2025年新高二数学人教A版中等生专题复习《统计》

第26页（共26页）2025年新高二数学人教A版（2019）中等生专题复习《统计》一．选择题（共8小题）1．（2025•龙华区校级模拟）在某校的“迎新年”歌咏比赛中，6位评委给某位参赛选手打分，6个分数的平均分为8.5分，方差为0.5，若去掉一个最高分9.5分和一个最低分7.5分，则剩下的4个分数满足（）A．平均分8.8分，方差0.25 B．平均分8.8分，方差0.4 C．平均分8.5分，方差0.25 D．平均分8.5分，方差0.42．（2025春•万州区月考）下列说法正确的是（）A．数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5 B．若一组样本数据4，6，7，8，9，a的平均数为7，则a＝7 C．用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D．若x1，x2，⋯，x10的标准差为4，则﹣2x1+3，﹣2x2+3，﹣2x3+3，…，﹣2x10+3的标准差是83．（2025春•东莞市期中）已知随机变量X的方差D（X）＝2，随机变量Y＝﹣2X+3，则D（Y）＝（）A．4 B．﹣1 C．7 D．84．（2025春•深圳期中）已知离散型随机变量X满足D（X）＝0.01，且Y＝10X+1，则D（Y）＝（）A．1 B．0.1 C．0.01 D．1.015．（2025•南安市校级模拟）甲、乙两个跑步爱好者利用微信运动记录了去年下半年每个月的跑步里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（）A．乙跑步里程的极差等于31 B．甲跑步里程的中位数是245 C．分别记甲乙下半年每月跑步里程的标准差为s1，s2，则s1＞s2 D．分别记甲、乙下半年每月跑步里程的平均数为m1，m2，则m1＞m26．（2025•普陀区校级三模）某班同学身高的平均数为z，方差为s2，其中女生身高x1，x2，…，xm的平均数为x，方差为s12，男生身高y1，y2，…，yn的平均数为y，方差为A．若x＜y，则B．若s12＜s22C．若m＝n，则z=D．若x=y，则s7．（2025春•岳麓区校级月考）设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为3，则数据0.1x1，0.1x2，…，0.1xn的方差为（）A．0.03 B．0.3 C．3 D．308．（2025•永州模拟）已知互不相等的一组数x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8的平均数为x8，方差为s12，若x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的方差为A．s1B．s1C．s1D．s12与二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•湖北月考）某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层随机抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是145A．C组人数为10人 B．C组人数为45人 C．单位人数为100人 D．单位人数为450人（多选）10．（2025•崂山区校级模拟）一组单调递增数据x1，x2，…，xn的极差、平均数、中位数、方差依次为Δx，x，m，s12，构造一组新的数据y1，y2，…，yn（其中yi＝3xi﹣1（i＝1，2，⋯，A．Δy＝3Δx B．若x=y，则C．若m+n＝3，则n＝2 D．若s1+s2＝4，则s1＝1（多选）11．（2025•江西模拟）将一组互不相同的数据x1，x2，x3，x4，x5中的每一个数都变成原来的2倍再减去1，则这两组数据可能相同的数字特征是（）A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差（多选）12．（2025春•甘肃校级期中）已知数据x1，x2，…，x6的平均数为10，方差为1，且yi＝2xi+4（i＝1，2，…，6），则下列说法正确的是（）A．数据y1，y2，…，y6的方差为2 B．数据y1，y2，…，y6的平均数为24 C．数据x1，x2，…，x6，10的平均数为10，方差大于1 D．若数据x1，x2，…，x6的中位数为m、75%分位数为n，则m≤n三．填空题（共4小题）13．（2025春•杨浦区校级月考）样本数据25，60，14，32，46的第40百分位数为．14．（2024秋•宝应县校级期末）某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且X～N（98，σ2），对于X≥100的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取400个，用Y用表示400个零件的规格指标X位于区间（96，100）的个数，则随机变量Y的方差是．15．（2025春•滨海新区校级期中）某校学生高一年级有880人，高二年级有800人，高三年级有720人，现用分层随机抽样方法共选取n名学生进行竞赛答题，已知高三年级选出9名选手，则n＝；选出的高三年级9名选手分别答对题目数量为：2，3，7，5，1，6，8，3，8，则这组数据的第60百分位数为．16．（2025春•重庆校级期中）有一组样本数据：6，x1，x2，…，x5，已知它的平均数为6，方差为10，则新数据x1，x2，…，x5的方差为．四．解答题（共4小题）17．（2025春•西青区校级月考）ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮．某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图．