2025年新高二数学人教A版尖子生专题复习《指数函数与对数函数》

第39页（共39页）2025年新高二数学人教A版（2019）尖子生专题复习《指数函数与对数函数》一．选择题（共8小题）1．（2025春•沙坪坝区校级期中）若关于x的方程ln(ax+b3)=x2+19（其中a、A．9e2 B．4e2 C．e2 D．e2．（2025春•富民县校级月考）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000m，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为v=12log3O100，其中OA．1100 B．1000 C．900 D．8003．（2025•江苏模拟）若函数f（x）＝ax﹣21﹣x+1（a＞0）存在两个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．(0，14)∪(1C．(14，14．（2025春•广西期中）随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务．某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为x（x≥2）万条时，推荐系统的准确率约为p=xx+1，平台软件收入为40000p元．已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100A．16 B．17 C．18 D．195．（2025•河北校级一模）近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平．某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元．则引进该生产线后总盈利的最大值为（）A．204万元 B．220万元 C．304万元 D．320万元6．（2025春•山东校级期中）若函数f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a≤x0≤b），使得f(x0)=f(b)-f(a)b-a，则称函数f（x）是区间[a，bA．5e3 B．7e3 C．97．（2025•新县校级模拟）已知函数f（x）是定义在R上偶函数，当x＞0时，f(x)=516x2，0≤x≤2(1A．(1，54) B．(0，54)8．（2025•湖南模拟）在资源有限的情况下，种群数量N（t）随时间t（单位：天）的变化满足逻辑斯蒂模型：N(t)=K1+(KN0-1)e-rt，其中常数K为环境容纳量，N0为种群初始数量，r为比增长率．生态学家高斯（G．F．Gause）曾经做过单独培养大草履虫的实验：初始时，在培养液中放入5个草履虫，观察到t参考数据：x23571113171923lnx0.6931.0991.6091.9452.3982.5652.8332.9443.135A．1.38 B．1.53 C．1.77 D．2.03二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•广东校级月考）设a→，b→，c→A．关于x的方程a→xB．关于x的方程a→xC．关于x的方程a→xD．关于x的方程a→（多选）10．（2024秋•深圳校级期末）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，f（x﹣1）＝f（3﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则（）A．f（x）＝f（x+4） B．f（log35）＞f（log58） C．当x∈[2，3]时，f（x）＝1﹣2x﹣2 D．方程|f（x）|﹣lgx＝0恰有10个解（多选）11．（2025•广元模拟）若函数f（x）＝x3+|ax+b|有三个不同零点，则（）A．ab＞0 B．ab＜0 C．|a|3﹣3b可以等于﹣1 D．|a|3﹣3b可以等于1（多选）12．（2025•淮滨县二模）已知定义在R上的偶函数f（x），其周期为4，当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣2，则（）A．f（2023）＝0 B．f（x）的值域为[﹣1，2] C．f（x）在[4，6]上单调递减 D．f（x）在[﹣6，6]上有8个零点三．填空题（共4小题）13．（2024秋•贵州校级期末）已知函数f(x)=2-2x，x≤1，x2-4x+5，x＞1，14．（2025春•长乐区校级月考）19，28，37，46，55，64，73，82，91中最大的数字是；179，278，377，⋯，773，782，791中最大的数字是．（ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6，ln7≈1.9）15．（2025春•涟源市月考）定义min{a，b}是a，b中的较小者．已知函数f(x)=x2-mx+14，g(x)=log12x，若h（x）＝min{f（x），g（x）}，16．（2025•天津校级模拟）已知函数f(x)=a+3+4x-|四．解答题（共4小题）17．（2025春•浙江月考）如果函数y＝f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）＝f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”；（1）判断函数y＝sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，试写出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；（2）已知y＝f（x）具有“P（0）性质”，当x≤0时，f（x）＝（x+t）2，t∈R，求y＝f（x）在[0，1]上的最大值；（3）设函数y＝g（x）具有“P（±1）性质”，且当-12≤x≤12时，g（x）＝|x|．