2024-2025学年湖南省名校联盟常德市汉寿一中等多校高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省名校联盟常德市汉寿一中等多校高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列说法正确的是(

)A.通过圆台侧面一点，有无数条母线

B.棱柱的底面一定是平行四边形

C.用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台

D.圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形2.设集合A={2,1−a,a2−a+2}，若4∈A，则a=A.−3或−1或2 B.−3或−1 C.−3或2 D.−1或23.已知集合A={−1,2}，B={x|ax+2=0}，若A∪B=A，则实数a的取值所组成的集合是(

)A.{−1,2} B.{−1,1} C.{−2,0,1} D.{−1,0,2}4.若函数f(x)=log3ax(a>0且a≠1)在[−1,2]上的值域为[m,2]，则A.−4或−1 B.0或−2 C.−2或−1 D.−4或−25.对于实数x，规定<x>表示不小于x的最小整数，例如：<−3.5>=−3，<2.1>=3，则不等式3<x>2−13<x>+4<0成立的一个必要不充分条件是A.x∈(0,3] B.x∈[0,3) C.x∈(1,2] D.x∈(0,4]6.“2a>2b”是“logA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.函数y=ln|x|x2A.B.C.D.8.函数f(x)=ln(x2A.(−∞,−2) B.(−∞,−1) C.(1,+∞) D.(4,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.以A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标可以是(

)A.(2,3) B.(2,−1) C.(4,1) D.(−2,−1)10.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，延长边CD至点E，使得DE=CD.动点P从点A出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到A点，若AP=λAB+μAEA.当点P在线段AB上移动时，λ+μ∈[0,1]

B.满足λ+μ=1的点P有且只有一个

C.满足λ+μ=2的点P有两个

D.λ+μ最大值为311.已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x+y)+f(x−y)=f(x)⋅f(y)，且f(1)=−2，则(

)A.f(0)=2

B.f(x)为奇函数

C.f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2023)=−2

D.−2≤f(x)≤2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知1<a<4，2<b<8，则a−2b的取值范围为______．13.关于x的不等式(ax−1)2<x2恰有2个整数解，则实数a14.若(a−1)−1<(2a+1)−1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知：a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2)

(1)若|c|=25，且c//a，求c的坐标；

(2)若b=(1,1)16.(本小题15分)

某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取了100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长(单位：分钟)，并将样本数据分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组，绘制如图所示的频率分布直方图．

(1)若该校高二段有800名学生，估计该段日平均数学学习时长不低于80分钟的学生有多少名？

(2)估计该100名学生的日平均数学学习时长的平均数和第75百分位数．17.(本小题15分)已知集合A={x|x2−4x−5≥0}

(1)若a=−1，求A∩B和A∪B；

(2)若A∩B=B，求实数a的取值范围．18.(本小题17分)

设0<α<π<β<2π，向量a=(1,−2)，b=(2cosα,sinα)，c=(sinβ,2cosβ)，d=(cosβ,−2sinβ)．

(1)a⊥b，求α；

(2)若|c+d|=319.(本小题17分)

已知函数f(x)=x|x+a|(a∈R)．

(1)若函数f(x)是奇函数，求a的值；

(2)若a<0，记函数f(x)在[2,+∞)上的最小值为M(a)．

(i)求M(a)；

(ii)设函数g(x)=x2+ax+4(a∈R)满足：对任意x∈R，均存在x0∈[2,+∞)，使得g(x)=f(答案解析1.【答案】D

【解析】解：对于A，经过圆台侧面上一点只有一条母线，A错误；

对于B，棱柱的底面是多边形，不一定是平行四边形，B错误；

对于C，用一个平面平行于棱锥底面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台，C错误；

对于D，圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形，因为是轴截面，所以都是全等的等腰三角形，三角形的底边是圆锥的底面圆的直径，三角形的两腰是圆锥的母线长，D正确；

故选：D．

利用解析几何知识，根据柱锥台的相关概念逐一分析四个答案结论的真假，可得答案．

本题以命题的真假判断为载体，考查了柱锥台的基本概念，难度不大，属于基础题．2.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了集合的确定性，互异性，无序性，属于中档题．

分别由1−a=4，a2−a+2=4，求出a的值，再将【解答】

解：若1−a=4，则a=−3，∴a2−a+2=14，∴A={2,4,14}，满足；

若a2−a+2=4，则a=2或a=−1，

a=2时，1−a=−1，∴A={2,−1,4}；

a=−1时，1−a=2，不符合互异性，

则a=−3或23.【答案】D

【解析】解：∵A∪B=A，∴B⊆A，

当a=0时，B=⌀，满足条件；

当a≠0时，−a+2=0或2a+2=0，解得a=2或a=−1；

综上可得，实数a的取值所组成的集合是：{0,2,−1}．

故选：D．

根据A∪B=A可得出B⊆A，然后可讨论a是否为0：a=0时，显然满足题意；a≠0时，可得出−a+2=0或2a+2=0，然后解出a的值，从而可得出实数a的值所组成的集合．

