21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 课件 人教版初中数学九年级上册

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解一元二次方程第二十一章

一元二次方程*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.经历观察、猜想、验证一元二次方程根与系数的关系的过程，体会从特殊到一般的数学思想.重点：探索一元二次方程的根与系数的关系.难点：不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.学习目标1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何用判别式b2-4ac来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.b2-4ac<0时,方程无实数根.复习导入3.解下列方程并完成填空：(1)x2+3x-4=0;(2)x2-5x+6=0;(3)2x2+3x+1=0.一元二次方程两根关系x1x2x2+3x-4=0x2-5x+6=02x2+3x+1=0-4123-1x1+x2=-3x1·x2=-4x1+x2=5x1·x2=6想一想

方程的两根x1和x2与系数a,b,c有什么关系？知识点一：探索一元二次方程的根与系数的关系猜一猜（1）若一元二次方程的两根为x1，x2，则有x-x1=0，且x-x2=0，那么方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？重要发现如果方程x2+px+q=0的两根是x1，x2,那么x1+x2=-p，

x1·x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1·x2=q.探究新知猜一猜（2）通过上表猜想，如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、x2，那么，你可以发现什么结论？你能证明这个猜测吗？证一证：

一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）如果

ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，那么注意：满足上述关系的前提条件b2-4ac≥0.

归纳总结

韦达,1540年出生于法国的波亚图,他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用,人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.    历史上流传着一个有关韦达的趣事:有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王,比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战.国王于是把这个问题交给韦达,韦达当即得出一正数解,回去后很快又得出了另外的22个正数解(他舍弃了另外的22个负数解).消息传开,数学界为之震惊.同时,韦达也回敬了罗门一个问题,罗门一时不得其解,冥思苦想了好多天才把它解出来.

韦达研究了方程根与系数的关系,在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理.知识点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用例1

利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2–6x–15=0；解：这里a=1,b=–6,c=–15.

Δ

=b2-4ac=(–6)2–4×1×(–15)=96>0.

∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，

x2，那么x1+x2=–(–6)=6，

x1x2=–15.典型例题（2）3x2+7x-9=0；x1+x2=-，

x1x2=解：这里a=3,b=7,c=-9.Δ=b2-4ac=72–4×3×(-9)=157>0，∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么（3）5x–1=4x2.解：方程可化为4x2–5x+1=0，这里a=4，

b=–5，c=1.

Δ

=b2-4ac=(–5)2–4×4×1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=，

x1x2=.归纳：在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入a、b、c的值即可.1.不解方程，求下列方程两根的和与积.

解：x1+x2=3x1x2=-15解：化简得x2-x-1=0x1+x2=1x1x2=-1当堂检测2.已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2

.所以x1·x2=2x2=即x2=由于x1+x2=2+=得k=－7.答：方程的另一个根是

，k=－7.（1）

；（2）

．3．x1，x2是方程x2－5x－7＝0的两根，不解方程求下列各式的值．解：∵x1，x2是方程x2－5x－7＝0的两根，则x1＋x2＝5，x1x2＝－7．（1）．（2）总结常见的求值:4.设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.

归纳：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母应该满足△≥0.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m

-2=0.

(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围.

(2)若方程两根x1，x2满足|x1-x2|=

1，

求m的值.解：(1)方程有实数根∵m≠0，∴m的取值范围为m＞0.(2)∵方程有实数根x