若y＝g（x）与y＝mx（m18．（2025春•南海区校级月考）已知函数f（x）＝2cosx．（1）写出函数f（x）的最小正周期以及单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[-2π（3）x∈[π3，11π6]时，函数g（x19．（2024秋•广东期末）已知函数h（x）＝ex，函数y＝φ（x）的图象与函数y＝h（x）的图象关于直线y＝x对称，令f（x）+g（x）＝h（x），其中f（x），g（x）分别为奇函数、偶函数．（1）求y＝h（x）φ（x）在[1，e]上的最大值；（2）求证：g(（3）求证：δ（x）＝φ（x）+φ（x+2）+x仅有1个零点x0，且φ（ex0）＜h（x0+lnx0）．20．（2024秋•温州期末）某市轨道交通S1线是全国第一条制式市域铁路，运营五年来累计客运量已突破5500万．经市场调研测算，S1线列车载客量p（t）与发车间隔t（单位：分钟）有关．当4≤t＜16时，载客量为k（16﹣t）2+50t（k为常数），且发车间隔t＝4时的载客量为344人；当16≤t≤20时列车为满载状态，载客量为800人．（1）为响应低碳出行，要求载客量达到满载的一半及以上，列车才发车，则列车发车间隔至少为多少分钟？（2）已知甲、乙两站间列车票价为2元，发一趟车的固定支出为560元，当发车间隔为多少分钟时，S1线列车在运营期间每分钟的收益最大，并求出最大值．

2025年新高二数学人教A版（2019）尖子生专题复习《指数函数与对数函数》参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CCADABAC二．多选题（共4小题）题号9101112答案CDACADAB一．选择题（共8小题）1．（2025春•沙坪坝区校级期中）若关于x的方程ln(ax+b3)=x2+19（其中a、A．9e2 B．4e2 C．e2 D．e【考点】函数的零点与方程根的关系；对数方程求解．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．【答案】C【分析】首先将方程转化为at+13【解答】解：设f（x）的零点为t，则ln(at+13b)-t2+设P（a，b）为直线l：tx+坐标原点O到直线l的距离为h=et2+19t2+下求h的最小值，令t2+19=m(m≥1所以g（m）在(13，1)为减函数，在（1，+∞）为增函数，即g（m）min＝g（此时1=t2+19此时a2+b2的最小值为e2，此时OP⊥l．故选：C．【点评】本题考查函数零点与方程根的问题，属于中档题．2．（2025春•富民县校级月考）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000m，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为v=12log3O100，其中OA．1100 B．1000 C．900 D．800【考点】对数的运算性质．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】当v＝1时，代入v=12【解答】解：因为v=12log3由题意可得，当v＝1时，12log3O100即log3O100=2，则O所以O＝900．故选：C．【点评】本题主要考查了对数运算，属于基础题．3．（2025•江苏模拟）若函数f（x）＝ax﹣21﹣x+1（a＞0）存在两个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．(0，14)∪(1C．(14，1【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．【答案】A【分析】首先利用导数的几何意义求出g（x）＝ax与h（x）＝21﹣x﹣1相切时的a的值，根据a的值分段讨论，利用指数函数的增长速度判断交点个数．【解答】解：函数f（x）＝ax﹣21﹣x+1，（a＞0）存在两个不同的零点，令f（x）＝0⇒ax﹣21﹣x+1＝0⇒ax＝21﹣x﹣1，即g（x）＝ax与h（x）＝21﹣x﹣1有两个不同的交点，又g'（x）＝axlna，h'（x）＝﹣21﹣xln2，令g'（0）＝h'（0），即lna＝﹣2ln2⇒a=1此时g（x）＝ax与h（x）＝21﹣x﹣1相切于点（0，1），又g（0）＝h（0）＝1，所以（0，1）既是g（x）＝ax与h（x）＝21﹣x﹣1交点又是切点，当0＜当x＞0时，g（x）＝ax从y＝1递减到y＝0，函数h（x）＝21﹣x﹣1从y＝1递减到y＝﹣1，由于g（x）＝ax递减较快，在x＞0处与h（x）＝21﹣x﹣1相交一次，当x＜0时，当x→﹣∞，ax→+∞，21﹣x﹣1→+∞，但g（x）＝ax的增长速度比h（x）＝21﹣x﹣1快，因此两者会在x＜0处相交一次，所以在x＞0和x＜0各有一个交点，加上固定零点x＝0，总共有两个不同的零点，当14当x＞0时，g（x）＝ax的递减速度比h（x）＝21﹣x﹣1慢，因此g（x）＝ax始终位于h（x）＝21﹣x﹣1上方，所以无交点，当x＜0时，x→﹣∞，ax→+∞，21﹣x﹣1→+∞，但g（x）＝ax的增长速度比h（x）＝21﹣x﹣1慢，因此两者会在x＜0处相交一次，所以在x＜0处有一个交点，加上固定零点x＝0，总共有两个不同的零点．当a=12时，令2﹣x＝2•2﹣x﹣1⇒x＝0，即仅在x当a＞12时，当x＞0时，g（x）＝ax的递减速度比h（x）＝21﹣x因此g（x）＝ax始终位于h（x）＝21﹣x﹣1上方，所以无交点，当x＜0时，ax的增长速度进一步降低，无法与h（x）＝21﹣x﹣1交，所以仅有一个零点，不满足题目要求，数a的取值范围为(0，故选：A．【点评】本题考查函数零点与方程根的问题，属于中档题．