新课预习-2.3 直线的交点坐标与距离公式（教师版）-新高二暑假衔接

2.3直线的交点坐标与距离公式【划重点】1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标2．掌握两点间距离公式并会应用.3．掌握点到直线距离的公式，会用公式解决有关问题.4．掌握两条平行直线间的距离公式，并会求两条平行直线间的距离．【知识梳理】知识点一两条直线的交点1．两直线的交点已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)．(1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0.(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0.))2．两直线的位置关系方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行知识点二两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关．(2)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).知识点三点到直线的距离、两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长图示公式(或求法)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【例题详解】一、求相交直线的交点坐标例1(1)经过直线与直线的交点，且平行于直线的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出两直线的交点坐标，可设所求直线的方程为，将交点坐标代入求得，即可的解.【详解】解：由，解得，即两直线的交点坐标为，设所求直线的方程为，则有，解得，所以所求直线方程为，即.故选：B.(2)直线l1：和l2：的交点的坐标为．【答案】【分析】联立两直线方程解方程组即可.【详解】解方程组得所以两条直线交点的坐标为.故答案为：跟踪训练1(1)过原点和直线与的交点的直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出两直线的交点，从而可得所求的直线方程.【详解】由可得，故过原点和交点的直线为即，故选：C.(2)已知直线l1：与l2：相交于点，则．【答案】﹣1【分析】把分别代入直线l1和直线l2的方程，可得和的值，从而得解．【详解】解：把分别代入直线l1和直线l2的方程，得，所以，所以．故答案为：-1．二、两点间的距离例2(1)已知点，则为（

）A．5 B． C． D．4【答案】A【分析】由距离公式求解.【详解】.故选：A(2)点到直线的距离为，则的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】A【分析】首先确定直线所过的定点，然后确定d的最大值即可.【详解】直线方程即，据此可知直线恒过定点，当直线时，有最大值，结合两点之间距离公式可得的最大值为.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查直线恒过定点问题，两点之间距离公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.跟踪训练2(1)光线从点射到轴上，经轴反射以后过点，光线从A到B经过的路程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出点关于轴的对称点为，再计算即为所求.【详解】点关于轴的对称点为，则光线从A到B经过的路程为的长度，即.故选：C.(2)已知三点，且，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用两点间的距离公式列方程计算即可【详解】由两点间的距离公式，及可得：，解得.故选：A三、点到直线的距离例3(1)在平面直角坐标系中，原点到直线的距离等于（

）A．1 B． C． D．3【答案】B【分析】直接由点到直线的距离公式求解即可.【详解】原点到直线的距离为.故选：B.(2)已知点在直线上的运动，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案.【详解】表示点与距离的平方，因为点到直线的距离，所以的最小值为．故选：A跟踪训练3(1)点P为直线上任意一个动点，则P到点的距离的最小值为.【答案】3【分析】先判断出当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，再由点到直线的距离求解即可.【详解】由题意得当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，此时距离等于点到直线的距离，故P到点的距离的最小值为3.故答案为：3.(2)若直线m经过直线与直线的交点，且点到直线m的距离为1，则直线m的方程为．【答案】或【分析】先求出交点坐标.讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线的距离为1，即可求出直线.【详解】方法一：由，得两直线的交点坐标为．当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，则，解得，此时直线m的方程为；当直线m的斜率不存在时，，点到直线m的距离等于1，满足条件．综上，直线m的方程为或．方法二：设直线m的方程为，即，则，解得或，所以直线m的方程为或．故答案为：或四、两平行线间的距离例4(1)两条平行线，间的距离等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用两平行线间的距离公式求解即可.【详解】依题意，将直线变为，又，所以两平行线间的距离为.故选：A.(2)直线与直线平行，则.【答案】2【分析】根据两直线平行的充要条件即可求解.【详解】法一：两直线平行，则；法二：两直线平行，，则,故答案为：.跟踪训练4(1)已知直线，相互平行，则、之间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两直线平行得到关于a的方程，求出的值，再由两平行线之间的距离公式计算即可.【详解】因为直线，相互平行，所以，解得，所以，即，所以、之间的距离.故选：A.(2)若直线与之间的距离为，则a的值为（