本题考查集合的并集的运算以及集合之间的关系，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】A

【解析】解：∵函数y=log3x在(0,+∞)上单调递增，

∴函数y=ax在[−1,2]上的值域为[3m,9]．

对底数a分两种情况讨论：

①当0<a<1时，y=ax在[−1,2]上单调递减，则a−1=9，解得a=19，

则3m=a2=181，得m=−4．

②当a>1时，y=ax在[−1,2]上单调递增，

则a2=9，解得a=3或一3(舍去)，

则3m=a−15.【答案】D

【解析】解：由3<x>2−13<x>+4<0可得13<<x><4，

根据定义可得，<x>可取1，2，3，则0<x≤3，

结合选项可知，只有D符合题意．

故选：D．

解二次不等式先求出<x>6.【答案】B

【解析】【分析】本题考查对数函数的单调性，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．

分别解出2a>2b，log2a>log2b【解答】

解：当a<0或b<0时，如a=1，b=−1，满足“2a>2b”，但不能得到log2a>log2b，

反之由log2a>log2b即：a>b>07.【答案】B

【解析】解：函数y=f(x)=ln|x|x2+2的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，

且f(−x)=ln|−x|(−x)2+2=ln|x|x2+2=f(x)，故函数是偶函数，故排除选项AC；8.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查复合函数的单调性及对数函数的图象和性质．