4．（2025春•广西期中）随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务．某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为x（x≥2）万条时，推荐系统的准确率约为p=xx+1，平台软件收入为40000p元．已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100A．16 B．17 C．18 D．19【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】D【分析】由y=【解答】解：设收益为y元，则y=当y′＞0时，2＜x＜19，当y′＜0时，x＞19，即函数y=40000xx+1-100x，即当收集的数据量为19万条时，该软件能获得最高收益．故选：D．【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．5．（2025•河北校级一模）近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平．某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元．则引进该生产线后总盈利的最大值为（）A．204万元 B．220万元 C．304万元 D．320万元【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】A【分析】设引进设备n年后总盈利为f（n）万元，设除去设备引进费用，第n年的成本为an，构成一等差数列，由等差数列前n公式求得第n年总成本，这样可得总盈利f（n），由二次函数性质可得最大值；【解答】解：设n年后总盈利为f（n）万元，去掉引进费用，第n年的成本为an万元，易知{an}为等差数列，则前n年的成本之和为[24n所以得到f（n）＝100n﹣[24n+4n（n﹣1）+196]＝﹣4n2+80n﹣196＝﹣4（n﹣10）2+204，n∈N*，故当n＝10时，可以得到盈利最大值f（n）max＝204，故总盈利的最大值为204万元．故选：A．【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．6．（2025春•山东校级期中）若函数f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a≤x0≤b），使得f(x0)=f(b)-f(a)b-a，则称函数f（x）是区间[a，bA．5e3 B．7e3 C．9【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解；新定义类．【答案】B【分析】根据题意分析可得原题意等价于直线y＝m与函数g(x)=x2ex-3【解答】解：因为函数y=x2ex-m令f(所以方程f(x)=x2即m=x2ex令g(x)=x2ex将问题转化为直线y＝m与函数g(x)=x2ex则g'令g′（x）＞0，解得0＜x＜2；所以函数g(x)=x2令g′（x）＜0，解得2＜x＜3，所以函数g(x)=x2所以当x＝2时，函数g（x）取得最大值g(2)=且g(0)=02故6e又4e﹣3≈7.87312，故符合题意的只有B．故选：B．【点评】本题考查了“平均值函数”的定义及性质，考查了导数的综合运用及数形结合思想，属于中档题．7．（2025•新县校级模拟）已知函数f（x）是定义在R上偶函数，当x＞0时，f(x)=516x2，0≤x≤2(1A．(1，54) B．(0，54)【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．【答案】A【分析】首先根据f（x）的性质画出函数f（x）图象，然后把函数y＝f（x）﹣m仅有4个零点，转化为函数y＝f（x）与y＝m有4个交点，数形结合即可求解．【解答】解：当0≤x≤2时，f(x)=516当x＞2时，f(x)=(1又函数f（x）是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称作出函数f（x）图象：因为函数y＝f（x）﹣m仅有4个零点，所以函数y＝f（x）与y＝m有4个交点，根据图象可知：1＜m＜54故选：A．【点评】本题考查函数零点，属于中档题．8．（2025•湖南模拟）在资源有限的情况下，种群数量N（t）随时间t（单位：天）的变化满足逻辑斯蒂模型：N(t)=K1+(KN0-1)e-rt，其中常数K为环境容纳量，N0为种群初始数量，r为比增长率．生态学家高斯（G．F．Gause）曾经做过单独培养大草履虫的实验：初始时，在培养液中放入5个草履虫，观察到t参考数据：x23571113171923lnx0.6931.0991.6091.9452.3982.5652.8332.9443.135A．1.38 B．1.53 C．1.77 D．2.03【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】将已知数据代入函数模型，求出K的值，再利用指对互化以及对数运算求解即可．【解答】解：已知初始时，在培养液中放入5个草履虫，则N0＝5，又t＝2时，种群数量为120；t＝4时，种群数量为360，则K1+(则e-因此(K整理得7K2﹣2680K＝0，解得K=26807或K因此-2解得r≈1.77．所以大草履虫种群的比增长率约为1.77．故选：C．【点评】本题考查了根据实际问题选择函数模型，属中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•广东校级月考）设a→，b→，c→A．关于x的方程a→xB．关于x的方程a→xC．关于x的方程a→xD．关于x的方程a→【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．