2025年新高二数学人教A版中等生专题复习《指数函数与对数函数》

第41页（共41页）2025年新高二数学人教A版（2019）中等生专题复习《指数函数与对数函数》一．选择题（共8小题）1．（2024秋•陆良县期末）已知a＝log0.20.3，b＝log0.20.4，c＝1.10.2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞b＞c2．（2025•湖北模拟）德国心理学家赫尔曼•艾宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中的记忆率y随时间t（小时）的变化趋势可由函数y＝1﹣0.6t0.27近似描述，则记忆率由50%变为40%时需要经历的时间约为（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）（）A．1小时 B．0.5小时 C．0.8小时 D．0.4小时3．（2025春•贵阳校级期中）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt．若常数k＝A．40分钟 B．41分钟 C．42分钟 D．43分钟4．（2025春•安徽校级月考）已知函数f（x）＝2x，若关于x的不等式f（ax2+bx+c）＞1的解集为（﹣2，4），则关于x的不等式cx2+bx+a＜0的解集是（）A．(-14，1C．(-12，5．（2025•湖南模拟）已知集合A＝{x|﹣1≤lnx≤2}，B＝{2，5，9}，则A∩B＝（）A．{2} B．{2，5} C．{5，9} D．{2，5，9}6．（2025春•仁寿县校级期中）已知a＞1，则函数y＝ax与函数y＝loga（﹣x）的图像在同一坐标系中可以是（）A． B． C． D．7．（2025•哈尔滨校级模拟）设函数f（x）＝x2﹣2x+a，g（x）＝2x﹣2a，若当x∈（﹣1，1）时，曲线y＝f（x）与y＝g（x）恰有一个交点，则a的取值范围是（）A．（﹣1，0） B．（-56，1） C．（1，2） D．（2，8．（2025•安溪县校级模拟）已知函数y=log12(xA．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．（﹣4，2] D．[﹣1，2]二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•南京校级期中）某药物在人体内的血药浓度与时间有关，血药浓度C（单位：mg/L）与时间t（小时）的变化规律可近似表述为：C(t)=C0e-kt，其中C0为初始血药浓度，A．k＝ln2 B．每小时血药浓度降低的数值相等 C．服药后6小时，血药浓度降至初始值的164D．服药后，人体内的血药浓度随着时间的增加而降低（多选）10．（2025春•越秀区期中）已知函数f(A．f（x）的极小值为0 B．f（x）过（0，0）点的切线方程为y=C．f(xD．g（x）＝f（x）﹣ax，当0＜x1＜x2时，x22g（x1）＜x12g（x2（多选）11．（2025•金坛区校级二模）设函数f(A．存在实数x0使得f（x0）＝f'（x0） B．方程f（x）＝3有唯一正实数解 C．方程f（x）＝﹣1有唯一负实数解 D．f（x）＝1有负实数解（多选）12．（2025春•福州期中）函数f（x）＝x3+3ax+2存在3个零点，则实数a的取值可以是（）A．﹣2 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣5三．填空题（共4小题）13．（2025春•通州区期中）若函数f（x）＝x3﹣3ax+b恰有两个零点，则满足条件的一组（a，b）的值可以是．14．（2025•安溪县校级模拟）已知2a+b＝1（a＞0，b＞0），则log2a+log2b的最大值为．15．（2025•新建区校级模拟）某集团军举行登岛演习，演习要求该集团军的导弹旅捣毁岛上的M目标，导弹旅的每辆登陆艇每次发射一枚导弹，由于受到天气以及“敌方”反导弹的拦截，命中率是80%，至少要有一枚导弹击中M目标，才能说明M目标被捣毁，因此采用多辆登陆艇同时发射导弹的方法去捣毁M目标．至少需要辆登陆艇同时发射导弹，才能有不小于99.5%的把握保证M目标被捣毁．（参考数据：lg2≈0.3010）16．（2025春•山西期中）若f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且3f（x）+g（x）＝x2+12x+3，则函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的零点个数为．四．解答题（共4小题）17．（2025春•宝山区校级期中）已知函数f（x）＝loga（x﹣1），（a＞1）．（1）无论常数a为何值，f（x）均过一定点，写出此定点坐标；（2）关于x的不等式f（x）＞1的解集为A，且A⊂（4，+∞），求实数a的取值范围．18．（2025•湖北三模）环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速80km/h（不含80km/h）经多次测试得到，该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的下列数据：v0204060M0300056009000为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：M(（1）当0≤v＜80时，请选出符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）现有一辆同型号汽车从A地驶到B地，前一段是200km的国道，后一段是100km的高速路．若已知高速路上该汽车每小时耗电量N单位：Wh与速度的关系是：N（v）＝2v2﹣10v+200（80≤v≤120），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？（假设在两段路上分别匀速行驶）19．（2024秋•合肥期末）已知集合A={x|13≤3x-4≤9}，集合B（1）求A∪B；（2）已知C＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}，若x∈C是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．20．（2025春•綦江区校级月考）某口罩生产企业，在疫情期间每月生产x万件N95口罩的利润函数为p(（1）当0＜x＜6时，求企业平均每万件月利润的最大值．（2）当月产量为多少万件时，企业的月利润最大？请为企业生产经营提一些合理建议．

