2025年四川省资阳市中考数学试卷

第1页（共1页）2025年四川省资阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）的相反数是（）A．﹣4 B． C． D．42．（4分）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，则该物体的左视图是（）A． B． C． D．3．（4分）2025年政府工作报告显示，我国2024年新能源汽车年产量突破1300万辆，将数“1300万”用科学记数法表示为（）A．13×106 B．1.3×107 C．1.3×108 D．0.13×1084．（4分）下列计算正确的是（）A．a+2a＝2a2 B．3b﹣b＝3 C．（b3）2＝b6 D．a3•a4＝a125．（4分）某年级7名教师某周使用人工智能（AI）办公的次数分别为：5，2，6，9，5，5，3．这组数据的众数和中位数分别为（）A．6，5 B．5，9 C．5，6 D．5，56．（4分）已知数轴上点A所表示的数是，则与点A相距2个单位长度的点表示的数是（）A．或 B．或 C． D．7．（4分）三角形的周长为48cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是（）A．12cm B．24cm C．28cm D．30cm8．（4分）如图，在射线BA，BC上，BN，使BM＝BN，在∠ABC内，两弧交于点D；过点D作DE∥BC交BA于点E．若∠BDE＝30°，则∠AED的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．75°9．（4分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关四而税一，次关五而税一，适重一斤．问本持金几何．”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的，第3关收税金为此时所持金的，第4关收税金为此时所持金的，五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤10．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝4，AD＝DC＝2，F是线段AB上的一个动点．现将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A′EF（如图的所有点在同一平面内），连接A′B，则△A′BC面积的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）使代数式有意义的实数x的取值范围是．12．（4分）一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．抛掷这枚骰子，则朝上一面所标的数字为奇数的概率为．13．（4分）方程的解为x＝．14．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，CE∥DA．若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是．15．（4分）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，AE，以点D为圆心、CD的长为半径作圆弧CE．16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点A（0，2），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．给出以下4个结论：①abc＜0；②对于任意实数m，am2+bm+c+a的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则OP+AP的最小值为；④若点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，满足x1＜x2且x1+x2+2＞0，则一定有y1＜y2．其中，所有正确结论的序号为．三、解答题（本大题共8个小题，共86分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）先化简，再求值：，其中a＝2．18．（10分）为丰富学生课外锻炼活动，某学校增设了A（足球）、B（篮球）（体操）、D（田径）四个锻炼项目，随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息（1）本次调查共抽取了名学生，并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，求项目C对应的圆心角度数；（3）已知选择项目D的学生是2名男生和2名女生．现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率．19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．一次函数y＝kx﹣2的图象与x轴交于点A（﹣1，0）的图象交于点B（﹣2，a），射线BO与反比例函数的图象交于点C（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△ABC的面积．20．（10分）某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包．购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元（1）问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？（2）该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元21．（11分）如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD．在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，斜坡AB的坡度i＝1：3，米，CD⊥BD．（点A，B，C，D在同一竖直平面内）．（1）求平台BN的高度；（2）求建筑物的高度（即CD的长）．22．（11分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点D作BC的平行线交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，，求⊙O的半径．