将年龄不超过45岁的居民视为青年居民，否则视为非青年居民．（Ⅰ）完成下列2×2列联表，并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为年龄与是否喜欢该程序有关联？青年非青年合计喜欢20不喜欢60合计200（Ⅱ）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民．若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率．参考公式：χ2=n(ad-bc)2(a参考数据：α0.100.050.01xα2.7063.8416.63518．（2025春•启东市校级月考）某地2025年4月30天的空气质量指数经过统计，并进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中a的值；（2）求样本数据的60%分位数；（2）计算该地2025年4月30天的空气质量指数的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表）．19．（2025春•兰州校级期中）兴隆山自然保护区位于兰州市东南公里的榆中县境内，1982年建立，1988年批准为国家级自然保护区，总面积33301公顷．是国家“AAAA”级旅游胜地，在一片绿海碧涛之中，著名的栖云山景区、马衔山景区、官滩沟景区等三十余处景点，宛如玛瑙镶嵌在翠玉之上，光彩夺目．现为更好地提升旅游品质，兴隆山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，求x的值；（2）估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数和平均数（得数保留两位小数）．20．（2025春•南关区校级期中）第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95），绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）求a，b的值；（2）计算本次面试成绩的众数和平均成绩；（3）根据组委会要求，本次志愿者选拔录取率为19%，请估算被录取至少需要多少分．

2025年新高二数学人教A版（2019）中等生专题复习《统计》参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CDDACBAC二．多选题（共4小题）题号9101112答案ACACDABBD一．选择题（共8小题）1．（2025•龙华区校级模拟）在某校的“迎新年”歌咏比赛中，6位评委给某位参赛选手打分，6个分数的平均分为8.5分，方差为0.5，若去掉一个最高分9.5分和一个最低分7.5分，则剩下的4个分数满足（）A．平均分8.8分，方差0.25 B．平均分8.8分，方差0.4 C．平均分8.5分，方差0.25 D．平均分8.5分，方差0.4【考点】用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数．【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】利用平均数和方差公式即可求解．【解答】解：设这6个数分别为7.5，x1，x2，x3，x4，9.5，平均数为x，方差为s2，x1，x2，x3，x4，的平均数为x'，方差为s'2由题意可知，x=8.5所以x=7.5+x1+x2+x3+x4+9.56所以x'所以s2即(x所以s'所以剩下的4个分数满足平均分85分，方差0.25．故选：C．【点评】本题主要考查平均数、方差的求法，考查运算求解能力，属于基础题．2．（2025春•万州区月考）下列说法正确的是（）A．数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5 B．若一组样本数据4，6，7，8，9，a的平均数为7，则a＝7 C．用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D．若x1，x2，⋯，x10的标准差为4，则﹣2x1+3，﹣2x2+3，﹣2x3+3，…，﹣2x10+3的标准差是8【考点】平均数；标准差；百分位数．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】利用百分位数利用A；利用平均数判断B；利用分层抽样的性质判断C；利用标准差的定义判断D．【解答】解：对于A，数据1，8，3，5，6从小到大为1，3，5，6，8，5×0.6＝3，∴数据1，8，3，5，6的第60百分位数是12（5+6）＝5.5，故A对于B，一组样本数据4，6，7，8，9，a的平均数为7，∴16（4+6+7+8+9+a）＝7解得a＝8，故B错误；对于C，用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率与其它层里的个体被抽到的概率相等，故C错误；对于D，若x1，x2，⋯，x10的标准差为4，则﹣2x1+3，﹣2x2+3，﹣2x3+3，…，﹣2x10+3的标准差是(-2)2故选：D．【点评】本题考查百分位数、平均数、分层抽样的性质、标准差的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（2025春•东莞市期中）已知随机变量X的方差D（X）＝2，随机变量Y＝﹣2X+3，则D（Y）＝（）A．4 B．﹣1 C．7 D．8【考点】方差．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】根据方差的性质求解．【解答】解：因为D（X）＝2，随机变量Y＝﹣2X+3，所以D（Y）＝（﹣2）2D（X）＝4×2＝8．故选：D．【点评】本题主要考查了方差的性质，属于基础题．