2025年新高二数学人教A版（2019）中等生专题复习《指数函数与对数函数》参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案ABCCBABC二．多选题（共4小题）题号9101112答案ACDACDABCACD一．选择题（共8小题）1．（2024秋•陆良县期末）已知a＝log0.20.3，b＝log0.20.4，c＝1.10.2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞b＞c【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】A【分析】借助于中间变量1比较大小即可．【解答】解：a＝log0.20.3，b＝log0.20.4，c＝1.10.2，因为b＝log0.20.4＜log0.20.3＝a＜log0.20.2＝1，c＝1.10.2＞1，所以c＞a＞b．故选：A．【点评】本题主要考查对数函数单调性的应用，考查计算能力，属于基础题．2．（2025•湖北模拟）德国心理学家赫尔曼•艾宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中的记忆率y随时间t（小时）的变化趋势可由函数y＝1﹣0.6t0.27近似描述，则记忆率由50%变为40%时需要经历的时间约为（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）（）A．1小时 B．0.5小时 C．0.8小时 D．0.4小时【考点】对数运算求值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】B【分析】分别求出记忆率变为50%和记忆率变为40%经历的时间，相减即可．【解答】解：设经历时间t1记忆率变为50%，则12整理得到56两边取以10为底的对数，得到lg5所以lgt1=lg560.27=lg5-lg所以t1≈0.5，设经历时间t2记忆率变为40%，则0.4=1-整理得到1=t解得t2＝1，所以记忆率由50%变为40%时需要经历的时间约为t2﹣t1＝0.5小时．故选：B．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．3．（2025春•贵阳校级期中）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt．若常数k＝A．40分钟 B．41分钟 C．42分钟 D．43分钟【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据题意，列出方程，结合对数的运算，代入计算，即可得到结果．【解答】解：由题意可知，40＝30+（110﹣30）e﹣0.05t，解得t=即至少大约需要的时间为42分钟．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于基础题．4．（2025春•安徽校级月考）已知函数f（x）＝2x，若关于x的不等式f（ax2+bx+c）＞1的解集为（﹣2，4），则关于x的不等式cx2+bx+a＜0的解集是（）A．(-14，1C．(-12，【考点】指、对数不等式的解法；解一元二次不等式．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】C【分析】先由函数的单调性变形抽象函数不等式，再由一元二次不等式解的性质将不等式变形为无参数不等式，然后求解即可．【解答】因为f（x）在R上单调递增，f（0）＝1，所以由f（ax2+bx+c）＞1，得ax2+bx+c＞0，因为ax2+bx+c＞0的解集为（﹣2，4），所以a＜0，-ba=2即b＝﹣2a，c＝﹣8a，a＜0，所以cx2+bx+a＜0，即为﹣8ax2﹣2ax+a＜0，即8x2+2x﹣1＜0，解得-1故所求解集是(-故选：C．【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题．5．（2025•湖南模拟）已知集合A＝{x|﹣1≤lnx≤2}，B＝{2，5，9}，则A∩B＝（）A．{2} B．{2，5} C．{5，9} D．{2，5，9}【考点】指、对数不等式的解法；求集合的交集．【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】B【分析】解对数不等式，利用集合的交集运算即可得出结果．【解答】解：由不等式﹣1≤lnx≤2可得：ln1所以1e≤x又因为B＝{2，5，9}，所以A∩B＝{2，5}．故选：B．【点评】本题主要考查了对数不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．6．（2025春•仁寿县校级期中）已知a＞1，则函数y＝ax与函数y＝loga（﹣x）的图像在同一坐标系中可以是（）A． B． C． D．【考点】对数函数的图象；函数的图象与图象的变换．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】A【分析】分别分析y＝ax与y＝loga（﹣x）的单调性及恒过的定点即可判断．【解答】解：因为a＞1，所以y＝ax在R上单调递增，排除C；又y＝loga（﹣x）定义域为（﹣∞，0），所以由复合函数单调性可知，y＝loga（﹣x）在（﹣∞，0）上单调递减，且恒过（﹣1，0），排除B、D．故选：A．【点评】本题考查函数的图象与图象的变换，考查识图能力，属于中档题．7．（2025•哈尔滨校级模拟）设函数f（x）＝x2﹣2x+a，g（x）＝2x﹣2a，若当x∈（﹣1，1）时，曲线y＝f（x）与y＝g（x）恰有一个交点，则a的取值范围是（）A．