2024-2025学年安徽省淮北一中高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省淮北一中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若zi3=1−5iA.1 B.6 C.7 2.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，则△AOB的面积是(

)A.22B.4

C.23.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为(

)A.13 B.23 C.144.已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是(

)A.平均数>第60百分位数>众数 B.平均数<第60百分位数<众数

C.第60百分位数<众数<平均数 D.平均数=第60百分位数=众数5.已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，下列命题中不正确的是(

)A.若m//α，α∩β=n，则m//n B.若m//n，m⊥α，则n⊥α

C.若m⊥α，m⊥β，则α//β D.若m⊥α，m⊂β，则α⊥β6.已知平面向量a=(1,1)，b=(3,t)，若b在a方向上的投影向量为2a，则t=A.2 B.−1 C.0 D.17.下列说法正确的是(

)A.A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小

B.若P(A)+P(B)=1，则事件A与B是对立事件

C.当A，B不互斥时，可由公式P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)计算A∪B的概率

D.某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的8.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于2π3时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为2π3.如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，AB=6，AE=3，且B，A，D三点共线，设点P是△ACE内的任意一点，则PA+PC+PE的最小值为(

)A.37 B.36 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.动力电池组对新能源汽车的性能表现以及安全性影响巨大，是新能源汽车非常核心的部件．如图是刀片电池、三元锂电池和磷酸铁锂电池部分指标的雷达图，则下列说法正确的是(

)A.刀片电池的安全性更高，价格优势更突出

B.三元锂电池的缺点是循环寿命较短、价格偏高、安全性偏低

C.对于这7项指标，刀片电池的平均得分低于三元锂电池

D.磷酸铁锂电池能量密度低、低温性能好10.下列说法正确的是(

)A.复数z=2−i的虚部为−i

B.若1+i是关于x的二次方程ax2+bx+2=0(a,b∈R)的根，则1−i也是该方程的根

C.i+i2+i3+⋯+i11.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90°，且AB=BC=CC1=2，MA.AB1⊥A1M

B.异面直线A1B与B1M所成角的取值范围为(π4,π3)

C.|A1M|+|三、填空题：本题共3小题，共15分。12.已知圆锥的底面半径为2，高为42，则该圆锥的内切球表面积为______．13.已知圆O的半径为3，弦AB=3，D为圆O上一动点，则AD⋅AB的最大值为______．14.某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取60件做使用寿命的测试，则C车间应抽取的件数为______；若A，B，C三个车间产品的平均寿命分别为220，240，230小时，方差分别为20，20，30，则总样本的方差为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，b=14，c=16，sinC=437．

(1)求∠B；16.(本小题15分)

如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，D是AB的中点，AC1与A1C交于点E．

(1)求证：BC117.(本小题15分)

某机械零件工厂为了检验产品的质量，质检部门随机在生产线上抽取了100个零件并称出它们的重量(单位：克).重量按照[495,505)，[505,515)，…，[535,545]分组，得到频率分布直方图如图所示．

(1)估计该工厂生产的零件重量的平均数；(每组数据用该组的中点值作代表)

(2)估计该工厂生产的零件重量的80%分位数；

(3)按各组零件数量比例用分层随机抽样方法从样本里重量不低于525克的零件中抽取6个零件，再从这6个零件中任取2个，求这2个零件的重量均在[525,535)内的概率．18.(本小题12分)

为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q(p>q)，且在考试中每人各题答题结果互不影响，已知每题甲、乙两人同时答对的概率为12、恰有一人答对的概率为512．

(1)求p和q的值；

(2)求甲、乙两人共答3对道题的概率．19.(本小题12分)

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a,b〉.定义a与b的“向量积”为：a×b是一个向量，它与向量a，b都垂直，它的模|a×b|=|a|⋅|b|sin〈a,b〉.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，DP=DA=4，E为AD上一点，|AD×BP

参考答案1.B

2.B

3.A

4.D

5.A

6.D

7.C

8.A

9.AB

10.BCD

11.ABD

12.8π

13.27214.18

84

15.解：(1)在△ABC中，b=14，c=16，sinC=437，

由正弦定理得，bsinB=csinC，整理得：sinB=bsinCc=32，

由于0<B<π，b<c，

所以B=π3．

(2)由(1)可知在△ABC中，b=14，c=16，B=π3，

由余弦定理得，b2=16.(1)证明：连接DE，因为D是AB的中点，E是A1C的中点，所以DE//BC1，

又因为DE⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1//平面A1DC；

(2)解：若以A1D为直径的球的表面积为5π，则π17.解：(1)根据题意，(0.005+0.015+0.02+0.035+t)×10=1，解得t=0.025．

即各个小组的频率分别为0.15，0.2，0.35，0.25，0.05．

估计该工厂生产的零件重量的平均数约为500×0.15+510×0.2+520×0.35+530×0.25+540×0.05=518.5．

(2)设80%分位数为x，因为前三组频率和为0.7，前四组频率和为0.95，所以x∈[525,535)，

因此，可估计该工厂生产的零件重量的80%分位数约为525+10×0.8−0.70.95−0.7=529．

(3)由条件知6个零件中，重量在[525,535)内的零件个数为5，分别记为A，B，C，D，E；重量在[535,545]内的零件个数为1，记为f．

从中随机抽取2个，样本空间为Ω={(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,f)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,f)，(C,D)，(C,E)，(C,f)，(D,E)，(D,f)，(E,f)}，所以n(Ω)=15．

设“这2个零件的重量均在[525,535)内”为事件M，

则M={(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(C,D)，(C,E)，(D,E)}，n(M)=10，

所以18.解：(1)设A=“甲同学答对第一题”，B=“乙同学答对第一题”，P(A)=p，P(B)=q．

设C=“A∩B”，D=(A∩B−)∪(A−∩B)．

因为甲乙两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，

所以A与B相互独立，A∩B−与A−∩B互斥，

所以P(C)=P(A∩B)=P(A)P(B)=pq=12，P(D)=P(A∩B−)+P(A−∩B)=P(A)(1−P(B))+(1−P(A))P(B)=p(1−q)+(1−p)q=512，

即pq=12p+q−2pq=512p>q，解得：p=34q=23．

(2)设Ai=“甲同学答对了19.解：(1)∵在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，

∴PD⊥底面ABCD，∴易得DA，DC，DP两两相互垂直，

∴易得BC⊥平面PCD，∴平面PCD⊥平面PBC，

又DP=DA=4，E为AD上一点，

且|AD×BP|=85，AD//BC，AD=BC=4，

∴|AD×BP|=BC×BP×sin∠PBC=4×BP×PCBP=4PC=85，

∴PC=25，又DP=4，PD⊥DC，

∴AB=DC=PC2−DP2=20−16=2；

(2)若E为AD的中点，分别延长BE，CD交点F，

∵PD⊥底面ABCD，过D作DH⊥BF于点H，连接PH，

则根据三垂线定理可得∠PHD为二面角P−EB−A的补角，

又DP=DA=4，底面