理论力学-8刚体平面运动

基本思想:将运动分解为随刚体上一点的平动和转动的叠加。平面运动简化与分解8.1速度分析8.2加速度分析8.3运动学综合应用8.4第8章刚体的平面运动理论力学刚体平面运动：运动过程中，刚体上任意一点与某固定平面的距离始终保持不变。或：刚体上任一点的运动轨迹均为平面曲线。引言曲柄连杆（曲柄滑块）机构行星齿轮的运动

刚体做平行于平面I的运动;

作平面II//I,截刚体于S,则S//I;

作任意A1A2⊥I,交S于A,则A1A2平动,A的运动代表A1A2的运动;

因此平面图形S的运动代表刚体的运动。IIISAA2A1一、平面运动的简化

结论：刚体的平面运动可简化为与运动平面平行的图形在其自身平面内的运动。8-1平面运动的简化与分解

用平面图形S代表刚体。确定S位置的数学方程即运动方程，可表示为：二、平面运动方程以黑板擦的运动为例。yxI(t)MO'M'O1'II(t+Dt)M1三、平面运动的分解

即把平面运动分解为随O'的平动和绕O'的转动。O'称为基点。

结论:刚体平面运动可分解为随基点的平动和绕基点的转动。举例:梯子在铅垂墙面和地面之间的运动分析。

平动部分与基点的选择有关，转动部分与基点的选择无关。

例8-1：半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮滚动。若曲柄以等角加速度a绕O轴转动，当运动开始时，角速度w0＝0，转角j＝0，求齿轮以中心A为基点的平面运动方程。A0解:一、基点法

利用上章点合成运动的概念，以M为动点，与基点O’相连的平动系为动系。则有：

一般以A为基点研究B，则有：vBA＝vAB＝

wAB8-2速度分析即：任意两点的速度在其连线上的投影相等。

基点法求速度在AB两点的连线上投影得到:二、速度投影法

平面图形上某瞬时速度为0的点。常用字母C表示瞬心位置。因此有:1.速度瞬心的定义以瞬心C为基点,研究M,则:三、速度瞬心法2.瞬心法求速度

由此可知：任一点M的速度可看作绕瞬心的瞬时转动，即：3.速度瞬心位置的确定CvAvBCABvAvBvACABvBvACABvBvAABvA＝vB瞬时平动vBvAAB(1)瞬心的位置不断变化；(2)平面运动可视为刚体绕瞬心的瞬时转动;(3)刚体绕瞬心的瞬时转动与定轴转动的异同:“速度”量(v,w)相同,“加速度”量(a,a)不同。(4)瞬时平动与平动的异同:“速度”量(v,w)相同,“加速度”量(a,a)不同。注意：例8-2：运动可能性的判定。vBCABvAvBvACABvBvAABvBvAABvBvABCvCA例8-3：已知v0、l，求vA，wAB（用f表示）BlAfv0vBvAvAB解法1：基点法。以B为基点研究A（逆时针）例8-3：已知v0、l，求vA，wAB（用f表示）BlAfv0CvA解法2：瞬心法。确定速度瞬心C（逆时针）例8-4：OA＝r，AB＝l，w已知，求vC，vD。AOBCDRw解：AB瞬时平动，P圆盘的瞬心。P例8-5：OA＝r，w已知，求wAB。OABDwC解法1：瞬心法。AB的瞬心在C。解法2：基点法。以A为基点研究AB上的D（逆时针）例8-5：OA＝r，w已知，求wAB。OABDw解法3：的的合成运动方法。以A为动点，套筒为动系（逆时针）

例8-6：杆O1A绕O1轴转动,并借连杆AB带动曲柄OB;曲柄OB活动地装置在O轴上,在O轴上装有齿轮Ⅰ,齿轮Ⅱ与连杆AB固连于一体。已知：O1A，AB,wO1，r1＝r2。求当g＝60°且b＝90°时，曲柄OB和齿轮Ⅰ的角速度。

vBvAvAvBAvBvDvDB解法1：基点法。以A为基点研究BvBvAvAvBAvBvDvDB以B为基点研究齿轮啮合点C解法2：瞬心法。做出AB为瞬心P齿轮啮合点C的速度及轮I的角速度为

和速度分析方法一样，以A为基点研究B，则：8-3加速度分析例8-7：分析纯滚动圆盘速度瞬心的加速度。CaOvOOR

解：以O为基点研究CCOAOBwq例8-8：OA＝r，w、q已知，求aAB解：以A为基点研究B在y方向投影（逆时针转向）

例8-9：已知绳索绕在内径为r的圆柱上，绳索以v和a沿水平方向运动。求纯滚动轮的轴心O的速度和加速度。

解：C为瞬心在x方向投影以A为基点研究O

例8-10：w＝2rad/s，轮子在半径为R的圆弧槽中纯滚动。OA＝AB＝R＝2r＝1m,求图示瞬时B和C的速度与加速度。解：AB瞬时平动以A为基点研究B在x方向投影而以B为基点研究C在x方向投影在y方向投影作题时，首先判断应当使用哪一章的理论分析求解，列出相关的方程，方程数目不够时再设法利用其他章节的理论补充方程。一般情况下，两个物体之间有相对运动时用“点的合成运动”选动点动系的方法；分析一个物体上不同点的运动关系时用“刚体平面运动”选基点的方法。8-4运动学综合应用

例8-11：轮O纯滚动，匀速v0＝0.2m/s。轮缘上固连的销钉B在摇杆OlA的槽内滑动，并带动摇杆绕Ol轴转动。已知：轮半径R＝0.5m，在图示位置时，OlA是轮的切线。求摇杆的角速度和角加速度。vavevr解：以B为动点，OlA为动系C为轮的瞬心ar在⊥ar方向投影以O为基点研究B因则所以以B为动点，OlA为动系（顺时针）解：（1）速度分析。杆BE作平面运动，瞬心在O点，则（逆时针转向）

例8-12：滑块B沿杆OA滑动。杆BE与BD分别与滑块B铰接，BD杆可沿水平轨道运动。滑块E以匀速v沿铅直导轨向上运动，杆BE长为。图示瞬时杆OA铅直，且与杆BE夹角为45°。求该瞬时杆OA的角速度与角加速度。以B为动点，

OA为动系在⊥ar方向投影（2）加速度分析。以E为基点研究B则以B为动点，

OA为动系（顺时针）则解法1：用点运动的解析法。建立坐标系如图，写出A点的运动方程为（逆时针转向）

例8-13：杆AB的A端沿水平线以匀速vA运动，杆AB始终与一固定的半圆周相切，半圆周的半径为R。求当杆与水平线夹角θ=30°时，杆AB的角速度和角加速度。即则杆AB的角速度为两边对时间求导得则（逆时针转向）求导得角加速度为（顺时针转向）解法2：用基点法。以A为基点研究C求导得角加速度为（顺时针转向）本题直接用基点法无法求出角加速度。（逆时针转向）解法3：用基点法与点的合成运动混合方法。以A为基点研究AB上的O以O为动点，

AB为动系。速度分