动力学基础 课件 26-刚体动力学2-对称刚体

刚体动力学

惯性矩阵、惯性张量刚体定点运动的动量矩和动能刚体一般运动的动力学方程一般刚体定轴转动的动力学方程轴对称刚体的定点自由转动重刚体定点运动的积分问题欧拉情况下的刚体永久转动陀螺基本公式及陀螺近似理论对固定点的动量矩定理应用时需要写成分量形式，方程具体形式依赖于坐标系的选择。刚体定点运动动量矩定理在惯性系OXYZ中有：动量矩定理对惯性坐标系成立。这里的惯量矩阵随时间变化，需要解变系数常微分方程组。另外，在很多工程问题中（如卫星姿态控制），外力矩在固连系中的分量是已知或待求的。对点O的动量矩定理在固连系Oxyz中有：欧拉动力学方程三维刚体动力学的基本方程若Oxyz是主轴坐标系，设：一般情况下：刚体质心的运动：刚体绕质心的定点运动：刚体一般运动的动力学方程由这两个方程可知：只要作用在刚体上的两个力系的主向量和对质心的主矩相等，则在刚体的运动微分方程完全相同。此时，只要初始条件相同，刚体在任意时刻的运动完全相同。因此这两个力系等效。轴对称刚体的定点自由运动轴对称刚体对称刚体自由运动（外力矩为0）研究对飞行器的稳定控制等具有重要意义。对称刚体在它固连对称坐标系中的惯量矩阵为：刚体角速度在该坐标系中的分量为：轴对称刚体的定点自由运动另一方面根据OZ轴在Oxyz中投影可得设刚体惯量满足A=B，固联系Oxyz的Oz轴为刚体对称轴，O为刚体质心。取惯性坐标系OXYZ。由于动量矩守恒，为常向量，可以令OZ沿着

的方向。一方面

在Oxyz中列阵为OXYZ到Oxyz的变换矩阵（3-1-3转动）坐标变换矩阵进动角，章动角，自转角由欧拉方程：由此得利用运动学公式：即进动角速度为常数。即(章动角不变)，并且由为常数可知即自转角速度为常数。刚体定点运动过程中，如果自转、进动角速度和章动角都为常数，则称规则进动。轴对称刚体的定点自由运动是规则进动。动量矩、角速度、z轴总是在同一个平面内。动量矩、角速度、z轴几何关系空间锥与本体锥章动角：能量椭球、动量矩椭球假设动量椭球上的角速度轨线示意图刚体永久转动：角速度向量相对刚体不变的运动。角速度相对刚体不变可见，永久转动只能是绕惯性主轴进行。欧拉情况下的刚体的永久转动刚体运动欧拉情况：外力矩为0的情况。刚体永久转动稳定性对于欧拉情况，存在绕三个主轴的三种永久转动，但是否都可以在物理上实现，要看其稳定性如何。

某个运动是稳定的是指：与此运动相应的初值受到扰动产生的微小变化，不会使以后时刻的运动产生显著变化。由于扰动是无法避免的，因此只有稳定的运动在物理上可以实现。例如单摆的平衡位置，数学上有两个（摆角为0和180度），但稳定的只有一个（摆角为0度）。稳定性：定性分析用一种简单的方法研究欧拉永久转动稳定性。设欧拉永久转动为在初始时刻永久转动受到扰动，不再为零，而是小量，也偏离某一个小量。不妨设研究在以后的运动中，是否还是小量。如果是，则运动稳定，否则运动不稳定。稳定性：理论分析将代入欧拉方程得：第一、二式分别乘以，相加，并对时间积分得：可见，只要C>A

且C>B，则初始很小的在以后的任何时候都是小量。再根据刚体的能量守恒：可知在以后的任何时候也将是小量。这表明：刚体绕最大或最小惯性主轴的永久转动是稳定的。该结论的严格证明可利用Lyapunov运动稳定性理论给出。另外，利用稳定性理论还可以证明：刚体绕中间惯性轴的永久转动不稳定。对非理想刚体，如果考虑阻尼稳定性结论会如何？能量耗散情况下稳定性定性证明只要绕最大轴旋转，在加上内部阻尼器，能够使卫星稳定单轴自旋。当系统存在内部能量消耗时绕最小的自旋是不稳定的，而绕最大轴的自旋才是稳定的已经最大轴旋转了，还有能量耗散如何？自旋稳定卫星设计的最大轴原则若考虑阻尼，绕最小惯性主轴的永久转动也不稳定Спутник-1,1957年10月4日发射Explorer-1,1958年1月31日发射，数小时后翻转90度。我国实践1号：1971年3月3日发射，入轨后未收到遥测信号，8天后信号突然出现，卫星工作完全正常。鞭状天线斯坦福大学的RonaldBracewell教授曾指出Sputnik一定是绕最大轴旋转的。于是他打电话给JPL，想确认Explorer-I卫星是否考虑了绕最小轴旋转失稳的可能，但是以保密为理由JPL没有和他通话，没有听他的建议。JPL于1958年发射的Explorer-I卫星设计程绕最小轴旋转自旋稳定，发射不久失稳失败。例1：轴对称刚体的自由运动已知刚体初始角速度为：惯量矩阵为：无外力矩作用,单位为国际单位。建立固定惯性系以L为Z轴，初始X轴与x轴一致。求10s后:(1)刚体对固定惯性系的欧拉角;(2)刚体的角速度；(3)角速度在该惯性系中的投影。解建立固定惯性系以L为Z轴，初始X轴与x轴一致。由于是自由对称刚体，得上述设置对应3-1-3转动。则初始条件为：由于是自由对称刚体，得证明：对于刚体定点运动的欧拉情况，当A=B<C时，与的夹角满足条件证：设