指数与分数指数幂教学设计

指数及指数幂的运算（第一课时教学设计）初中的学习中，学生已经掌握了整数指数幂的概念及其运算性质.本节内容在组织学生回顾平方根、立方根的基础上，类比出一个正数的n次方根定义，进而将指数推广到分数指数，从而完成了指数由整数指数到有理数指数的一次推广，在利用多媒体演示对无理数与无理数指数幂的近似推广，完成了指数由有理数指数到实数指数的二次推广，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂，使学生对指数幂的概念以及运算性质有了一个比较完整的认识，同时也为研究指数函数作好了知识上的准备.根式的概念是教学中的难点，教材中通过复习平方根、立方根的定义，然后类比出n次方根的定义.为了更好地分解这一难点，教学中应放慢速度，多举几个具体的例子，帮助学生理解，并在此基础上类比出n次方根的一般定义与性质.方根的性质实际上是平方根、立方根性质的推广，教学时，可以以平方根、立方根、四次方根为基础来加以说明，加深对这一性质的理解.分数指数是指数概念的又一次推广，分数指数概念是教学中的又一个难点.教学中应多举实例让学生理解分数指数幂的意义，明确分数指数幂表示的是根式的一种新的写法，并通过根式和分数指数幂的互化来巩固、加深对这一概念的理解.由于学过负整数次幂，正分数次幂引入后，学生不难理解负分数次幂的意义，因此，教学中可以放手让学生自己得出.在掌握了有理数指数幂的基础上，利用多媒体演示对无理数与无理数指数幂的近似推广，从而直观形象地给出了有理数指数幂的运算性质也可以推广到无理数.有了把指数范围扩充到实数范围内的知识上的准备，又有前面所学的对函数概念和性质的系统学习，顺理成章地引出了指数函数概念、怎样作出指数函数图象、怎样研究指数函数的性质以及与其他函数结合的研究.指数是学习指数函数的预备知识，初中学生已经学习了整数指数幂的概念及运算性质.为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到有理数指数幂、实数指数幂；为了完成这个扩充，必须先学习分数指数幂的概念和运算性质，以及无理数指数幂的概念；为了学习分数指数幂的概念.首先要介绍根式的概念，本课主要学习根式的概念以及n次方根的性质及其分数指数幂的运算。教学目标一、知识与技能了解根式的概念，掌握n次方根的性质.了解分数指数幂的概念.，掌握有理指数幂的运算性质.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，使学生逐步学会共同学习.2.引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性。3.通过探究、思考，培养学生思维迁移能力和主动参与的能力.三、情感态度与价值观1.通过学习根式的概念，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.2.在教学过程中，通过学生的自主探索，来加深理解n次方根的性质有理指数幂的运算。教学重点：1.根式和分数指数幂的概念.2.根式运算和分数指数幂的运算性质.教学难点对根式及分数指数幂概念的理解.教具准备投影仪、学案.教学过程一、创设情景，引入新课当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡年数之间的关系．二、讲解新课1．根式：⑴计算①=9，则3是9的平方根②=－125，则－5是－125的立方根③若=1296，则6是1296的4次方根⑵定义：一般地，若则x叫做a的n次方根叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数例如，27的3次方根表示为，-32的5次方根表示为，的3次方根表示为；16的4次方根表示为，即16的4次方根有两个，一个是，另一个是-，它们绝对值相等而符号相反.⑶性质：①当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数记作：②当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）记作：③负数没有偶次方根，④0的任何次方根为0注：当a0时，0，表示算术根，所以类似=2的写法是错误的.（2）根式的性质①当n为任意正整数时，()=a.②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.3.分数指数幂：(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)(a＞0，m,n∈N*,且n＞1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.讲解例题：题型一根式的概念和性质例1求值①②③；④例2求使等式eq\r(a－3a2－9)＝(3－a)eq\r(a＋3)成立的实数a的取值范围．思考题求x，y∈R，下列等式恒成立的是()A．(eq\r(6,x)－eq\r(6,y))6＝x－yB.eq\r(8,x2＋y28)＝x2＋y2C.eq\r(4,x4)－eq\r(4,y4)＝x－yD.eq\r(10,x＋y10)＝x＋y例3计算eq\r(5－2\r(6))＋eq\r(5＋2\r(6)).题型二分数指数幂的概念和性质例4求值．(1)10－3；(2)(－0.25)－1；(3)16eq\s\up15(－eq\f(3,2)).思考题求值．(1)(eq\f(1,2))－5；(2)4eq\s\up15(eq\f(3,2))；(3)0.008.例5用分数指数幂形式表示下列各式(式中a>0)．(1)a2·eq\r(a)；(2)a3·eq\r(3,a2)；(3)eq\r(a\r(a))；思考题用分数指数幂表示并化简eq\r(\f(y2,x)\r(\f(x3,y)\r(3,\f(y6,x3)))).三、小结本节课学习了以下内容：1．根式的概念；2．根式的运算性质：