【答案】CD【分析】对于A，由题设知对任意向量c→存在唯一的有序数对（m，n）使c→=ma→+nb→对于B，取反例c→=2a对于C，判断当(m+n对于D，假设A、B、C共线，可得AB→=λBC→，整理得OC→=(1+1λ)OB→-1λ【解答】解：对于A，因为向量a→，b→，c→是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，x以向量a→，b→作为一组基底，那么对任意向量c→，存在唯一的有序数对（m，n对于选项A，根据a→x2那么有m＝﹣x2，n＝﹣x，因为﹣x与n一一对应，因此方程不可能两个实数解，所以选项A错误；对于选项B，如果取c→=2a→+3对于选项C，当m+n=-x对于选项D，设向量a→，b→，c→的公共始点为O假设A，B，C三点共线，那么必存在实数λ使AB→所以AO→+OB因为向量a→，b→，c→因此OC→=(1+1因此-x=-两式相加可得﹣x2﹣x＝1，即x2+x+1＝0，方程无实数解，与题设矛盾，因此假设不成立，所以三个向量终点不可能共线，所以选项D正确．故选：CD．【点评】本题考查函数与向量的综合应用，属于中档题．（多选）10．（2024秋•深圳校级期末）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，f（x﹣1）＝f（3﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则（）A．f（x）＝f（x+4） B．f（log35）＞f（log58） C．当x∈[2，3]时，f（x）＝1﹣2x﹣2 D．方程|f（x）|﹣lgx＝0恰有10个解【考点】函数的零点与方程根的关系；抽象函数的奇偶性．【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】AC【分析】通过对函数关系的化简以及奇函数的性质判断A选项；由x∈[0，1]时函数解析式以及函数的关系，写出x∈[1，2]时的函数解析式，从而知道函数在x∈[1，2]上的单调性，判断log35，log58的大小关系即可判断B选项；同理写出x∈[2，3]时函数解析式，判断C选项；写出x∈[3，4]时函数解析式，从而得到函数|f（x）|，lgx的函数图象，即可找到方程解的个数，判断D选项．【解答】解：因为f（x﹣1）＝f（3﹣x），所以f（x）＝f（2﹣x），即f（﹣x）＝f（x+2），又因为函数f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x+2）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），故A正确；当x∈[1，2]时，则2﹣x∈[0，1]，f（x）＝f（2﹣x）＝22﹣x﹣1，所以函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，又因为loglg3所以log35＞log58，所以f（log35）＜f（log58），故B错误；令x∈[2，3]，则x﹣2∈[0，1]，f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（x﹣2）＝1﹣2x﹣2，故C正确；令x∈[3，4]，则x﹣2∈[1，2]，f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（x﹣2）＝1﹣24﹣x，作出函数y＝|f（x）|，y＝lgx的函数图象，如图所示：故方程|f（x）|﹣lgx＝0恰有9个解，故D错误．故选：AC．【点评】本题考查了奇函数的单调性、周期性，考查了转化思想及数形结合思想，属于中档题．（多选）11．（2025•广元模拟）若函数f（x）＝x3+|ax+b|有三个不同零点，则（）A．ab＞0 B．ab＜0 C．|a|3﹣3b可以等于﹣1 D．|a|3﹣3b可以等于1【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】AD【分析】通过对不同a取值下不同区间的分类讨论，得出符合三个不同零点的情况，即可根据f(【解答】解：由题意，f（x）＝x3+|ax+b|的定义域为R，当x＞0时，x3＞0，|ax+b|≥0，∴f（x）＞0，函数在（0，+∞）上没有零点，∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，当a＝0时，f（x）＝x3+|b|在（﹣∞，0]上单调递增，∴不可能有三个零点，即a≠0，当a≠0时．f(若ba∵x∈（﹣∞，0]，则x+∴|x此时f(f'（x）＝3x2﹣|a|．令f'（x）＝0，解得：x=-|当x＜-|a|3时，f'（x）＞0；当-|a|3＜x∴函数在(-∞，-|a故f（x）不可能有三个不同零点，若ba＞0当-ba≤x≤0时，f(x)=x3+|a|(x+∴函数在[-当x＜-ba时，f(x)=x3-|a|(x+令f'（x）＝0，解得：x=-|当-|a|3≥-ba此时，f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，此时，f（x）不可能有三个不同零点，不合题意，舍去．当-|a|3＜-ba时，即|令f'（x）＞0，解得：x＜-令f'（x）＜0，解得：-|∴函数f（x）在(-∞，-|a|3且当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；当x→0时，f（x）→|b|，且|b|＞0．∴若函数有三个零点，则有f(-|a|f(∴2|a|3|a∴|a∴|a∴|a|3﹣3b可以等于1，不可以等于﹣1，故C错误，D正确；A，B项，f(解得：ba＞0，即ab＞0，故A故选：AD．【点评】本题考查分类讨论，去绝对值，函数的求导，考查学生的计算能力，理解和分析问题的能力，具有很强的综合性．（多选）12．