（﹣1，0） B．（-56，1） C．（1，2） D．（2，【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】B【分析】利用二次函数与指数函数的单调性，数形结合计算即可．【解答】解：由题意可知y＝f（x）＝x2﹣2x+a在x∈（﹣1，1）上单调递减，而y＝g（x）＝2x﹣2a是R上的单调递增函数，要满足题意需f(-1)解之得1＞故选：B．【点评】本题考查函数综合应用，属于中档题．8．（2025•安溪县校级模拟）已知函数y=log12(xA．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．（﹣4，2] D．[﹣1，2]【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据对数复合函数的对称性进行求解即可．【解答】解：令f（x）＝x2﹣2ax+5a，对称轴为x＝a，因为函数y=所以要想函数y=log12只需函数f（x）＝x2﹣2ax+5a在[2，+∞）上为增函数，且f（x）＞0在[2，+∞）上恒成立，所以a≤2，且f（2）＝4+a＞0，解得﹣4＜a≤2．故选：C．【点评】本题主要考查了复合函数单调性的应用，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•南京校级期中）某药物在人体内的血药浓度与时间有关，血药浓度C（单位：mg/L）与时间t（小时）的变化规律可近似表述为：C(t)=C0e-kt，其中C0为初始血药浓度，A．k＝ln2 B．每小时血药浓度降低的数值相等 C．服药后6小时，血药浓度降至初始值的164D．服药后，人体内的血药浓度随着时间的增加而降低【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】ACD【分析】由题意，将点(2，C04)代入函数表达式加以验证，可判断出A项的正误；当Δt＝1时，根据函数表达式化简ΔC，进而判断出B项的正误；通过计算C(6)C0的值判断出C项的正误；由【解答】解：将点(2，C04)代入函数表达式，可得C0e-因为C(所以当Δt＝1时，ΔC＝C（t+Δt）﹣C（t）＝C（t+1）﹣C（t）＝C0•2﹣t﹣1﹣C0•2﹣t＝﹣C0•2﹣t﹣1，不是定值，故B项错误；根据C（6）＝C0•2﹣6，可得C(6)C0由图象可知C（t）在（0，+∞）上为单调递减函数，可知服药后人体内的血药浓度随着时间的增加而降低，故D项正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查指数与对数的运算法则、指数函数的图象与性质、函数的单调性及其应用等知识，属于中档题．（多选）10．（2025春•越秀区期中）已知函数f(A．f（x）的极小值为0 B．f（x）过（0，0）点的切线方程为y=C．f(xD．g（x）＝f（x）﹣ax，当0＜x1＜x2时，x22g（x1）＜x12g（x2【考点】函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值．【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．【答案】ACD【分析】求导后可得f（x）单调性，结合极值定义判断A；求出函数过（0，0）点的切线方程，可判断B；作出f（x）图象，根据f（x）与y=3e将D中问题转化为h(x)=g(x)x2在（0，+∞）上单调递增，由h'【解答】解：由题意知f（x）定义域为R，且f'所以当x∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）时，f′（x）＜0；当x∈（0，2）时，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），（2，+∞）；单调递增区间为（0，2）；对于A，f（x）的极小值为f（0）＝0，故A正确；对于B，设过点（0，0）的直线与函数y＝f（x）相切于点（x0，x0因为f'（x）=2所以切线的斜率k＝f'（x0）=2所以切线方程为y-x02ex0代入（0，0），得-x02e解得：x0＝1或x0＝0，当x0＝0时，切线方程为：y＝0；当x0＝1时，切线方程为：y=2ex所以过过（0，0）点的切线方程为y＝0或y=2ex-1对于C，f（x）的极大值为f(2)=4e2，且当x趋于+∞时，f（由此可得f（x）图象如下图所示：由图象可知：f（x）与y=即f(x)=对于D，由当0＜x1＜x2时，x22可得g(令h(则h（x）在（0，+∞）上单调递增，所以h'(x)=-1ex+所以a≥x2ex=f因为f（x）在（0，+∞）上的最大值为f(2)=所以a≥4e故选：ACD．【点评】本题考查了转化思想、导数的几何意义及综合运用，考查了数形结合思想，属于中档题．（多选）11．（2025•金坛区校级二模）设函数f(A．存在实数x0使得f（x0）＝f'（x0） B．方程f（x）＝3有唯一正实数解 C．方程f（x）＝﹣1有唯一负实数解 D．f（x）＝1有负实数解【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；运算求解．【答案】ABC【分析】对于A，取x＝2时，得f（x）＝f'（x）＝0，即可判断；利用导数确定函数的单调性并求出极值，作出图象，结合图象逐一判断BCD．【解答】解：由题意可知，函数f(f'（x）=32x2﹣4x+2=12（3x﹣2）（对于A，当x＝2时，f（x）＝f'（x）＝0，故正确；令12x3﹣2x2+2x=32x2﹣4因为f'（x）=12（3x﹣2）（x﹣所以当x∈（﹣∞，23）∪（2，+∞）时，f'（x）＞0当x∈（23，2）时，f'（x）＜0所以函数y＝f（x）的单调递增区间为（﹣∞，23），（2，+∞），单调递减区间为（23，如图所示：所以f（x）极大值＝f（23）=1627，f（x）极小值＝f（2所以方程f（x）＝3有唯一正实数解，故B正确；方程f（x）＝﹣1有唯一负实数解，故C正确；f（x）＝1有唯一正数解，故D错误．故选：ABC．