4．（2025春•深圳期中）已知离散型随机变量X满足D（X）＝0.01，且Y＝10X+1，则D（Y）＝（）A．1 B．0.1 C．0.01 D．1.01【考点】方差．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】A【分析】根据方差的性质求解．【解答】解：因为D（X）＝0.01，且Y＝10X+1，所以D（Y）＝102D（X）＝100×0.01＝1．故选：A．【点评】本题主要考查了方差的性质，属于基础题．5．（2025•南安市校级模拟）甲、乙两个跑步爱好者利用微信运动记录了去年下半年每个月的跑步里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（）A．乙跑步里程的极差等于31 B．甲跑步里程的中位数是245 C．分别记甲乙下半年每月跑步里程的标准差为s1，s2，则s1＞s2 D．分别记甲、乙下半年每月跑步里程的平均数为m1，m2，则m1＞m2【考点】百分位数；平均数；中位数．【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】根据极差，中位数以及平均数的计算公式即可求解ABD，根据方差的性质即可求解C．【解答】解：对于A，由折线图得乙跑步里程的极差为293﹣255＝38，故A错误；对于B，由折线图得甲跑步里程的中位数为254+2452=249.5，故对于D，由折线图得甲跑步里程的平均数为313+254+217+245+203+3016乙跑步里程的平均数为293+280+262+283+255+2666∴m1＜m2，故D错误；对于C，由折线图得：甲的波动大，乙的波动小，∴s1＞s2，故C正确．故选：C．【点评】本题考查折线图、极差、中位数、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（2025•普陀区校级三模）某班同学身高的平均数为z，方差为s2，其中女生身高x1，x2，…，xm的平均数为x，方差为s12，男生身高y1，y2，…，yn的平均数为y，方差为A．若x＜y，则B．若s12＜s22C．若m＝n，则z=D．若x=y，则s【考点】由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】利用分层随机抽样的均值和方差公式判断各个选项即可．【解答】解：对于A，因为z=若x＜y则，即x＜z＜对于B，若s12＜s22，当s12，此时s2＞s22对于C，若m＝n，则z=mm+n对于D，若x=y，则所以s2=mm+n[s1故选：B．【点评】本题主要考查了分层随机抽样的均值和方差公式，属于基础题．7．（2025春•岳麓区校级月考）设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为3，则数据0.1x1，0.1x2，…，0.1xn的方差为（）A．0.03 B．0.3 C．3 D．30【考点】方差．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】A【分析】利用方差的性质求解．【解答】解：因为一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为3，所以数据0.1x1，0.1x2，…，0.1xn的方差为0.12×3＝0.03．故选：A．【点评】本题主要考查了方差的性质，属于基础题．8．（2025•永州模拟）已知互不相等的一组数x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8的平均数为x8，方差为s12，若x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的方差为A．s1B．s1C．s1D．s12与【考点】平均数；用样本估计总体的离散程度参数．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】根据平均值的性质求得平均数，然后利用方差的概念求解即可判断各项．【解答】解：已知互不相等的一组数x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8的平均数为x8，方差为s1若x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的方差为s2即x1所以x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7＝7x8，则x1所以数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的平均数是x8，又s(x1-s12与s2故选：C．【点评】本题考查平均数以及方差的计算相关知识，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•湖北月考）某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层随机抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是145A．C组人数为10人 B．C组人数为45人 C．单位人数为100人 D．单位人数为450人【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】AC【分析】先根据分层抽样的定义求出样本中抽取的C组人数，利用甲、乙二人均被抽到的概率求出C组人数，然后根据分层抽样的定义求出单位人数即可．【解答】解：由题可得：从中抽取一个容量为20的样本，则抽取的C组人数为11+4+5设C组员工总数为m，则甲、乙二人均被抽到的概率为C2即m（m﹣1）＝90，解得m＝10，设单位员工总数为x，则由10x=15+4+1=故选：AC．