汕头市2024-2025学年高二（下期）期末考试 数学试卷（含答案解析）

汕头市2024～2025学年度普通高中教学质量监测高二数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷选择题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.计算：（）A. B.C. D.【答案】D【详解】.故选：D.2.已知，，与的夹角为60°，则（）A. B. C. D.【答案】C【详解】由.故选：C3.学校开运动会，设是参加100m跑的同学，是参加200m跑的同学，是参加400m跑的同学，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，则下列集合的运算能说明这项规定的是（）A. B.C. D.【答案】C【详解】由题意，参加其中任意两项的同学，不可能参加第三项比赛，故，而其它各项集合运算不能说明该规定.故选：C4.以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（）A.70 B.66 C.62 D.58【答案】D【详解】由正方体共有8个顶点，从中任选4个顶点有个，其中有12种情况4点共面（6个侧面，6个对角面），所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是个.故选：D5.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【详解】由.故选：B6.音量大小用声强级（单位：dB）表示，声强级与声强I（单位：）的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强.人能承受的最大声强为1，对应的声强级为120dB.若学生早读期间读书的声音的声强级范围为（单位：dB），则下列选项中错误的是（）A.（单位：）B.学生早读期间读书的声强范围为（单位：）C.如果声强变为原来2倍，则对应声强级也变为原来的2倍D.如果声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍【答案】C【详解】由题设，可得，A对；所以，若，则，所以，B对；若，则，C错；若，则，可得，D对.故选：C7.已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【详解】令，，，，，A错；，B错；，C错；一般情况，时，，，，，此时；时，，左边，右边左边，D对；故选：D．8.设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）A. B. C. D.【答案】D【详解】设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知的展开式中的系数为15，则（）A. B.展开式中，中间项的系数为C.展开式中，奇数项的系数和为32 D.当时，的末两位数字是61【答案】ACD【详解】由题设，展开式通项为，，又，可得，A对；所以展开式通项为，，共有7项，则时为中间项，系数为，B错；由上，奇数项的系数和为，C对；时，，故末两位数字为，D对.故选：ACD10.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.在上有且只有一个极小值点C.在上递增D.方程在上所有根的和为【答案】AB【详解】由，所以最小正周期为，A对；由，则，结合余弦函数图象及极小值点定义知，区间内有且仅有一个极小值点，B对；由，则，由余弦函数的性质知在该区间内单调递减，C错；由题设或，则或，，所以，故所有根的和为，D错.故选：AB11.已知P是圆上的动点，（），线段PQ的垂直平分线交直线OP于点M，记点M的轨迹为，则下列说法正确的是（）A.当时，是抛物线B.当时，是离心率为的椭圆C.当时，是离心率为的双曲线D.若与圆O有公共点，则m取值范围为【答案】BCD【详解】A：如下图，当，则为圆与正半轴的交点，则是圆的一条弦，所以必与原点重合，即是一个点，不是抛物线，错；B：如下图，当，则在线段上，故，所以的轨迹是以为焦点，长轴长为2的椭圆，即，故离心率为，对；C：如下图，当，则在线段两侧的延长线上，且，所以的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线，即，故离心率为，对；D：由上分析，时是定点（原点），不满足；时，是以为焦点，长轴长为2的椭圆，且，显然不可能与圆O有公共点，不满足；时，是以为焦点，实轴长为2的双曲线，若时，，即双曲线左支与圆O有公共点，若时，，即双曲线不可能与圆O有公共点，所以，对.故选：BCD第Ⅱ卷非选择题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________.【答案】或【详解】因为，所以，所以当时，，即切线的斜率为2，所以由点斜式得即，联立整理得，因为切线与曲线只有一个公共点，所以方程只有一个根，当时，方程为只有一个根，满足题意；当时，，即，解得，综上或，故答案为:或.13.长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为___________．【答案】0.375【详解】设该学校人数为，依题意得，近视的人数为，玩手机超过1小时的人有，近视人数为，于是玩手机小于1小时但又近视的人数为，玩手机小于1小时的总人数为，这类人的近视率约为.故答案为：14.如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为__________.【答案】【详解】由题可得，，，所以，，，所以，故答案为:.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【小问1详解】设等差数列的公差为，由，可得，可得①，由可得，整理可得②，联立①②可得，，所以，.【小问2详解】因为，则，所以，，，上式下式得，因此，.16.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．（1）求A；（2）若，则的面积为，求的周长．【答案】（1）（2）6【小问1详解】由正弦定理得，其中，故，因为，所以，故，即，所以，因为，所以，故，解得；【小问2详解】由三角形面积公式得，故，由余弦定理得，解得，故，解得，故，周长为6.17.如图，四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点.（1）证明：平面PAB；（2）求直线CE与平面PAB间的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【小问1详解】若为的中点，连接，E为PD的中点，则且，由，，则且，故为平行四边形，所以，平面，平面，故平面；【小问2详解】由（1）知直线CE与平面PAB间的距离，即为点E与平面PAB间的距离，由，，，取的中点，连接，所以四边形为矩形，，由是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，由，且都在平面内，则平面，由，则平面，平面，则平面平面，以为原点构建空间直角坐标系，则，由平面，平面，则，在中，则，由，所以，可得，所以，，则，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，所以，所以直线CE与平面PAB间的距离为.18.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）解析：（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减.（ⅱ）若，则由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.①当时，由于，故只有一个零点；②当时，由于，即，故没有零点；③当时，，即.又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.综上，的取值范围为.19.如图，已知抛物线.点A，抛物线上