【点评】本题考查了导数的综合运用，数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．（多选）12．（2025春•福州期中）函数f（x）＝x3+3ax+2存在3个零点，则实数a的取值可以是（）A．﹣2 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣5【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；运算求解．【答案】ACD【分析】利用导数求出函数的极值，根据极大值大于0，极小值小于0，求解即可．【解答】解：因为f（x）＝x3+3ax+2，x∈R，所以f'（x）＝3x2+3a，当a≥0时，f'（x）≥0，函数在R上单调递增，不满足题意；当a＜0时，令f'（x）＝3x2+3a＝0，解得x1=--a，x所以当x∈（﹣∞，--a）∪（-a，+∞）时，f'（x）＞0，f当x∈（--a，-a）时，f'（x）＜0，f所以f（x）极大值＝f（--a）＝﹣2a-a+2，f（x）极小值＝f（-a）＝要使函数有3个零点，则-2解得：a＜﹣1．故选：ACD．【点评】本题考查了函数的零点、转化思想及导数的综合运用，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2025春•通州区期中）若函数f（x）＝x3﹣3ax+b恰有两个零点，则满足条件的一组（a，b）的值可以是（1，2）（答案不唯一）．【考点】由函数零点所在区间求解函数或参数．【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（1，2）（答案不唯一）．【分析】由题意可得函数的极小值小于等零，极大值大于等于零，利用导数求解即可．【解答】解：因为f（x）＝x3﹣3ax+b，所以f'（x）＝3x2﹣3a，当a≤0时，f'（x）≥0，此时函数在R上单调递增，至多一个零点，不满足题意；当a＞0时，令f'（x）＝0，则x＝±a，所以当x∈（﹣∞，-a）∪（a，+∞）时，f'（x）＞0，f（x当x∈（-a，a）时，f'（x）＜0，f（x所以f（x）极小值＝f（a）＝﹣2aa+b，f（x）极大值＝f（-a）＝2aa又因为函数有两个零点，所以b-2a取a＝1，b＝0，满足上式，所以（a，b）的值可以是（1，2）．故答案为：（1，2）（答案不唯一）．【点评】本题考查了转化思想及导数的综合运用，属于中档题．14．（2025•安溪县校级模拟）已知2a+b＝1（a＞0，b＞0），则log2a+log2b的最大值为﹣3．【考点】对数运算求值；运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；不等式；运算求解．【答案】﹣3．【分析】由已知结合基本不等式及对数的运算性质即可求解．【解答】解：2a+b＝1（a＞0，b＞0），所以ab=12×2ab≤12×（2a+b2）2=18则log2a+log2b＝log2ab≤log218=-故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，还考查了对数运算性质的应用，属于基础题．15．（2025•新建区校级模拟）某集团军举行登岛演习，演习要求该集团军的导弹旅捣毁岛上的M目标，导弹旅的每辆登陆艇每次发射一枚导弹，由于受到天气以及“敌方”反导弹的拦截，命中率是80%，至少要有一枚导弹击中M目标，才能说明M目标被捣毁，因此采用多辆登陆艇同时发射导弹的方法去捣毁M目标．至少需要4辆登陆艇同时发射导弹，才能有不小于99.5%的把握保证M目标被捣毁．（参考数据：lg2≈0.3010）【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；数学建模．【答案】4．【分析】根据对立事件的概率之间的关系列式，再利用对数的运算性质求解．【解答】解：设至少需要n辆登陆艇同时发射导弹，才能有不小于99.5%的把握保证M目标被捣毁．则1﹣0.2n≥0.995，即0.2n≤0.005，两边取对数，得nlg15≤lg解得n≥lg5-3-lg5=3lg所以至少需要4辆登陆艇同时发射导弹．故答案为：4．【点评】本题考查了指数与对数函数模型的应用问题，是基础题．16．（2025春•山西期中）若f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且3f（x）+g（x）＝x2+12x+3，则函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的零点个数为2．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的奇偶性．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】2．【分析】代入﹣x得出3f（﹣x）+g（﹣x）＝x2﹣12x+3．然后根据f（x），g（x）的奇偶性及其性质化简得出﹣3f（x）+g（x）＝x2﹣12x+3．与已知3f（x）+g（x）＝x2+12x+3联立得出f（x），g（x）的表达式，即可得出h（x）＝f（x）﹣g（x）的表达式，求解即可得出答案．【解答】解：因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且3f（x）+g（x）＝x2+12x+3①，所以3f（﹣x）+g（﹣x）＝x2﹣12x+3，即﹣3f（x）+g（x）＝x2﹣12x+3②，由①+②可得，g（x）＝x2+3，由①﹣②可得，f（x）＝4x，所以h（x）＝f（x）﹣g（x）＝4x﹣x2﹣3＝﹣（x2﹣4x+3），解h（x）＝﹣（x2﹣4x+3）＝0，可得x＝1或x＝3，所以函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的零点个数为2．故答案为：2．【点评】本题考查了奇函数、偶函数的性质，考查了一元二次方程的解法，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2025春•宝山区校级期中）已知函数f（x）＝loga（x﹣1），（a＞1）．