的目的4.摩擦的简单分类摩擦滑动摩擦滚动摩擦(阻)静滑动摩擦动滑动摩擦静滚动摩擦(阻)动滚动摩擦(阻)摩擦干摩擦湿摩擦一、滑动摩擦1.概念

互相接触的物体，当其接触表面之间有相对滑动或相对滑动趋势时，彼此有阻碍相对滑动的机械作用存在，这种机械作用即滑动摩擦，机械作用力称为滑动摩擦力。

摩擦力的方向与相对滑动或相对滑动趋势方向相反。（1）静止状态（相对平衡）按平衡方程计算：Fs＝FT

2.摩擦力的计算fs：静摩擦因数Fmax：最大静摩擦力（2）临界状态2.摩擦力的计算静摩擦定律：（3）滑动状态动摩擦定律：Fd＝fFNFd

——动摩擦力，f——动摩擦因数。

f<fs（对多数材料，通常情况下）1．摩擦角

全约束反力FRA:

FN和Fs的合力。则：

当Fs达到最大值时FN与FRA的夹角j

达到最大值jf，jf称为摩擦角。二、摩擦角和自锁现象2．自锁现象

设物体所受的主动力合力为FR，平衡时，无论FR力大小如何变化，物块都保持静止，即物体是否滑动与主动力的大小无关，这种现象称为自锁。显然自锁条件为：

0≤j≤jf3．自锁条件的应用摩擦因数的测定螺纹的自锁1.概念

滚动摩阻力偶的方向与相对滚动或相对滚动趋势方向相反。三、滚动摩阻的概念2.滚动摩阻力偶的计算（1）平衡状态通过平衡方程求解。

0≤Mf≤Mmax。（2）临界状态和滚动状态滚动摩阻定律Mmax＝dFN

滚动摩阻系数d为长度量刚。讨论：为什么滚动比滑动省力?考虑摩擦时物体的平衡问题，求解方法步骤和不考虑摩擦一样，只是在受力分析时加上摩擦力。

严格区分物体处于临界、非临界状态。

摩擦力的方向：在平衡状态可以假设，当临界状态使用摩擦定律时必须按真实方向画出。因，问题的解一般在一个范围内。四、考虑摩擦时物体的平衡问题

例5-1：P＝980N，f＝0.2，Q＝588N，q＝30°。求摩擦力，物块是否平衡？QPq

解得：Fs＝-98N（向下）FN＝848.7N，Fmax＝169.7N所以物块平衡。解：假设平衡，有下滑趋势FNFsxy

例5-2：凸轮机构。已知摩擦因数为f，滑道宽度为b，求机构不致被卡住的a。解法1：解析法平衡方程摩擦定律解得解法2：几何法例5-3：一圆盘（不计自重或放在水平面内），位于板和倾角为θ的斜面之间，各处的摩擦因数都相同。求自锁时的摩擦因数。OPBCqjj

解：几何法

例5-4：A重500N，轮B重1000N，fA=0.5，fB=0.2，不计滚动摩阻，求系统平衡时重量P的最大值。A先滑动:FsA<=FNAfA

→P<=208.3B先滑动:

FsB<=FNBfB

→P<=384.6FNAFsAFTPAFNBFsBFTPBP解：分别研究A和B

例5-5：已知P、R、q、d。求（1）使系统平衡时的力偶矩MB；（2）圆柱匀速纯滚动时，静滑动摩擦系数的最小值。分析：（1）圆柱有上滚和下滚两种趋势

M

≤δFN（2）匀速纯滚动时：M

=δFN，Fs

≤fsFN

例5-6：A物块重P＝10N，与水平面间的静摩擦因数fs＝0.1。在平行于xoz平面内作用拉力Fl＝1N，在平行于yoz的平面内以力F2拉物块。夹角α＝30°。求能拉动物块的力F2的最小值。

解：研究物块，受力如图，设滑动方向（即摩擦力的反方向）与x轴夹角为θ。平衡时不滑动条件：Fs

≤fsFN联立解得：F2≤0.39N则拉动物块的力：

F2≥0.39N5-2物体的重心一、平行力系的中心即平行力系合力的作用点。平行力系的合力：设力方向的单位矢量为由合力矩定理得：xFRF1FiFnrCrir1rnCyzO则：写成投影形式：即重力合力作用点位置。

重力是特殊的平行力系，则可以利用前面的平行力系中心公式：二、重心若物体均质，则：

若物体为板状结构，则：

若物体为杆状结构，则：

上述结构重心只与物体的形状有关，称为形心。1.积分方法（即前面的理论公式）2.利用对称性3.组合法：分割法和负面积法三、确定物体重心和形心的方法4.实验法悬挂法（原理：二力平衡条件）

图中左右两部分的重量是否相等？4.实验法称重法（原理：平面一般力系）若汽车左右不对称，如何测出重心距左右轮的距离？举例：求形心。2001502020xy解：分割法BA2001502020xy解：负面积法BA例5-7：匀质细铁丝，各个弯折处均为直角。求铁丝的重心坐标。解：分割法例5-8：求图示横截面为L形的匀质物体的重心位置。解：分割法。显然yC=12例5-9：如图所示，在半径为R的大圆内挖去一个半径为r=0.25R的小圆孔。求剩余截面图形形心的x坐标。解：用负面积法。5-3简单桁架的内力计算一、概念桁架：由杆件彼此在两端用铰链连接而成，在受力后几何形状不变的结构。平面桁架：桁架所有的杆件都在同一平面内。节点：桁架中杆件的铰链连接点。实际桁架结构铰结点铆结点焊结点

理想桁架的几点假设:(1)组成桁架的杆件都是直杆；

(2)杆件用光滑的铰链连接；

(3)桁架所受的力(载荷)都作用在节点上，而且在桁架的平面内；

(4)桁架杆件的重量略去不计，或平均分配在杆件两端的节点上。

因此，理想桁架中各杆均是二力杆。

平面简单桁架（无余杆桁架、静定桁架）

由基本三角形演变而成的桁架。节点法：研究对象为节点，因此为平面汇交力系。

一般用于设计初步阶段。截面法：用假想截面将被求内力的杆截断，取分离体，所得力系一般为平面任意力系。一般用于校核。

混合法：即节点法和截面法的结合。

解题注意：①一般将杆内力设为拉力；②零力杆直接判断；③通常先研究整体求支座约束反力；④综合应用节点法和截面法求解部分杆件的内力。

桁架内力计算时可以不画受力图，默认所有杆件受拉力。二、平面简单桁架的计算例：零力杆的判断。1，2均为零力杆12132F1323为零力杆3为零力杆例5-10：求各杆内力。AaaFBCDFNBFxAFyA解：DE为零力杆。研究D：研究C：研究B：CD例5-11：求4,5,7,10杆内力。FNBFxAFyAFNBF6F5F4解：研究整体截取456杆，研究右侧研究D节点例5-12：求1,2,3杆内力。ABCDE33333441