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，考查计算能力，属于基础题．（多选）10．（2025•崂山区校级模拟）一组单调递增数据x1，x2，…，xn的极差、平均数、中位数、方差依次为Δx，x，m，s12，构造一组新的数据y1，y2，…，yn（其中yi＝3xi﹣1（i＝1，2，⋯，A．Δy＝3Δx B．若x=y，则C．若m+n＝3，则n＝2 D．若s1+s2＝4，则s1＝1【考点】中位数；方差；极差．【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】ACD【分析】由已知及极差、中位数的定义判断A、C；由样本中心在yi＝3xi﹣1（i＝1，2，⋯，n）上判断B；由方差的性质判断D．【解答】解：一组单调递增数据x1，x2，…，xn的极差、平均数、中位数、方差依次为Δx，构造一组新的数据y1，y2，…，yn（其中yi＝3xi﹣1（i＝1，2，⋯，n）），新数据的极差、平均数、中位数、方差依次为Δy，y，n，对于A，因为数据x1，x2，⋯，xn单调递增，所以数据y1，y2，⋯，yn也单调递增，所以极差Δx＝xn﹣x1，Δy＝yn﹣y1＝3xn﹣1﹣（3x1﹣1）＝3（xn﹣x1）＝3Δx，正确；对于B，因为yi＝3xi﹣1（i＝1，2，⋯，n），所以y=3x-1，因为对于C，由A知n＝3m﹣1，因为m+n＝3，所以n＝2，正确；对于D，因为yi＝3xi﹣1（i＝1，2，⋯，n），所以s22=9s12，即s因为s1+s2＝4，所以s1＝1，正确．故选：ACD．【点评】本题考查了极差、中位数和方差的性质，属于中档题．（多选）11．（2025•江西模拟）将一组互不相同的数据x1，x2，x3，x4，x5中的每一个数都变成原来的2倍再减去1，则这两组数据可能相同的数字特征是（）A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差【考点】中位数．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】AB【分析】由数据变换前后的数字特征之间的关系可解．【解答】解：将一组互不相同的数据x1，x2，x3，x4，x5中的每一个数都变成原来的2倍再减去1，设x1，x2，x3，x4，x5视为从小到大排序，原平均数为x，则变化后的平均数为2x当x=1时，x=2x原中位数为x3，变化后的中位数为2x3﹣1，当x3＝1时，x3＝2x3﹣1，故B正确；原方差为s2，变化后的方差为4s2，若两方差相等，则s2＝4s2，得s2＝0，此时每个数都相等，与已知矛盾，故C错误；原极差为x5﹣x1，变化后的极差为2（x5﹣x1），若两极差相等，则x5＝x1，与已知矛盾，故D错误．故选：AB．【点评】本题考查平均数、中位数、方差、极差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．（多选）12．（2025春•甘肃校级期中）已知数据x1，x2，…，x6的平均数为10，方差为1，且yi＝2xi+4（i＝1，2，…，6），则下列说法正确的是（）A．数据y1，y2，…，y6的方差为2 B．数据y1，y2，…，y6的平均数为24 C．数据x1，x2，…，x6，10的平均数为10，方差大于1 D．若数据x1，x2，…，x6的中位数为m、75%分位数为n，则m≤n【考点】平均数；方差；百分位数．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维．【答案】BD【分析】应用均值和方差的性质求y1，⋯，y6的平均数和方差，再由平均数、方差、中位数及分位数求法判断C、D．【解答】解：数据x1，x2，…，x6的平均数为10，方差为1，且yi＝2xi+4（i＝1，2，…，6），E（X），D（X）表示x1，⋯，x6的均值和方差，E（Y），D（Y）表示y1，⋯，y6的均值和方差，∵E（X）＝10，D（X）＝1，而yi＝2xi+4（i＝1，2，…，6），∴E（Y）＝2×10+4＝24，D（Y）＝4×1＝4，故A错误，B正确；对于C，数据的平均数为6×10+107=707=10对于D，若x1≤x2≤⋯≤x6，则其中位数为m=而6×34=4.5，则75%分位数为n＝x5，故m≤故选：BD．【点评】本题考查平均数、方差、中位数等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．三．填空题（共4小题）13．（2025春•杨浦区校级月考）样本数据25，60，14，32，46的第40百分位数为28.5．【考点】百分位数．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】28.5．【分析】根据百分位数的性质即可求解．【解答】解：将数据25，60，14，32，46从小到大排列为14，25，32，46，60，样本量n＝5，第40百分位数的位置公式为i＝n×p%＝5×40%＝2，当i为整数时，第P百分位数是第i项和第i+1项数据的平均值，第2项是25，第3项是32，故平均值为25+322故答案为：28.5．【点评】本题考查了百分位数，属于基础题．14．（2024秋•宝应县校级期末）某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且X～N（98，σ2），对于X≥100的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取400个，用Y用表示400个零件的规格指标X位于区间（96，100）的个数，则随机变量Y的方差是36．【考点】方差．【专题】转化思想；优选法；概率与统计；运算求解．【答案】36．【分析】由题可得质量指标在区间（96，100）的概率，后由二项分布的方差可得答案．