（1）无论常数a为何值，f（x）均过一定点，写出此定点坐标；（2）关于x的不等式f（x）＞1的解集为A，且A⊂（4，+∞），求实数a的取值范围．【考点】指、对数不等式的解法．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）（2，0）；（2）{a|a≥3}．【分析】（1）结合对数函数的性质即可求解；（2）结合对数函数单调性求出集合A，然后结合集合包含关系即可求解．【解答】解：（1）令x﹣1＝1，解得x＝2，f（2）＝loga1＝0，因此定点坐标为（2，0）（2）由f（x）＝loga（x﹣1）＞1，a＞1，可得x﹣1＞a1⇒x＞a+1．因此解集A＝（a+1，+∞）．若A⊂（4，+∞），则（a+1，+∞）⊂（4，+∞）．所以a+1≥4，解得a≥3，故a的范围为{a|a≥3}．【点评】本题主要考查了指数函数及对数函数性质的应用，属于基础题．18．（2025•湖北三模）环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速80km/h（不含80km/h）经多次测试得到，该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的下列数据：v0204060M0300056009000为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：M(（1）当0≤v＜80时，请选出符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）现有一辆同型号汽车从A地驶到B地，前一段是200km的国道，后一段是100km的高速路．若已知高速路上该汽车每小时耗电量N单位：Wh与速度的关系是：N（v）＝2v2﹣10v+200（80≤v≤120），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？（假设在两段路上分别匀速行驶）【考点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式及其应用．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）M(v)=140v3-2v2+180v．（2）当这辆车在国道上的行驶速度为40km/h，在高速路上的行驶速度为80【分析】（1）对于M（v）＝500logav+b，当v＝0时，它无意义，所以不合题意，对于M(v)=1000(23)v+a，它显然是个减函数，这与M（40）＜M（60）矛盾，故选择（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及利用导数研究函数的单调性，分别求出国道路段的所耗电量的最小值，高速路段的所耗电量的最小值，并求和，即可求解．【解答】解：（1）对于M（v）＝500logav+b，当v＝0时，它无意义，所以不合题意，对于M(v)=800(23)v+故选择M(根据提供的数据，有140×20当0≤v＜80时，M(（2）国道路段长为200km，所用时间为200v所耗电量f(因为0≤v＜80，当v＝40时，f（v）min＝28000Wh，高速路段长为100km，所用时间为100v所耗电量为g(因为g'所以g（v）在[80，120]上单调递增，所以g(故当这辆车在国道上的行驶速度为40km/h，在高速路上的行驶速度为80km/h时，该车从A地到B地的总耗电量最少，最少为28000+15250＝43250Wh．【点评】本题主要考查函数的实际应用，利用导数研究函数的单调性是解本题的关键，属于中档题．19．（2024秋•合肥期末）已知集合A={x|13≤3x-4≤9}，集合B（1）求A∪B；（2）已知C＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}，若x∈C是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【考点】指、对数不等式的解法；解一元二次不等式；充分不必要条件的应用．【专题】集合思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】（1）{x|x≥3}；（2）{m|m＞5}．【分析】（1）化简集合A、B，根据并集的定义求解即可；（2）化简集合C，根据题意知C是B的真子集，由此求解即可．【解答】解：（1）不等式13≤3x﹣4≤9，等价于﹣1≤x﹣4≤2，解得3≤x≤6，即A＝{x|3≤x≤不等式log3（1+2x）＞2，等价于1+2x＞9，解得x＞4，即B＝{x|x＞4}，所以A∪B＝{x|x≥3}；（2）因为C＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}＝{x|m﹣1≤x≤m+1}，且x∈C是x∈B的充分不必要条件，所以C是B的真子集，即m﹣1＞4，解得m＞5，所以实数m的取值范围是{m|m＞5}．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．20．（2025春•綦江区校级月考）某口罩生产企业，在疫情期间每月生产x万件N95口罩的利润函数为p(（1）当0＜x＜6时，求企业平均每万件月利润的最大值．（2）当月产量为多少万件时，企业的月利润最大？请为企业生产经营提一些合理建议．【考点】根据实际问题选择函数类型；利用导数研究函数的最值．【专题】函数思想；分类法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）9；（2）月产量为5万件或e3万件时，企业的月利润最大，建议见解析．【分析】（1）利用二次函数的知识求解即可；（2）利用导数求解函数的最大值，根据最大利润合理建议．【解答】解：（1）当0＜x＜6时，p（x）＝﹣x2+10x﹣16，所以p(x)x=-x+10-16x=-（x+16当且仅当x=16x，即x＝4时取到最大值所以企业平均每万件月利润的最大值为2万元．（2）当x≥6时，p(x)=13若6≤x≤e3，则p′（x）≥0，p（x）为增函数；若x＞e3，则p′（x）＜0，p（x）为减函数，所以x＝e3时，p（x）取到最大值p（e3）＝9．由（1）知x＝5时，p（x）也取到最大值9，综上可知当月产量为5万件或e3万件时，企业的月利润最大．建议：当月产量为5万件或e3万件时，利润最大，考虑时间成本和原料成本，建议月产量为5万件最为合适．【点评】本题考查了二次函数和分段函数模型应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．