（2025•淮滨县二模）已知定义在R上的偶函数f（x），其周期为4，当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣2，则（）A．f（2023）＝0 B．f（x）的值域为[﹣1，2] C．f（x）在[4，6]上单调递减 D．f（x）在[﹣6，6]上有8个零点【考点】函数的零点；由函数的单调性求解函数或参数；函数的奇偶性．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】AB【分析】由已知结合函数的奇偶性，周期性即单调性分别检验各选项即可判断．【解答】解：定义在R上的偶函数f（x），其周期为4，所以f（2023）＝f（506×4﹣1）＝f（﹣1）＝f（1）＝0，A正确；当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣2单调递增，故当x∈[0，2]时，函数的值域为[﹣1，2]，由于函数是偶函数，所以函数的值域为[﹣1，2]，所以B正确；当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣2单调递增，又函数的周期是4，所以f（x）在[4，6]上单调递增，所以C错误；令f（x）＝2x﹣2＝0，所以x＝1，所以f（1）＝f（﹣1）＝0，由于函数的周期为4，所以f（5）＝f（﹣5）＝0，f（3）＝f（﹣3）＝0，所以f（x）在[﹣6，6]上有6个零点，所以D错误．故选：AB．【点评】本题综合考查了函数的奇偶性，单调性，周期性的应用，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2024秋•贵州校级期末）已知函数f(x)=2-2x，x≤1，x2-4x+5，x＞1，若关于x【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（1，2）．【分析】设t＝f（x），f（t）＝a，作出函数y＝f（t）的简图，结合函数图象，分情况列出不等式求解即可．【解答】解：设t＝f（x），所以f（f（x））＝a，即为f（t）＝a，则y＝f（t）的图象如图所示：当a＜0时，f（t）＝a无解；当0≤a＜1时，f（t）＝a有一个解，设为t1，由图可知0＜t1≤1，当t1＝f（x）时，f（x）＝t最多2个解，不成立；当1＜a＜2时，f（t）＝a有三解，设为t1＜0＜t2＜2＜t3，由图可知1＜t2＜2，所以t1＝f（x）无解，t2＝f（x）有三解，t3＝f（x）有一解，故满足题意．当a≥2或a＝1时，显然不满足题意；综上所得，实数a的取值范围为：（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想及数形结合思想，属于中档题．14．（2025春•长乐区校级月考）19，28，37，46，55，64，73，82，91中最大的数字是46；179，278，377，⋯，773，782，791中最大的数字是2060．（ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6，ln7≈1.9）【考点】对数运算求值．【专题】综合题；转化思想；分析法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】46；2060．【分析】分别构造函数y＝x10﹣x（0＜x＜10），y＝x80﹣x（0＜x＜80），然后两边取对数转化为利用导数判断f（x）＝（10﹣x）lnx，与g（x）＝（80﹣x）lnx的单调性与最值解决问题．【解答】解：对于第一个空：设y＝x10﹣x，（0＜x＜10），两边取对数得lny＝（10﹣x）lnx，再令函数f（x）＝（10﹣x）lnx，（0＜x＜10），f′（x）＝﹣lnx+10x-1，易知f'（x）单调递减，又f'（4）＞0，f'（5）＜0，因此f（x）max＝max{f（4），f（5f（4）＝6ln4＝12ln2，f（5）＝5ln5＝5（1﹣ln2）＝5﹣5ln2，f（4）﹣f（5）＝17ln2﹣5＞0，所以f（4）最大，即46最大；对于第二个空：设y＝x80﹣x（0＜x＜80），两边取对数得lny＝（80﹣x）lnx，再令函数g（x）＝（80﹣x）lnx，则g'（x）=-lnx+80x-又g'（19）＞0，g'（21）＜0，g'（20）≈0，因此g（x）max＝g（20）＝60ln20，所以最大的数是2060．故答案为：46；2060．【点评】本题考查构造函数，利用导数研究函数的单调性比较大小的问题，属于中档题．15．（2025春•涟源市月考）定义min{a，b}是a，b中的较小者．已知函数f(x)=x2-mx+14，g(x)=log12x，若h（x）＝min{f（x），g（x）}，【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．【答案】(1，【分析】在同一坐标系中画出函数f（x）和g（x）的大致图象，结合图象分析可知当方程h（x）＝0有3个不同的解时，方程f（x）＝0有2个小于1的正数解，再构建不等式组求解可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）和函数g（x）在同一坐标系中的大致图象如图：因为h（x）的定义域为（0，+∞）．由于h（x）＝0有3个不同的解，因此g（x）＝0有1个解且为1，f（x）＝0有2个小于1的正数解．因此m解得m∈(1，故答案为：(1，【点评】本题考查函数零点与方程根的应用，属于中档题．16．（2025•天津校级模拟）已知函数f(x)=a+3+4x-|x+a【考点】函数零点的判定定理．【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用．