由x2−2x−8>0得：x<−2或x>4，令【解答】解：由x2−2x−8>0得：x<−2或x>4，

即f(x)的定义域为{x|x<−2或x>4}，

令t=x2−2x−8，

y=lnt在t∈(0,+∞)内单调递增，

而x∈(−∞,−2)时，t=x2−2x−8为减函数，x∈(4,+∞)时，t=x2−2x−89.【答案】ACD

【解析】解：因为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，

以ABC三个点为顶点作平行四边形，如图所示：

设第四个顶点D的坐标为(x,y)，

若AB=DC，则(1,−1)=(3−x,2−y)，

即3−x=12−y=−1，解得x=2y=3，所以D(2,3)，选项A正确；

若AC=BD，则(3,1)=(x−1,y)，

即x−1=3y=1，解得x=4y=1，所以D(4,1)，选项C正确；

若AD=CB，则(x,y−1)=(−2,−2)，

即x=−2y−1=−2，解得x=−2y=−1，所以D(−2,−1)，选项D10.【答案】ACD

【解析】解：根据题目；菱形ABCD中，∠BAD=60°，延长边CD至点E，使得DE=CD．

动点P从点A出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到A点，若AP=λAB+μAE，

建立如图所示的平面坐标系，设菱形ABCD的边长为1，P(x,y)，则

A(0,0),B(1,0),C(32,32),D(12,32),E(−12,32)，

即AB=(1,0),AE=(−12,32),AP=(x,y)，

由AP=λAB+μAE，得(x,y)=λ(1,0)+μ(−12,32)=(λ−12μ,32μ)，

即x=λ−12μy=32μ，即λ+μ=x+3y，

①当点P在AB上时，0≤x≤1，且y=0，

即λ+μ=x+3y=x∈[0,1]，所以A正确；

②当点P在BC(不含点B)上时，则BP=mBC，

即(x−1,y)=m(12,32)，化简y=3(x−1)，

即λ+μ=x+3y=x+3(x−1)=4x−3，

因为1<x≤32，即1<4x−3≤3，即λ+μ∈(1,3]；

③当点P在CD(不含点C)上时，则12≤x<32，且y=32，

即12+32≤x+3y<32+32，即2≤x+3y<3，即λ+μ∈[2,3)；

④当点P在AD(不含点A、D)上时，则AP=nAD，

即(x,y)=n(12,32)，化简y=3x，

即λ+μ=x+3y=x+3x=4x，

因为0<x<111.【答案】ACD

【解析】解：A.令x=1，y=0，有f(1)+f(1)=f(1)⋅f(0)，得f(0)=2，A正确；

B.令x=0，得f(y)+f(−y)=f(0)⋅f(y)，f(0)=2，则f(−y)=f(y)，函数的定义域为R，所以函数f(x)为偶函数，故B错误；

C.令y=1，得f(x+1)+f(x−1)=f(x)⋅f(1)，即[f(x+1)+f(x)]+[f(x−1)+f(x)]=0，

设f(x−1)+f(x)=g(x)，则g(x+1)+g(x)=0，

所以g(x+2)=−g(x+1)=g(x)，所以函数g(x)的周期为2，

g(1)=f(0)+f(1)=2−2=0，g(3)=f(2)+f(3)=0，…，g(2023)=f(2022)+f(2023)=0，

所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2023)=0，f(0)=2，

所以f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2023)=−2，故C正确；

D.由f(x+y)+f(x−y)=f(x)⋅f(y)，f(0)=2，f(1)=−2，

令x=y=12，得f(1)+f(0)=f2(12)=0，所以f(12)=0，

将y换成x，得f(2x)+f(0)=f2(x)，①，

将x，y换成x+12，得f(2x+1)+f(0)=f2(x+12)，②，

将x换成2x+12，y换成12，得f(2x+1)+f(2x)=f(2x+12)⋅f(12)=0，③，12.【答案】(−15,0)

【解析】解：若1<a<4，2<b<8，则−16<−2b<−4，

∴−15<a−2b<0，

故答案为：(−15,0)．

由−2<b<3求得−16<−2b<−4，可得a−2b的取值范围．

本题考查不等式的性质的应用，由2<b<8，求得−2b的范围是解题的关键．也可以利用线性规划求解．13.【答案】(−3【解析】【分析】本题主要考查含参不等式的解法及不等式解集中的整数解问题．

先将原不等式转化为[(a+1)x−1][(a−1)x−1]<0，再对a分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有两个整数求出实数a的取值范围．【解答】

解：不等式(ax−1)2<x2可化为[(a+1)x−1][(a−1)x−1]<0，

①当a=1时，原不等式等价于2x−1>0，其解集为(12,+∞)，不满足题意；

②当a=−1时，原不等式等价于2x+1<0，其解集为(−∞,−12)，不满足题意；

③当a>1时，原不等式等价于(x−1a+1)(x−1a−1)<0，其解集为(1a+1,1a−1)，

∵其解集中恰有2个整数，∴2<1a−13≥1a−1，解得：43≤a<32；

14.【答案】{a|a<−2或−1【解析】解：不等式(a−1)−1<(2a+1)−1可化为1a−1<12a+1，

即1a−1−12a+1<0，

所以a+2(a−1)(2a+1)<0，

解得a<−2或−12<a<1，

15.【答案】解：(1)∵a=(1,2)，c/​/a，故可设c=λa=(λ,2λ)，由|c|=25，可得λ2+4λ2=20，

解得λ=±2，

∴c=(2,4)或(−2,−4)．

(2)∵a=(1,2)，b=(1,1)，

∴a+λb=(λ+1,λ+2)，

∵a与a+λb的夹角为锐角，

【解析】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，属于中档题．

(1)设c=λa=(λ,2λ)，由|c|=25，可得λ2+4λ2=20，解方程求得λ值．

(2)求出a+λb=(λ+1,λ+2)，由a与a16.【答案】解：(1)由(0.025+0.005)×10×800=240，可知每天数学学习时长不低于80分钟的同学约有240人；

(2)由(0.005×45+0.015×55+0.02×65+0.03×75+0.025×85+0.005×95)×10=72，

可知，100名学生数学学习时长样本的平均数约为72，

设第75百分位数为x，

因为(0.005+0.015+0.02+0.03)×10=0.7，(0.005+0.015+0.02+0.03+0.025)×10=0.95，

所以第75百分位数在80−90之间，

则0.7+(x−80)×0.025=0.75，

解得x=82，

所以100名学生数学学习时长样本的第75百分位数约为82．

【解析】(1)求得不低于80分的频率，进而可求人数；

(2)利用频率分布直方图的平均数的估计公式可求平均数，利用百分位数的定义计算可求第75百分位数．

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数和百分位数的定义，属于中档题．17.【答案】解：(1)a=−1时，集合A={x|x2−4x−5≥0}={x|x≤−1或x≥5}，

集合B={x|2a≤x≤a+2}={x|−2≤x≤1}，

∴A∩B={x|−2≤x≤−1}，

A∪B={x|x≤1或x≥5}．

(2)∵A∩B=B，∴B⊆A，

当B=⌀时，2a>a+2，解得a>2；

当B≠⌀时，a≤2a+2≤−1或a≤22a≥5，

解得a≤−3．

综上，【解析】本题考查交集和并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．

(1)由此能求出集合A={x|x2−4x−5≥0}={x|x≤−1或x≥5}，从而能求出A∩B和A∪B．

(2)由A∩B=B，得B⊆A18.【答案】解：(1)若a⊥b，则a⋅b=2cosα−2sinα=0，∴tanα=1.再由0<α<π<β