考点卡片1．求集合的交集【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）解：因为A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．2．充分不必要条件的应用【知识点的认识】充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．集合A＝{x|x2+（a+2）x+2a＜0}，B＝{x|x2+2x﹣3＜0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣1≤a≤3}B．{a|﹣1≤a＜2或2＜a≤3}C．{a|2＜a≤3}D．{a|a≥2}解：因为A＝{x|x2+（a+2）x+2a＜0}＝{x|（x+2）（x+a）＜0}，B＝{x|x2+2x﹣3＜0}＝{x|﹣3＜x＜1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⫋B且A≠∅，当﹣a＜﹣2时，A＝{x|﹣a＜x＜﹣2}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，则﹣a≥﹣3，解得2＜a≤3，当﹣a＞﹣2时，A＝{x|﹣2＜x＜﹣a}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，则﹣a≤1，解得﹣1≤a＜2，所以﹣1≤a＜2或2＜a≤3．故选：B．3．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜x解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y=用基本不等式若x＞0时，0＜y≤2若x＜0时，-24≤y综上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）]≤12（2当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y=x解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y=x2+7x+10x+1当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2(x+1)×4x+1+5技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+a技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．4．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2从而得出最小值为2，并且在【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则a+1+b解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则a+1当且仅当a＝b=1故答案为：6．5．指、对数不等式的解法【知识点的认识】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想；③应用化归思想等价转化．注：常用不等式的解法举例（x为正数）：6．解一元二次不等式【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【命题方向】一元二次不等式ax2+bx+c＞0﹣将不等式转化为ax2+bx+c＝0形式，求出根．﹣根据根的位置，将数轴分为多个区间．﹣在各区间内选择测试点，确定不等式在每个区间内的取值情况．﹣综合各区间的解，写出最终解集．不等式x2﹣2x＞0的解集是（）解：不等式x2﹣2x＞0整理可得x（x﹣2）＞0，可得x＞2或x＜0，{x|x＜0或x＞2}7．函数的图象与图象的变换【知识点的认识】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．图象的变换1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象（1）平移变换：y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．（2）伸缩变换：y＝f（x）y＝f（ωx）；y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．（3）对称变换：y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．（4）翻折变换：y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．【解题方法点拨】1、画函数图象的一般方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法（1）知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．（2）知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．3、（1）利有函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．（2）利用函数的图象研究方程根的个数有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．