）A．4 B． C．4或 D．8或【答案】C【分析】将直线化为，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可.【详解】将直线化为，则直线与直线之间的距离，根据题意可得：，即，解得或，所以a的值为或.故选：C五、距离的综合应用例5在平面直角坐标系中，从点发出的光线射向x轴，经x轴反射到直线上，再反射经过点，则光线由P到Q经过的路程长为．【答案】【分析】根据题意画出图形，设光线自点射向x轴上的点，经过反射后射向直线上的点，再经过反射后射向点，作出点关于轴的对称点,点关于直线的对称点，然后根据对称的关系可求得答案【详解】如图，设光线自点射向x轴上的点，经过反射后射向直线上的点，再经过反射后射向点，点关于轴的对称点,点关于直线的对称点，则，，所以光线由P到Q经过的路程长为,故答案为：例6已知直线：．（1）已知点，若点到直线的距离为，求的最大值并求此时直线的方程；（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，求的面积的最小值并求此时直线的方程．【答案】（1）最大值5，此时：；（2）面积最小值为4，此时直线的方程为．【解析】（1）注意到直线必过点，故点到直线的距离为满足，当且仅当垂直于直线，垂足为时，再根据等号成立解得，进而得此时直线方程.（2）根据题意得以，，且，进而得的面积，再根据基本不等式求解即可.【详解】解：（1）因为点到直线的距离为，于是有，由直线：的表达式变形得：，所以直线必过点，根据点与直线间的关系可知，于是当且仅当垂直于直线，垂足为时，点到直线的距离取最大值，此时有，解得，代入直线方程，得到：．（2）依题意，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，且，所以，，故，当且仅当，即时取等号，故的最小值为4，此时直线的方程为．【点睛】本题考查直线的方程的求解，考查回归转化思想与运算求解能力，是中档题.本题第一问解题的关键在于发现直线必过点，进而得；第二问解题的关键是根据题意得，，，进而利用基本不等式求解即可.跟踪训练5点到直线的距离的取值范围为．【答案】【分析】由点到直线的距离公式结合辅助角公式求得距离为，再由正弦函数的最值求得距离的取值范围即可.【详解】记为点到直线的距离，则，其中；当变化时，的最大值为5，最小值为，则的最大值为的最小值为，即距离的取值范围为.故答案为：.跟踪训练6已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，（1）求反射光线所在的方程；（2）在直线l上求一点P，使；（3）若点Q在直线l上运动，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根据题意，求出点A关于直线l的对称点C的坐标，反射光线为直线CB，两点式写出方程，化简整理成一般式方程；（2）点是线段AB的垂直平分线与l的交点，求出线段AB的垂直平分线，解方程组求交点坐标即可；（3）设，整理之后为，转化为求的最小值，进而转化为AB的中点D到直线l的距离的平方求解．【详解】（1）设线段AB中点D，点A关于直线l的对称点，直线AC与直线l交于，因为直线AC与直线l垂直，并且过点A，所以其方程为，即，由，，解得，，即M坐标为．因为A、C两点关于直线l对称，所以关于点M对称，所以，，所以根据光线反射定律，反射光线经过B、C两点，由直线的两点式方程得：直线BC方程为，即反射光线所在直线的方程为设线段AB的垂直平分线为m，因为，所以点P在直线m上，又因为点P在直线l上，所以点P为直线l与m交点，由，的坐标可知，线段AB中点，直线AB斜率为，所以其垂直平分线m斜率，因其经过点D，由直线的点斜式方程得直线m的方程为，即．与直线l的方程联立解方程组得P点坐标为设点Q坐标为，令，则，当且仅当最小时，u取得最小值.即点Q到线段AB中点D距离最小，因为点Q在直线l上，所以点Q是点D在直线l上的射影，此时DQ是点D到直线l的距离，由点到直线距离公式得．所以．【课堂巩固】1．斜率为2，且过直线和直线交点的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】求出两直线的交点坐标，根据点斜式可得结果.【详解】联立，解得，所以两直线的交点坐标为，所求直线方程为.整理为.故选：A【点睛】本题考查了求两直线的交点，考查了直线方程的点斜式，属于基础题.2．已知、，点M在x轴上，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得点A关于x轴的对称点的坐标，由两点之间线段最短，可得选项．【详解】如图，点A关于x轴的对称点为，则当点M为与x轴的交点时，取得最小值，即.故选：B．【点睛】本题考查点关于线的对称点和两点间的距离公式的应用之最短距离，属于基础题．3．若点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出的坐标，用点坐标求得的坐标，由此求得.【详解】线段的中点为，设，所以，所以.故选：A4．已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为（