【解答】解：X～N（98，σ2），对于X≥100的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，则由正态分布的性质得质量指标在区间（96，100）的概率为1﹣2×0.05＝0.9，即1件产品的质量指标位于区间（96，100）的概率为0.9，所以Y～B（400，0.9），故D（Y）＝400×0.9×0.1＝36．故答案为：36．【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．15．（2025春•滨海新区校级期中）某校学生高一年级有880人，高二年级有800人，高三年级有720人，现用分层随机抽样方法共选取n名学生进行竞赛答题，已知高三年级选出9名选手，则n＝30；选出的高三年级9名选手分别答对题目数量为：2，3，7，5，1，6，8，3，8，则这组数据的第60百分位数为6．【考点】百分位数；分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】30；6．【分析】根据分层随机抽样的定义可求解第一空，根据百分位数的定义可求解第二空．【解答】解：由题意可知，720880+800+720解得n＝30，数据从小到大排列为：1，2，3，3，5，6，7，8，8，因为9×60%＝5.4，所以这组数据的第60百分位数为6．故答案为：30；6．【点评】本题主要考查了分层随机抽样的定义，考查了百分位数的定义，属于基础题．16．（2025春•重庆校级期中）有一组样本数据：6，x1，x2，…，x5，已知它的平均数为6，方差为10，则新数据x1，x2，…，x5的方差为12．【考点】方差．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】12．【分析】代入平均数和方差公式，即可求解．【解答】解：因为数据：6，x1，x2，…，x5的平均数为6，方差为10，所以新数据的平均数为6×6-65=6，设其方差为s则10=1所以(x所以s2故答案为：12．【点评】本题考查平均数与方差的运算，属基础题．四．解答题（共4小题）17．（2025春•西青区校级月考）ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮．某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图．将年龄不超过45岁的居民视为青年居民，否则视为非青年居民．（Ⅰ）完成下列2×2列联表，并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为年龄与是否喜欢该程序有关联？青年非青年合计喜欢20不喜欢60合计200（Ⅱ）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民．若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率．参考公式：χ2=n(ad-bc)2(a参考数据：α0.100.050.01xα2.7063.8416.635【考点】频率分布直方图的应用；独立性检验．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（Ⅰ）补全2×2列联表如下：青年非青年合计喜欢9020110不喜欢603090合计15050200能；（Ⅱ）1114【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图补全2×2列联表，计算χ2的值，再与临界值比较即可；（Ⅱ）利用古典概型的概率公式求解．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，年龄不超过45岁的居民的有200×（0.1+0.25+0.3+0.1）＝150人，所以年龄超过45岁的居民的有50人，补全2×2列联表如下：青年非青年合计喜欢9020110不喜欢603090合计15050200零假设H0：年龄与是否喜欢该程序没有关联，则χ2=200×(90×30-60×20)2150×50×110×90依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为年龄与是否喜欢该程序有关联；（Ⅱ）因为青年居民与非青年居民的比例为3：1，所以选定的8名居民中青年居民有34×8=6人，非青年居民有1所以从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，这4名居民中至少有3人为青年居民的概率P=C【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．18．（2025春•启东市校级月考）某地2025年4月30天的空气质量指数经过统计，并进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中a的值；（2）求样本数据的60%分位数；（2）计算该地2025年4月30天的空气质量指数的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表）．【考点】频率分布直方图的应用．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）a＝0.008；（2）74分；（3）70.2．【分析】（1）根据频率分布直方图即可求解；（2）根据60%分位数的性质即可求解；（3）根据平均数的性质即可求解．【解答】解：（1）因为10×（a+0.012+0.030+0.025+0.020+0.005）＝1，解得a＝0.008；（2）因为0.08+0.12+0.30＝0.5＜0.6，0.08+0.12+0.30+0.25＝0.75＞0.6，所以估计样本数据的60%分位数一定在[70，80）内，由70+10×所以样本数据的60%分位数为74分；（3）样本平均数x=45×0.08+55×0.12+65×0.3+75×0.25+85×0.2+95×0.05＝70.2所以可估计该市空气质量指数的平均值为70.2．