第04讲充分条件与必要条件2025年升高一暑假数学讲义（人教A版2019）（原卷版）

第04讲充分条件与必要条件本讲义亮度：1构建知识体系明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础；2例题经典力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力；【题型一】判断充分条件与必要条件【题型二】根据充分、必要条件求参数范围【题型三】根据充要条件求参数【题型四】充要条件的证明3课后分层练习进一步巩固所学内容.1.理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义；2.了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系；3.能通过充分性、必要性解决简单的问题；4.能对充分条件进行证明.【题型一】判断充分条件与必要条件相关知识点讲解概念一般地，”若p，则q”为真命题，是指以p为已知条件通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果”若p，则q”和它的逆命题”若q，则p”均是真命题，②p是q的______条件(填写是否充分、必要)完成此题型，可思考从左到右，若p⇒q则充分，若p⇏q则不充分；从右到左，若q⇒p则必要，若q⇏p则不必要.③从集合的角度理解－－小范围推得出大范围(1)命题p、q对应集合若A⊆B，则p⇒q，即p是q的充分条件；若A⊈B，则p⇏q，即p不是q的充分条件.注若A⊆B，则称A为小范围，B为大范围.(2)结论若p是q的充分不必要条件，则A⊊B；②若p是q的必要不充分条件，则B⊊A；③若p是q的充分条件，则A⊆B；④若p是q的必要条件，则B⊆A.【典题1】（2025高二下·湖南株洲·学业考试）命题A：x是无理数，命题B：x2是无理数，则命题A是命题B的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典题2】（2425高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知集合A=1,4,m,B=1,m，则“m=4”是“A∪B=AA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件变式练习1（2324高一上·甘肃白银·期中）a=b是a2=bA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2（2425高一上·河南郑州·阶段练习）下列命题为真命题的是（

）A．“点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在⊙O外”的必要不充分条件B．“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的充分不必要条件C．“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的充要条件D．“x，y为无理数”是“x+y为无理数”的既不充分也不必要条件3（2025高三·全国·专题练习）已知集合A=1,a,B=1,2，则“a=2”是“A∩B=1,2A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4（2324高一上·上海杨浦·开学考试）已知a,b∈R，若α:a2+b2=0,β:ab=0，则A．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既非充分也非必要【题型二】根据充分、必要条件求参数范围【典题1】（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合A=xx2-4=0，B=xax-2=0，若x∈A是A．-1,0,1 B．-1,1 C．1 D．-1变式练习1（2324高一上·广东佛山·阶段练习）关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解的一个必要不充分条件的是（A．m<12 B．m≤14 C．2（2324高一上·广东佛山·阶段练习）集合M=x-2<x<4，N=x-3<x<a，若x∈N的充分条件是x∈M，则实数A．-2,4 B．4,+∞ C．-3,4 D．3（2526高一上·全国·课后作业）已知p:x2+x-6=0和q:mx+1=0，且p是q的必要条件，则实数mA．0 B．2或-3 C．-12或13 D．0或4（2025·河南·模拟预测）已知集合A=x|3ax-2≤0，则使得“1∈A且2∉A”成立的一个充分不必要条件是（

A．13<a<23 B．a<0 C．【题型三】根据充要条件求参数相关知识点讲解(1)充要条件的定义如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均为真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时p即是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件.(2)充要条件的含义若p是q的充要条件，则q也是p的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同.(3)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成是p是q等价.(4)命题p、q对应集合A、B，若p是【典题1】（2324高一下·湖南·期末）已知集合M=1,2,3,N=x∈Z∣x-2≤a，若x∈M是x∈NA．4 B．3 C．2 D．1变式练习1．（2425高一上·广东·期中）方程ax2+5x+4=0A．a<0 B．a>0 C．a<2 D．a<-12．（2021高一上·江苏连云港·阶段练习）“一元二次方程x2+ax+1=0有两个不相等的正实根”的充要条件是（A．a≤-2 B．a<-2C．a>2 D．a<-2或a>23（2223高一上·广东东莞·阶段练习）方程x2+kx+2=0与x2A．k=3 B．k=0 C．k=1 D．k=-3【题型四】充要条件的证明【典题1】（2025高三·全国·专题练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0【典题2】．（2324高一上·重庆沙坪坝·期中）已知△ABC的三边长为a,b,c，其中a=2.求证：△ABC为等边三角形的充要条件是b2变式练习1（2425高一上·全国·课后作业）已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a32（2425高一上·广东深圳·阶段练习）已知m是实数，集合A=1,1m(1)若m=2，请写出集合A的所有子集；(2)求证：“m=2”是“A∩B=0”3（2425高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知A是R的非空真子集，如果对任意x,y∈A，都有x+y∈A,xy∈A，则称A是封闭集．(1)判断集合B=0(2)判断“命题q：非空集合A1,A2是封闭集，则A1(3)若非空集合A是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集．【A组基础题】1.（2025高一·全国·专题练习）“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．无法判断 D．既不充分也不必要条件2（2425高一上·辽宁·期中）“a=18”是“方程ax2+x+2=0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3（2324高一上·贵州·阶段练习）“x=1”是“x4-5x2A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4（2425高一上·广东·期中）方程ax2+5x+4=0A．a<0 B．a>0 C．a<2 D．a<-15（2425高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合A=x-2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m-1.若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则A．m|m≤3 B．m|2≤m≤3 C．∅ D．m|2<m≤36（2425高一上·全国·课后作业）已知p:-4≤x-1≤6，q:-a+2≤x≤2+a，若p是q的充要条件，则实数a=．7（2024·河南·模拟预测）设函数y=a2x2+a2x+1，a∈R且8（2425高一上·江苏南京·期中）已知集合A=a1,a2,⋯⋯akk≥2，其中ai∈Zi=1,2,⋯⋯k，由A中元素可构成两个点集P和Q：P=x,yx∈A,y∈A,x+y∈A，Q=x,yx∈A,y∈A,x-y∈A，其中P中有m(1)已知集合J=0,2,4与集合K=-1,2,3和集合L=yy=x+2，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合(2)集合A具有性质G，若k=520，求：集合Q最多有几个元素？(3)试判断：集合A具有性质G是m=n的什么条件，并证明．【B组提高题】1（2223高一上·广东东莞·阶段练习）方程x2+kx+2=0与x2A．k=3 B．k=0 C．k=1 D．k=-32（2324高二下·江西南昌·阶段练习）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k，即k=5n+kn∈A．2025∈B．-2∈C．ZD．整数a、b属于同一“类”的充分不必要条件是“3（2425高一上·山东淄博·期末）已知集合A⊆N*，若集合A中存在三个元素a,b,c，同时满足:①a<b<c；②a+b>c；③a+b+c为偶数，则称集合A具有