）A．－3 B．3 C．－1 D．－3或3【答案】D【分析】方法一：根据点到线的距离公式求解即可，方法二：数形结合分析可得直线或AB的中点在直线l上，再分别计算即可.【详解】方法一

由题意得，即，所以或，解得或．方法二

因为A，B两点到直线l的距离相等，则直线或AB的中点在直线l上，则或，得或3．故选：D5．（多选）与直线平行且到的距离等于的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用平行线间的距离公式即可求解.【详解】设所求直线方程为，由题意得，解得：或，故所求直线方程为：或.故选：AB.6．（多选）对于直线.以下说法正确的有（

）A．的充要条件是B．当时，C．直线一定经过点D．点到直线的距离的最大值为5【答案】BD【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D.【详解】当时，解得或，当时，两直线为，符合题意；当时，两直线为，符合题意，故A错误；当时，两直线为，，所以，故B正确；直线即直线，故直线过定点，C错误；因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为，故D正确，故选：BD.7．三条直线构成一个三角形，则的取值范围是．【答案】且【分析】排除，及交于一点的情况，即可得解.【详解】由得，由得，由得，若在上，则．故若能构成一个三角形，则．故答案为：且.8．两条平行直线与之间的距离为．【答案】【分析】根据平行线间距离公式即可求解.【详解】两直线分别为，由平行线间距离公式可得，故答案为：9．已知直线l经过点，.(1)求直线l的方程；(2)若直线m与l平行，且它们间的距离为4，求直线m的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用直线方程的两点式.（2）利用待定系数法求直线方程.（1）由直线方程的两点式，得，∴直线l的方程为.（2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为，由平行直线间距离公式得，解得或.∴直线m的方程为或.10．已知直线.(1)当a=1时，求两直线的距离；(2)若.求a的值；(3)写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值.【答案】(1)；(2)；(3)；【分析】（1）利用两平行线间的距离公式求解即可；（2）利用两直线垂直时斜率的关系求解即可；（3）先利用点到直线的距离公式，再分析最小值即可求解【详解】（1）当a=1时，，所以两直线的距离为；（2）若，则，解得；（3）原点到直线的距离为，当时，【课时作业】1．若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．或【答案】C【分析】求出两直线的交点坐标，再根据交点在第一象限建立不等式组求解.【详解】方法一：由直线，有交点，得．由，得，即交点坐标为．又交点在第一象限内，所以，解得．方法二：由题意知，直线过定点，斜率为k，直线与x轴、y轴分别交于点，．若直线与的交点在第一象限内，则必过线段AB上的点（不包括点A，B）．因为，，所以．故A，B，D错误.故选：C．2．过直线：与：的交点，并与垂直的直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，求得交点，再根据所求直线与垂直，得到斜率，写出直线方程.【详解】由，解得，所以交点为，又所求直线与垂直，所以，所以所求直线方程为：，即，故选：B【点睛】本题主要考查直线的交点与两直线位置关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．直线与直线相交，则实数k的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．且【答案】D【分析】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解作答.【详解】因直线与直线相交，则，即，解得且，所以实数k的值为且.故选：D4．已知直线：与直线：的交点为，则点与点间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题联立得，再根据距离公式求解即可.【详解】解：联立方程，解得，所以，所以故选：D5．已知三角形的三个顶点，则过A点的中线长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出BC的中点D的坐标，再利用两点间的距离公式求解即可【详解】设过A点中线长即为线段AD.D为BC中点：，即D（4，2）∴故选：B.6．在直角坐标平面内，与点距离为2，且与点距离为3的直线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【分析】根据直线是否存在斜率，分类讨论，利用点到直线距离公式进行求解即可.【详解】当直线不存在斜率时，设为，由题意可知：且，没有实数使得两个式子同时成立；当直线存在斜率时，设直线方程为：，点到该直线的距离为2，所以有，点到该直线的距离为3，所以有，由得：或，当时，代入中，得，该方程的判别式，该方程有两个不相等的实数根，当时，代入中，得，该方程的判别式，该方程有两个相等的实数根，所以这样的直线共有三条，故选：C.【点睛】关键点睛：本题的关键是解方程组.7．已知点到直线的距离为1，则m的值为（