【点评】本题考查了频率分布直方图，属于中档题．19．（2025春•兰州校级期中）兴隆山自然保护区位于兰州市东南公里的榆中县境内，1982年建立，1988年批准为国家级自然保护区，总面积33301公顷．是国家“AAAA”级旅游胜地，在一片绿海碧涛之中，著名的栖云山景区、马衔山景区、官滩沟景区等三十余处景点，宛如玛瑙镶嵌在翠玉之上，光彩夺目．现为更好地提升旅游品质，兴隆山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，求x的值；（2）估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数和平均数（得数保留两位小数）．【考点】频率分布直方图的应用．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）x＝0.03；（2）40%分位数约为83.33，平均数为84．【分析】（1）根据直方图中频率和为1求参数即可；（2）由百分位数的定义，结合直方图求分位数；将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得出平均数．【解答】解：（1）根据题意可知，10×（0.005+0.01+0.015+x+0.04）＝1，可得x＝0.03；（2）根据10×（0.005+0.01+0.015）＝0.3＜0.4＜10×（0.005+0.01+0.015+0.03）＝0.6，所以40%分位数在区间[80，90）内，令其为m，则0.3+0.03×（m﹣80）＝0.4，解得m=80+所以满意度评分的40%分位数约为83.33，由频率分布直方图可知，平均数为x=55×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4=84【点评】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．20．（2025春•南关区校级期中）第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95），绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）求a，b的值；（2）计算本次面试成绩的众数和平均成绩；（3）根据组委会要求，本次志愿者选拔录取率为19%，请估算被录取至少需要多少分．【考点】频率分布直方图的应用．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）a＝0.005，b＝0.025；（2）69.5；（3）78；【分析】（1）根据题意第三、四、五组的频率之和为0.7，可得a，再根据第一组、第二组频率之和为1﹣0.7＝0.3，可求得b．（2）根据众数、平均数定义可解．（3）根据第四、五组频率和为0.025，设录取分为x，则x在[75，85）内，可列等式（85﹣x）×0.020+0.005×10＝0.19，从而可解．【解答】解：（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以，0.045×10+0.020×10+10a＝0.7，则a＝0.005，又第一组、第二组频率之和为1﹣0.7＝0.3，则10×0.005+10b＝0.3，得b＝0.025，（2）根据频率表分布直方图可得，众数一定在[65，75）内，故众数为70，则平均成绩为50×0.005×10+60×0.025×10+70×0.045×10+80×0.020×10+90×0.005×10＝69.5，（3）因为本次志愿者选拔录取率为19%，则设录取分为x，第四、五组频率和为0.025，则x在[75，85）内，则（85﹣x）×0.020+0.005×10＝0.19，得x＝78．【点评】本题考查频率分布直方图相关知识，属于基础题．

考点卡片1．分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量【知识点的认识】﹣比例分配：根据每层在总体中的比例分配样本量．﹣计算：每层样本量＝总样本量×层的比例．【解题方法点拨】﹣确定每层样本的分配比例，并计算各层的样本量．【命题方向】﹣重点考察分层随机抽样中样本量的分配问题．2．由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数【知识点的认识】﹣样本平均数估计总体平均数：将各层的样本平均数按层的比例加权求和得到总体的估计值．【解题方法点拨】﹣使用加权平均的方法计算总体的估计值，权重为各层样本量的比例．【命题方向】﹣主要考察如何从样本数据估计总体特征的问题．3．频率分布直方图的应用【知识点的认识】﹣应用：用于数据的分布可视化，帮助分析数据集中趋势、离散程度等．【解题方法点拨】﹣分析：通过直方图观察数据的分布特征，识别数据的集中区域和离散程度．【命题方向】﹣重点考察如何解读频率分布直方图及其对数据分析的贡献．4．用样本估计总体的集中趋势参数【知识点的认识】1．众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；（3）平均数：一组数据的算术平均数，即x=2．众数、中位数、平均数的优缺点【解题方法点拨】众数、中位数、平均数的选取：（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．5．平均数【知识点的认识】﹣平均数：数据集中所有值的算术平均，计算公式为x=【解题方法点拨】﹣计算：求出数据集中所有值的总和，再除以数据的个数．【命题方向】﹣主要考察平均数的计算和解释．6．中位数【知识点的认识】﹣中位数：数据集中将数