23．（12分）在四边形ABCD中，E是边BC上的一点，O是对角线AC的中点．（1）如图1，四边形ABCD是正方形，连接OE，求证：OE＝OF；（2）如图2，四边形ABCD是平行四边形，AB⊥AC，，，连接AE，作EF⊥AE交CD于点F，求的值；（3）如图3，四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，连接DE交AC于点G，F是边AB上的一点，若，求OG的长．24．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A（点A在点B的左边），与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．（1）求抛物线的表达式；（2）P是抛物线上位于第四象限的一点，点D（0，﹣1），连接BC，连接PB．若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标；（3）M，N是抛物线上的两个动点，分别过点M，垂足分别为G，H．是否存在点M，N，N，G，H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长，说明理由．

2025年四川省资阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案C．DBCDABCAB一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）的相反数是（）A．﹣4 B． C． D．4【解答】解：的相反数是．故选：C．2．（4分）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，则该物体的左视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从左面看，底层是两个小正方形．故选：D．3．（4分）2025年政府工作报告显示，我国2024年新能源汽车年产量突破1300万辆，将数“1300万”用科学记数法表示为（）A．13×106 B．1.3×107 C．1.3×108 D．0.13×108【解答】解：1300万＝13000000＝1.3×102．故选：B．4．（4分）下列计算正确的是（）A．a+2a＝2a2 B．3b﹣b＝3 C．（b3）2＝b6 D．a3•a4＝a12【解答】解：a+2a＝3a，A选项错误；2b﹣b＝2b，B选项错误；（b3）4＝b6，C选项正确，符合题意；a3•a2＝a7，D选项错误，不符合题意．g故选：C．5．（4分）某年级7名教师某周使用人工智能（AI）办公的次数分别为：5，2，6，9，5，5，3．这组数据的众数和中位数分别为（）A．6，5 B．5，9 C．5，6 D．5，5【解答】解：从小到大排列此数据为：2，3，8，5，5，6，9，出现次数最多的数是5；处在中间的数是3，所以中位数为5．所以本题这组数据的众数是5，中位数为6．故选：D．6．（4分）已知数轴上点A所表示的数是，则与点A相距2个单位长度的点表示的数是（）A．或 B．或 C． D．【解答】解：当所求的点在点A的右侧时，该点所表示的数为，当所求的点在点A的左侧时，该点所表示的数为，综上所述，所求的点在数轴上所表示的数为﹣2，故选：A．7．（4分）三角形的周长为48cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是（）A．12cm B．24cm C．28cm D．30cm【解答】解：∵△ABC的周长为48cm，∴AB+BC+AC＝48cm，∵DE、DF，∴DE＝ACBCAB，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝×（AB+BC+AC）＝，故选：B．8．（4分）如图，在射线BA，BC上，BN，使BM＝BN，在∠ABC内，两弧交于点D；过点D作DE∥BC交BA于点E．若∠BDE＝30°，则∠AED的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．75°【解答】解：由作图过程可知，射线BD为∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠CBD．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC，∠CBD＝∠BDE＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠AED＝60°．故选：C．9．（4分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关四而税一，次关五而税一，适重一斤．问本持金几何．”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的，第3关收税金为此时所持金的，第4关收税金为此时所持金的，五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤【解答】解：由题意，第1关收税：，第2关收税：，剩余，第3关收税：，剩余，第4关收税：，剩余，第5关收税：，则五关税金之和为，根据题意，总税金为1斤，得，解得，故原本持金为斤，故选：A．10．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝4，AD＝DC＝2，F是线段AB上的一个动点．现将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A′EF（如图的所有点在同一平面内），连接A′B，则△A′BC面积的最小值为（）A． B． C． D．【解答】解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，∵AB∥DC，AD⊥DC，∴∠ADC＝∠DAG＝∠AGC＝90°，∴四边形ADCG是矩形，∴CG＝AD＝2，AG＝CD＝2，∵AB＝6，∴BG＝AB﹣AG＝4﹣2＝4，∴，∴当点A'到BC的距离最小时，△A'BC面积最小，过点A'作AH⊥BC交BC的延长线于点H，即当A'H最小时，∵E是线段AD的中点，AD＝6，∴DE＝AE＝AD＝，由折叠的性质得：AE＝A'E＝1，∴点A在以点E为圆心，3长为半径的半圆上运动，∴当点E，A'，A'H最小，延长AD，BC交于点M，则DN∥EH，∴△MND∽△MHE，∵CG＝BG＝2，∠BGC＝90°，∴∠ABC＝∠BCG＝45°，∵AB∥CD，∴∠DCM＝∠ABC＝45°，∵∠CDM＝180°﹣∠ADC＝180°﹣90°＝90°，∴△CDM是等腰直角三角形，∴DM＝CD＝2，，∴，EM＝DE+DM＝1+2＝6，，∵△MND∽△MHE，∴，即＝，∴EH＝，∴A'H＝EH﹣A'E＝﹣1，∴S△A'BC＝A'H•BC＝﹣1）×2，∴△A'BC面积的最小值为3﹣；故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）使代数式有意义的实数x的取值范围是x≥1．