）A．或 B．或15 C．5或 D．5或15【答案】D【分析】利用点到直线距离公式即可得出.【详解】解：点到直线的距离为1，解得：m=15或5．故选：D.8．已知实数x，y满足，那么的最小值为（

）A．5 B．10 C． D．【答案】A【分析】可以看作是与原点的距离的平方，接着利用点到直线的距离公式即可求出答案【详解】解：可以看作直线上的动点与原点的距离的平方，又原点与该直线上的点的最短距离为原点到该直线的距离，则的最小值为，故选：A9．(多选)已知三条直线x－2y＝1，2x＋ky＝3，3kx＋4y＝5相交于一点，则k的值为（

）A．－ B．－1 C．1 D．【答案】AC【分析】由任意两个直线方程联立方程组求出交点坐标，再由其会标代入第三个方程中可求出k的值【详解】解：由，得，所以三条直线的交点为，所以，化简得，解得或，故选：AC10．（多选）已知点到直线的距离相等，则实数m的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据点到直线距离公式进行求解即可.【详解】因为点到直线的距离相等，所以有，化简得：，解得，或，故选：AC11．点到直线的距离为.【答案】【分析】由点到直线的距离公式计算．【详解】由已知所求距离为．故答案为：．12．若两条平行直线：与：间的距离为2，则.【答案】或【分析】根据两平行线见距离公式运算求解.【详解】由题意可得：，解得或.故答案为：或.13．已知直线，，则直线与之间的距离最大值为.【答案】5【分析】分别求出直线，过的定点，，当与两直线垂直时距离最大，且最大值为，由此即可求解．【详解】直线化简为：，令且，解得，，所以直线过定点，直线化简为：，令且，解得，，所以直线过定点，，当与直线，垂直时，直线，的距离最大，且最大值为，故答案为：5．14．已知直线在两坐标轴上的截距相等，且点到直线的距离为，则直线的条数为.【答案】4【分析】依题意，分两种情况讨论，截距都为零以及截距不为零，利用点到直线的距离公式计算可得；【详解】解：由题意知，若直线在两坐标轴上的截距为0，则设所求直线的方程为.由题意知，解得或，此时直线的方程为或.若直线在两坐标轴上的截距不为0，则设所求直线的方程为.由题意知，解得或，此时直线的方程为或.综上，所求直线的方程为或或或，故有4条直线.故答案为：4【点睛】本题考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题.15．在中，已知，，.（1）求边所在的直线方程；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由直线方程的两点式可得；（2）先求直线方程，再求到的距离，最后用面积公式计算即可.【详解】（1），，边所在的直线方程为，即；（2）设到的距离为，则，，方程为：即：..16．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为，，.(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标.(2)求四边形ABCD的面积.(3)求边AB上的高所在直线方程.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】(1)利用平行四边形的性质结合中点坐标公式计算得解.(2)求出直线BC的方程，再求出顶点A到直线BC的距离及线段BC的长即可计算得解.(3)求出直线AB的斜率即可求得边AB上的高所在直线方程.【详解】（1）的顶点，，，则对角线AC中点为，于是得对角线BD的中点是，设，因此有，，解得：，所以平行四边形ABCD的顶点.（2）因，，即有直线BC斜率，直线BC的方程：，即，因此，点A到直线BC的距离为，而，从而得，所以四边形ABCD的面积为.（3）依题意，直线AB的斜率，则边AB上的高所在直线的斜率为，于是有：，即.所以边AB上的高所在直线的方程为.17．已知两直线l1与l2，直线l1经过点（0，3），直线l2过点（4，0），且l1∥l2．(1)若l1与l2距离为4，求两直线的方程；(2)若l1与l2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．【答案】(1)l1：7x﹣24y+72＝0，l2：7x﹣24y﹣28＝0或l1：x＝0，l2：x＝4(2)最大距离为5；l1：4x﹣3y+9＝0，l2：4x