【答案】见试题解答内容【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数交点问题，结合分段函数的性质进行转化求解即可．【解答】解：函数f(x得|x+a|-4x-a设g（x）＝|x+a|-4x-a，h（x则函数g（x）=-不妨设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，当x＞﹣a时，由f（x）＝0，得g（x）＝3，即x-4x得x2﹣3x﹣4＝0，得（x+1）（x﹣4）＝0，解得x＝﹣1，或x＝4；若①﹣a≤﹣1，即a≥1，此时x2＝﹣1，x3＝4，由等差数列的性质可得x1＝﹣6，由f（﹣6）＝0，即g（﹣6）＝3得6+46-2a＝3，解得a=116，满足f（x）＝若②﹣1＜﹣a≤4，即﹣4≤a＜1，则f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3＝4，所以有x1，x2是﹣x-4x-2a＝3的两个解，即x1，x2是x2+（2a+3）x+4得到x1+x2＝﹣（2a+3），x1x2＝4，又由设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2＝x1+4，解得：a＝﹣1+332（舍去）或a＝﹣③﹣a＞4，即a＜﹣4时，f（x）＝0最多只有两个解，不满足题意；综上所述，a=116，或﹣1【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合函数零点个数，转化为分段函数，利用分段函数零点个数进行讨论是解决本题的关键．综合性较强，难度极大．四．解答题（共4小题）17．（2025春•浙江月考）如果函数y＝f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）＝f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”；（1）判断函数y＝sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，试写出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；（2）已知y＝f（x）具有“P（0）性质”，当x≤0时，f（x）＝（x+t）2，t∈R，求y＝f（x）在[0，1]上的最大值；（3）设函数y＝g（x）具有“P（±1）性质”，且当-12≤x≤12时，g（x）＝|x|．若y＝g（x）与y＝mx（m【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数思想；转化思想；综合法；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解；新定义类．【答案】（1）具有，a＝2kπ+π，k∈Z；（2）当t＜12，ymax=(1-t（3）m＝±12025【分析】（1）根据题意先检验sin（x+a）＝sin（﹣x）是否成立，即可检验y＝sinx是否具有“P（a）性质”；（2）由y＝f（x）具有“P（0）性质，可得f（x）＝f（﹣x），结合x≤0时的函数解析式，可求x≥0的函数解析式，结合t的范围判断函数y＝f（x）在[0，1]上的单调性即可求解函数的最值；（3）由题意可得g（1+x）＝g（﹣x），g（﹣1+x）＝g（﹣x），据此递推关系可推断函数y＝g（x）的周期，根据交点周期性出现的规律即可求解满足条件的m，以及g（x）的解析式．【解答】解：（1）由sin（x+a）＝sin（﹣x），得sin（x+a）＝﹣sinx，根据诱导公式得a＝2kπ+π（k∈Z）．所以y＝sinx具有“P（a）性质”，其中a＝2kπ+π（k∈Z）；（2）因为y＝f（x）具有“P（0）性质”，所以f（x）＝f（﹣x），设x＞0，则﹣x＜0，f（x）＝f（﹣x）＝（﹣x+t）2＝（x﹣t）2，f（x）=(由二次函数的对称性可得，在[0，1]上，当t＜12时，x＝1时，最大值ymax＝（1﹣t当t≥12时，当x＝0时，最大值ymax＝（3）因为y＝g（x）具有“P（±1）性质”，所以g（1+x）＝g（﹣x），g（﹣1+x）＝g（﹣x），所以g（x+2）＝g（1+1+x）＝g（﹣1﹣x）＝g（x），从而得到y＝g（x）是以2为周期的函数．又当12≤x≤32时，-1g（x）＝g（x﹣2）＝g（﹣1+x﹣1）＝g（﹣x+1）＝|﹣x+1|＝|x﹣1|＝g（x﹣1），再设n-1当n＝2k（k∈Z），则2k则-1g（x）＝g（x﹣2k）＝|x﹣2k|＝|x﹣n|；当n＝2k+1（k∈Z），则2k则12g（x）＝g（x﹣2k）＝|x﹣2k﹣1|＝|x﹣n|，所以g（x）=-x+n，所以对于n-12≤x≤n+12（n∈Z），都有而n+1所以g（x+1）＝|（x+1）﹣（n+1）|＝|x﹣n|＝g（x），所以y＝g（x）是周期为1的函数．①当m＞0时，要使y＝mx与y＝g（x）有2025个交点，只要y＝mx与y＝g（x）在[0，1012）有2024个交点，而在[1012，1023]有一个交点．所以y＝mx过（20252，1从而得m=1②当m＜0时，同理可得m=-③当m＝0时，不合题意．综上所述m＝±12025【点评】本题考查周期函数，着重考查函数在一定条件下的恒成立问题与最值求解的相互转化，综合考查构造函数、分析转化、分类讨论的数学思想，属于难题．18．（2025春•南海区校级月考）已知函数f（x）＝2cosx．（1）写出函数f（x）的最小正周期以及单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[-2π（3）x∈[π3，11π6]时，函数g（x【考点】函数的零点与方程根的关系；三角函数中的恒等变换应用．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．【答案】（1）T＝2π；[2kπ，2kπ+π]，k∈Z．