【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，∴x≥8．故答案为：x≥1．12．（4分）一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．抛掷这枚骰子，则朝上一面所标的数字为奇数的概率为．【解答】解：∵六个面分别标有数字1、2、6、4、5、7，其中奇数有1、3，∴抛掷这枚骰子，朝上一面所标的数字为奇数的率为＝．故答案为：．13．（4分）方程的解为x＝2．【解答】解：原方程去分母得：3x+9＝5x+5，解得：x＝2，检验：当x＝6时，（x+1）（x+3）≠2，故原方程的解为x＝2，故答案为：2．14．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，CE∥DA．若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是∠BCE＝∠B（答案不唯一）．【解答】解：要使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是∠BCE＝∠B（答案不唯一）∵CE∥DA，∴∠A＝∠BEC，∵∠A＝∠B，∴∠B＝∠BEC，∵∠BCE＝∠B，∴∠B＝∠BCE＝∠BEC，∴△BCE成为等边三角形．故答案为：∠BCE＝∠B（答案不唯一）．15．（4分）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，AE，以点D为圆心、CD的长为半径作圆弧CE4﹣．【解答】解：如图，连接AD，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠B＝∠BCD＝∠CDE＝120°，BC＝CD＝DE＝AB＝2，∴∠BCA＝30°，∠CDA＝∠EDA＝60°，∴∠ACD＝90°，∴AC＝＝2，则S阴影部分＝2S△ACD﹣S扇形CDE＝2××2×3﹣﹣，故答案为：4﹣．16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点A（0，2），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．给出以下4个结论：①abc＜0；②对于任意实数m，am2+bm+c+a的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则OP+AP的最小值为；④若点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，满足x1＜x2且x1+x2+2＞0，则一定有y1＜y2．其中，所有正确结论的序号为②③④．【解答】解：由图象和题意可知：a＞0，，当x＝0时，y＝c＝2，∴b＝8a＞0，∴2a﹣b＝2，abc＞0，当x＝﹣1时，函数取得最小值为：a﹣b+c，∴对于任意实数m，am7+bm+c+a≥a﹣b+c+a＝2a﹣b+c＝c＝2，∴am6+bm+c+a的值不小于2，故②正确；作点O关于对称轴的对称点O'，连接O'A，则：O'（﹣2，6），∴当点P在O'A上时，OP+AP的值最小为O'A的长，∵A（0，2），∴，∴OP+AP的最小值为，故③正确；∵抛物线的开口向上，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵点（x1，y7），（x2，y2）在抛物线上，满足x5＜x2且x1+x4+2＞0，∴，∴点（x2，y2）离对称轴远，∴y6＜y2，故④正确；故答案为：②③④．三、解答题（本大题共8个小题，共86分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）先化简，再求值：，其中a＝2．【解答】解：原式＝•＝•＝；当a＝7时，原式＝＝3．18．（10分）为丰富学生课外锻炼活动，某学校增设了A（足球）、B（篮球）（体操）、D（田径）四个锻炼项目，随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息（1）本次调查共抽取了80名学生，并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，求项目C对应的圆心角度数；（3）已知选择项目D的学生是2名男生和2名女生．现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率．【解答】解：（1）本次调查共抽取了32÷＝80（名）学生．选择C项目的人数为80﹣32﹣28﹣4＝16（人）．补全条形统计图如图所示．故答案为：80．（2）项目C对应的圆心角度数为360°×＝72°．（3）列表如下：男男女女男（男，男）（男，女）（男，女）男（男，男）（男，女）（男，女）女（女，男）（女，男）（女，女）女（女，男）（女，男）（女，女）共有12种等可能的结果，其中抽到两名性别相同的学生的结果有4种，∴抽到两名性别相同的学生的概率为．19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．一次函数y＝kx﹣2的图象与x轴交于点A（﹣1，0）的图象交于点B（﹣2，a），射线BO与反比例函数的图象交于点C（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx﹣2的图象与x轴交于点A（﹣1，7），∴0＝﹣k﹣2，解得k＝﹣4，∴一次函数的表达式为y＝﹣2x﹣2．∵一次函数y＝﹣5x﹣2过点B（﹣2，a），∴a＝﹣7×（﹣2）﹣2，∴a＝4，∴B（﹣2，2），∵反比例函数的图象过点B（﹣2，∴，解得m＝﹣3，∴反比例函数的表达式为；（2）点B与点C关于原点成中心对称，C（2，过点B（﹣8，2）作BE⊥x轴于点E，﹣2）作CD⊥x轴于点D，∴BE＝7，CD＝2，∵A（﹣1，2），∴AO＝1，∴S△ABC＝2S△AOB＝＝2．20．