湖南省娄底市部分普通高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题 含解析

2025年上学期娄底市部分普通高中期末考试高一数学命题人：梁克鸿审题人：刘兵一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为集合，，故.故选：A.2.已知，，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法化简复数，结合复数的几何意义可得结论.【详解】因为，，则复数，故复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.故选：A.3.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（）A.8 B.7 C.5 D.4【答案】D【解析】【分析】设圆台上、下底面半径分别为，且，利用圆台的侧面积公式，即可求解.【详解】设圆台上、下底面半径分别为，且，由题知，又圆台的母线长为7，侧面积为，则，解得，故答案为：D.4.已知函数，则（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】将代入，求得函数值.【详解】.故选：C.5.在中，角、、的对边分别为、、.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值.【详解】因为，由正弦定理可得，因为、，故，所以，可得，故.故选：B.6.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】确定与0和1的大小，即可；【详解】因为，，，所以.故选：C.7.有一组数据按从小到大排序如下：、、、、，则这组数据的分位数，分位数分别是（）A.、 B.、 C.、 D.、【答案】C【解析】【分析】利用百分位数的定义可求得结果.【详解】因为，，所以，这组数据的分位数、分位数分别是、，故选：C.8.在平行四边形中，是线段的中点，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】用表示，根据计算求解即可．【详解】因为，是线段的中点，所以.故选：D.二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用作差法可判断AD选项，利用基本不等式可判断BC选项.【详解】对于A选项，对任意的、，，即，当且仅当时，等号成立，A对；对于B选项，当，时，由A选项可知，则，故，当且仅当时，等号成立，故，B对；对于C选项，当时，，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，C错；对于D选项，因为，，则，故，D对.故选：ABD.10.PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM2.5日均值在以下，空气质量为一级：PM2.5日均值在，空气质量为二级：PM2.5日均值超过为超标.如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（）A.这10天的日均值的80%分位数为60B.前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差C.这10天的日均值的中位数为41D.前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差【答案】BD【解析】【分析】根据百分位数、极差、中位数、方差等知识确定正确答案.【详解】个数据为：，，故80%分位数为，A选项错误.5天的日均值的极差为，后5天的日均值的极差为，B选项正确.中位数是，C选项错误.根据折线图可知，前天数据波动性小于后天数据波动性，所以D选项正确.故选：BD11.将一枚质地均匀骰子先后抛掷2次，记事件“第一次向上的点数为”，“第二次向上的点数为”，“两次向上的点数之和为7”，则（）A. B.C.与是互斥事件 D.与相互独立【答案】ACD【解析】【分析】由古典概型计算，，判断A,B;运用互斥事件概念判断C；利用独立事件的定义，结合古典概型判断D.【详解】抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种：，，，，，，表示第一次向上出现点，第二次向上任一点,，则A正确.表示第二次向上出现3点且两次向上点数之和不是7，则第一次向上出现不是4,则等价于说第一次出现，第二次向上是3点.满足题意的有，共5种，则概率为.故B错误．表示点数组合，表示出现，不能同时发生，故与是互斥事件，故C正确．由A知道，,表示两次点数之和是7，则包含结果数为，共6种,则概率．表示第一次出现点，且两次和为7．满足题意的有.则.故.则与相互独立.故D正确．故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若，则的值为_______.【答案】【解析】【分析】利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可.【详解】因为向量，，且，故，解得.故答案为：.13.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为_______.【答案】【解析】【分析】求出基本事件的个数和事件“”包含的基本事件的个数，再由古典概率公式，即可求解.【详解】连续抛掷骰子次，基本事件的个数为，由知，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；则事件“”包含的基本事件的个数为，所以事件“”概率为，故答案为：.14.在四面体中，两两互相垂直，且是的中点，异面直线与所成的角的余弦值为，则四面体的体积为_________．【答案】##【解析】【分析】根据给定条件，利用几何法求出BD长，再利用锥体的体积公式计算作答.【详解】取的中点，连接，如图，因为是的中点，则，于是是异面直线与所成的角或其补角，令，而两两互相垂直，则，，在等腰中，，，解得，显然平面，所以四面体的体积为.故答案：【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，求的值；并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）；（2）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在、的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率．【答案】（1），平均数；（2）.【解析】【分析】（1）根据直方图中频率和为1求出值；利用频率分布直方图求平均数的求法求解.（2）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解.【小问1详解】由频率分布直方图，得，则；平均数为.【小问2详解】评分在的频率分别为，则在中抽取人，记为；在中抽取4人，记为，从这6人中随机抽取2人，样本空间：，共有15个结果，设选取的2人评分分别在和内各1人为事件，则，共有8个结果，所以.16.在中，角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若为锐角三角形，且边，求面积的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简得到，从而得到；（2）方法一：由为锐角三角形，得到的范围，三角形面积公式表示出的面积，整理成关于的函数，根据的范围得到面积的范围；方法二：根据直角三角形的临界条件，得到为锐角三角形时，面积的取值范围.【小问1详解】由正弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以，，因为，所以；【小问2详解】方法一：因为是锐角三角形，又，所以，解得，，因为，∴，则，从而.方法二：若为锐角三角形，所以，因为，，所以，所以，又因为，所以.17.如图，正方体的棱长为1，（1）求证：平面；（2）求：与平面所成的角大小；（3）求钝二面角的大小.【答案】（1）证明过程见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由得到平面（2）连接，，证明与平面垂直，得到与平面所成的角为的余角，通过为等边三角形得出的大小，再得到所求角.（3）连接，证明平面，求出与所成角，进而得到钝二面角的大小【小问1详解】正方体中，，又平面，且平面平面【小问2详解】连接，，正方体中，平面，且平面，，又，且，，又，且平面，平面平面与平面所成的角为的余角又为等边三角形，与平面所成的角为【小问3详解】连接，平面，又，且，,，且平面，平面，平面又由（2）知平面，且与所成角为，∴钝二面角大小为18.已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数在上的最值；（3）若，求的值.【答案】（1），单调减区间为；（2），；（3）【解析】【分析】（1）化简函数为，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）由(1)得出函数的单调递增区间，结合，和的值，即可求解；（3）根据题意，求得，结合，即可求解.【小问1详解】由函数，所以的最小正周期为，令，可得，所以的单调减区间为.【小问2详解】由(1)知，函数的单调递增区间为，因为，所以在上单调递增，在上单调递减，且，，，所以，.【小问3详解】由函数，可得，因为，所以.19.如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点.（1）求证：平面MAC；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根据线线平行证明线面平行；（2）根据二面角的定义找出二面角的平面角，解三角形得解；（3）假设存在，利用面面垂直的判定定理证明即可.【小问1详解】设，交于点，连接，则为中点.在中，，分别为，中点，所以.因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】过点作，垂足为，过点作，垂足为，连