（2）当x=-2π3时，f（3）[-【分析】结合余弦函数y＝cosx的图象和性质可求解．【解答】解：（1）f（x）＝2cosx的最小正周期为：T=根据2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z，那么f（x）的单调递减区间为：[2kπ，2kπ+π]，其中k∈Z．（2）由于x∈[-2π3，π6]，因此cosx因此当x=-2π3时，函数f（3）当x∈[π3，f（x）＝m有解，因此m∈所以g（x）＝f（x）﹣m有零点，那么可得m∈【点评】本题考查函数零点与方程根的应用，属于中档题．19．（2024秋•广东期末）已知函数h（x）＝ex，函数y＝φ（x）的图象与函数y＝h（x）的图象关于直线y＝x对称，令f（x）+g（x）＝h（x），其中f（x），g（x）分别为奇函数、偶函数．（1）求y＝h（x）φ（x）在[1，e]上的最大值；（2）求证：g(（3）求证：δ（x）＝φ（x）+φ（x+2）+x仅有1个零点x0，且φ（ex0）＜h（x0+lnx0）．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的最值；判定函数零点的存在性；由函数零点所在区间求解函数或参数．【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）ee；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）通过y＝h（x），y＝φ（x）的单调性即可判断；（2）由函数奇偶性求得g(x)=（3）由零点存在性定理确定x0∈(e-2【解答】解：（1）因为函数y＝φ（x）的图象与函数y＝h（x）＝ex的图象关于直线y＝x对称，所以φ（x）＝lnx，所以y＝h（x）φ（x）＝lnx•ex，∀x1，x2∈[1，e]，x1＜x2，所以0＜h（x1）＜h（x2），0≤φ（x1）＜φ（x2），所以h（x1）φ（x1）＜h（x2）φ（x2），所以y＝h（x）φ（x）在[1，e]上单调递增，所以y＝h（x）φ（x）在[1，e]上的值域为[0，ee]，即y＝h（x）φ（x）最大值为ee；（2）证明：因为f（x）+g（x）＝h（x），即f（x）+g（x）＝ex①，所以f（﹣x）+g（﹣x）＝h（﹣x），即f（﹣x）+g（﹣x）＝e﹣x，又因为f（x），g（x）分别为奇函数，偶函数，所以﹣f（x）+g（x）＝e﹣x②，由①+②得，g(由①﹣②得，f（x）=e所以g=e≥2=e即g(x1)+g(x所以g(（3）证明：因为δ（x）＝φ（x）+φ（x+2）+x＝lnx+ln（x+2）+x，所以定义域为{x|x＞0}且单调递增，因为δ(因为ln(所以δ（e﹣2）＝lne﹣2+ln（e﹣2+2）+e﹣2＝﹣2+ln（e﹣2+2）+e﹣2＜﹣1+e﹣2＜0，由零点存在定理得，存在唯一零点x0∈(e-2，所以lnx0+ln（x0+2）+x0＝0，要证φ(令λ(显然函数λ（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，因为x0所以λ(因为e3＜33＝27＜32＝25，所以e35＜所以λ(所以1+ln原式得证．【点评】本题考查了指数函数、对数函数的性质，考查了转化思想及逻辑推理能力，属于中档题．20．（2024秋•温州期末）某市轨道交通S1线是全国第一条制式市域铁路，运营五年来累计客运量已突破5500万．经市场调研测算，S1线列车载客量p（t）与发车间隔t（单位：分钟）有关．当4≤t＜16时，载客量为k（16﹣t）2+50t（k为常数），且发车间隔t＝4时的载客量为344人；当16≤t≤20时列车为满载状态，载客量为800人．（1）为响应低碳出行，要求载客量达到满载的一半及以上，列车才发车，则列车发车间隔至少为多少分钟？（2）已知甲、乙两站间列车票价为2元，发一趟车的固定支出为560元，当发车间隔为多少分钟时，S1线列车在运营期间每分钟的收益最大，并求出最大值．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）列车发车间隔至少为6分钟．（2）发车间隔为16分钟时，列车在运营期间每分钟的收益最大，最大值为65元．【分析】（1）根据题意求出k的值，再求出p（t）的解析式，令p（t）≥400，即可求出t的取值范围；（2）根据题意，求出列车在运营期间每分钟的收益y关于t的函数解析式，再求出y的最大值即可．【解答】解：（1）当t＝4时，p（4）＝k（16﹣4）2+50×4＝344，解得k＝1，所以p(当4≤t＜16时，由p（t）＝（16﹣t）2+50t≥400，得t2+18t﹣144≥0，解得t≥6或t≤﹣24（舍去）；当16≤t≤20时，p（t）＝800≥400恒成立，综上，t≥6，所以列车发车间隔至少为6分钟．（2）设列车在运营期间每分钟的收益为y（t），则y(当4≤t＜16时，函数y=2则y＜2当16≤t≤20时，y(所以ymax所以发车间隔为16分钟时，列车在运营期间每分钟的收益最大，最大值为65元．【点评】本题考查函数模型的应用，考查分段函数的解析式、分段函数的最值的求法，考查运算求解能力，属中档题．