【命题方向】（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：①正确求出函数的定义域；②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．（3）3种方法﹣﹣识图的方法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．8．函数的奇偶性【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．9．对数运算求值【知识点的认识】对数的性质：①alogaN=N；②logaaN＝N（a＞0loga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n【解题方法点拨】﹣利用对数定义直接求值．﹣利用换底公式log﹣结合对数运算性质，如loga（mn）＝logam+logan、loga(【命题方向】常见题型包括计算对数值、简化复杂对数表达式、利用对数性质解决实际问题．计算：14lg解：原式＝lg2﹣1+33×23+lg50＝lg（2×50）﹣1+32＝lg100﹣1+9＝2故答案为：10．10．对数函数的图象【知识点的认识】11．求对数函数及对数型复合函数的单调性【知识点的认识】对数函数的单调性当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上为增函数当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上为减函数【解题方法点拨】﹣分析对数函数的解析式，确定其单调性：当a＞1时，对数函数单调递增；当0＜a＜1时，对数函数单调递减．﹣对于复合函数，分析内层函数的单调性，再结合外层对数函数确定复合函数的整体单调性．﹣验证单调性的准确性．【命题方向】常见题型包括分析对数函数及其复合函数的单调性，结合解析式和实际问题确定函数的单调区间及性质．函数f（x）＝lg（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是_____．解：∵f（x）＝lg（x2﹣2x﹣8），∴x2﹣2x﹣8＞0，∴x＜﹣2或x＞4，∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），设t＝x2﹣2x﹣8，则函数t＝x2﹣2x﹣8在区间（﹣∞，﹣2）上单调递减，在区间（4，+∞）上单调递增，∵函数y＝lgt为增函数，∴函数f（x）的单调递增区间为（4，+∞）．12．对数值大小的比较【知识点的认识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）13．由函数零点所在区间求解函数或参数【知识点的认识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．【解题方法点拨】函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．若函数f（x）＝a+log7x在区间（1，7）上有零点，则实数a的取值范围为_____．解：因为函数f（x）在区间（1，7）上为增函数，所以若函数f（x）在区间（1，7）上有零点，则f（1）＜0，f（7）＞0，所以a＜0，a+1＞0，所以﹣1＜a＜0．故答案为：（﹣1，0）．14．函数的零点与方程根的关系【知识点的认识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解题方法点拨】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【命题方向】直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．15．根据实际问题选择函数类型【知识点的认识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．（2）常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反比例函数模型：y=kx（k＞0）型，增长特点是y随③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．3．函数建模（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．（2）过程：如下图所示．【解题方法点拨】用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：（1）解函数关系已知的应用题①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．（2）解函数关系未知的应用题①阅读理解题意看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；②抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；③研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；④得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．【命题方向】典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l+log7xD．y=14000分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%=14A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤14D中，函数y=14000x2，易知满足①，当x＝400时，y＞故选C点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x=kt+1（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．解答：解：（1）由题意：3﹣x=k且当t＝0时，x＝1．所以k＝2，所以