（10分）某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包．购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元（1）问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？（2）该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元【解答】解：（1）设购买一份A款材料包需x元，购买一份B款材料包需y元，根据题意得：，解得：．答：购买一份A款材料包需16元，购买一份B款材料包需18元；（2）设购买A款材料包m份，则购买B款材料包（50﹣m）份，根据题意得：16m+18（50﹣m）≤830，解得：m≥35，∴m的最小值为35．答：至少购买A款材料包35份．21．（11分）如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD．在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，斜坡AB的坡度i＝1：3，米，CD⊥BD．（点A，B，C，D在同一竖直平面内）．（1）求平台BN的高度；（2）求建筑物的高度（即CD的长）．【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AM于E，∵斜坡AB的坡度为1：3，∴＝，∴AE＝3BE，在Rt△ABE中，AB6＝BE2+AE2，即（10）7＝BE2+（3BE）6，解得：BE＝10，答：平台BN的高度为10米；（2）如图，延长CD交AM于F，则CF⊥AM，∴四边形BEFD为矩形，∴DF＝BE＝10米，BD＝EF，设CD＝x米，则CF＝（x+10）米，在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，∵tan∠CAF＝，∴＝，∴AF＝（x+10）米，在Rt△CBD中，∠CBD＝60°，则BD＝＝x米，由（1）可知：AE＝5BE＝30米，∴（x+10）﹣，解得：x＝15﹣15，答：建筑物的高度为（15﹣15）米．22．（11分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点D作BC的平行线交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，∴∠ODA＝∠BAD，∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵AB是⊙O的直径，DE∥BC，∴∠E＝∠ACB＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（2）解：设OD交BC于点F，∵∠ACB＝90°，∴∠FCE＝90°，∵∠FDE＝∠E＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴DF＝CE＝，∠CFD＝90°，∵OD∥AC，∴∠BOD＝∠BAC＝60°，∵OD＝OB，∴△DOB是等边三角形，∵BC⊥OD于点F，∴OF＝DF，∴OD＝2DF＝5，∴⊙O的半径是2．23．（12分）在四边形ABCD中，E是边BC上的一点，O是对角线AC的中点．（1）如图1，四边形ABCD是正方形，连接OE，求证：OE＝OF；（2）如图2，四边形ABCD是平行四边形，AB⊥AC，，，连接AE，作EF⊥AE交CD于点F，求的值；（3）如图3，四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，连接DE交AC于点G，F是边AB上的一点，若，求OG的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵ABCD是正方形，OF⊥OE，∴OD＝OC，∠COD＝∠EOF＝90°，∴∠DOF＝∠COE，∴△OCE≌△ODE（ASA），∴OE＝OF；（2）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，∵AC⊥AB，，∴，∴，∵BE：EC＝1：2，∴CE＝2，又∵S平行四边形ABCD＝AB•AC＝BC•AG，∴，又∵，∴，∴，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠FCH＝∠FCH+∠CFH＝90°，∴∠ACB＝∠FCH，∴tan∠CFH＝tan∠ACB＝2，即，设CH＝a，则FH＝2a，∴，同理可得，即，解得，∴，又∵O是AC的中点，∴，∴，∴；（3）过点D作DP⊥BA于点P，作DQ⊥BC于点Q，设CE＝x，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，DC∥AB，∴∠PAD＝∠DCQ＝∠B＝60°，∴∠ADP＝∠CDQ＝30°，∴AP＝CQ＝3，，∵．∴AF＝2，∴PF＝PA+AF＝8，∴DF2＝DP2+PF6＝27+25＝52，DE2＝DQ2+QE6＝27+（3+x）2，在射线CA上截取AM＝AF＝2，在射线AC上截取CN＝CE＝x，∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC，∠BAC＝∠DAC＝∠D＝60°，∴∠MAD＝∠FAD＝120°，AC＝AB＝6，又∵DA＝DA，∴△ADM≌△ADF，∴DM＝DF，∠MDA＝∠FDA，同理：DN＝DE，∠NDC＝∠EDC，∴∠MAF+∠EDN＝2（∠ADF+∠EDC）＝8（∠ADC﹣∠EDF）＝2×（60°﹣30°）＝60°，∴∠MDN＝90°，∴DM2+DN2＝MN2，即DF2+DE2＝MN2，∴52+27+（3+x）2＝（2+6+x）4，解得CE＝2.4，又∵CE∥AD，∴∠BCA＝∠CAD，∠CEG＝∠ADG，∴△CEG∽△ADG，∴，即，解得：，又∵O是AC的中点，∴OC＝3，∴．24．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A（点A在点B的左边），与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．（1）求抛物线的表达式；（2）P是抛物线上位于第四象限的一点，点D（0，﹣1），连接BC，连接PB．若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标；（3）M，N是抛物线上的两个动点，分别过点M，垂足分别为G，H．是否存在点