考点卡片1．由函数的单调性求解函数或参数【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．2．函数的最值【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+8x的最小值，有2x+8x②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．【命题方向】本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．3．函数的奇偶性【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．4．抽象函数的奇偶性【知识点的认识】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．【解题方法点拨】①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；②可通过赋特殊值法使问题得以解决例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；【命题方向】抽象函数及其应用．抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．5．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①alogaN=N；②logaaN＝N（a＞0loga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n6．对数运算求值【知识点的认识】对数的性质：①alogaN=N；②logaaN＝N（a＞0loga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n【解题方法点拨】﹣利用对数定义直接求值．﹣利用换底公式log﹣结合对数运算性质，如loga（mn）＝logam+logan、loga(【命题方向】常见题型包括计算对数值、简化复杂对数表达式、利用对数性质解决实际问题．计算：14lg解：原式＝lg2﹣1+33×23+lg50＝lg（2×50）﹣1+32＝lg100﹣1+9＝2故答案为：10．7．对数方程求解【知识点的认识】对数的性质：①alogaN=N；②logaaN＝N（a＞0loga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n【解题方法点拨】﹣利用对数的基本性质和运算规则，将对数方程化简为指数方程或代数方程．﹣当两边都有对数时，利用对数等式logax＝logay得到x＝y．﹣逐步化简方程，求解未知数．﹣验证解是否满足原方程．【命题方向】常见题型包括简单对数方程、复合对数方程、涉及实际应用的对数方程．方程ln（log2x）＝0的解是_____．解：∵ln（log2x）＝0，∴log2x＝1，解得x＝2，8．三角函数中的恒等变换应用【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：sinαcosα=tan2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α）＝sinα，tan（π2公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣sinα，tan（π23．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=29．函数的零点【知识点的认识】一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．【解题方法点拨】解法﹣﹣二分法①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度；②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b）⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）【命题方向】零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．10．函数零点的判定定理【知识点的认识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．【解题方法点拨】函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．11．判定函数零点的存在性【知识点的认识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．【解题方法点拨】函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．函数f（x）＝2x3﹣4x+1在区间[﹣2，2]上是否存在零点？若存在，有几个零点？解：由f（x）＝2x3﹣4x+1，得f′（x）＝6x2﹣4＝2（3x2﹣2），∴当x∈（﹣2，-63）∪（63，2）时，f′（x当x∈（-63，63）时，f′（x∴f（x）的单调增区间为（﹣2，-63），（63单调减区间为（-63，又f（﹣2）＝﹣7＜0，f（-63）=869+1＞0，f（63）=-8∴函数f（x）＝2x3﹣4x+1在区间[﹣2，2]上存在3个零点．12．由函数零点所在区间求解函数或参数【知识点的认识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．【解题方法点拨】函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．若函数f（x）＝a+log7x在区间（1，7）上有零点，则实数a的取值范围为_____．解：因为函数f（x）在区间（1，7）上为增函数，所以若函数f（x）在区间（1，7）上有零点，则f（1）＜0，f（7）＞0，所以a＜0，a+1＞0，所以﹣1＜a＜0．故答案为：（﹣1，0）．13．函数的零点与方程根的关系【知识点的认识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解题方法点拨】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【命题方向】直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．14．根据实际问题选择函