动力学基础 课件 18-变质量系统动力学；19-分析动力学1-达朗贝尔原理

变质量系统动力学本章研究的模型对象：变质量系统：质量随时间连续变化的质点系。火箭是工程中最典型的变质量系统。例：自然界的变质量系统雨滴下降过程中由于蒸发而质量变小，由于水汽凝结使质量增加；浮冰在天热时由于溶解而质量变小，也会由于下雪而质量变大。变质量系统

：从零时刻到t时刻离开系统的质量，

：从零时刻到t时刻进入系统的质量，

是时间的非负、非递减、连续可微函数。设质点系的质量M(t)在t=0时为。在任意时刻为上面子弹打入墙内是否满足上述可微的要求？模型假设我们涉及到变质量质点系、质点、刚体三种对象。设S是惯性系中运动的封闭曲面，在运动(包括变形)中有质点并入或离开S围成的区域。变质量系统动量定理的推导设在某固定时刻,S内有：（1）变质量质点系Q

，其动量为P。另外，与S区域内有状态完全重叠的：

（2）常质量质点系，其动量为。

由于在此时二者重合：S经过时间

后，质系Q和的动量分别变为：和显然：

是内离开S的部分质量

的动量。

是

内进入S的部分质量

的动量。S有：对常质量系用动量定理：

是t

时刻作用在上的外力主向量。F

称为反推力。如何借助牛顿第三定律理解反推力？F1是分离质量引起的反推力；F2是并入质量引起的反推力。设O为惯性空间不动点，同上可推出：M

称为反推力矩。

变质量系统动量矩定理对质心如何？记变质量质点(质点是一种模型，不一定是几何点，火箭也可以作为变质量质点研究)为Q。设是t时刻离开Q的部分质量的绝对速度，是t时刻并入Q的部分质量的绝对速度。则是内离开Q的质量

是内并入Q的质量，则变质量质点的运动是从0到t

时刻离开Q的质量之和，

是从0

到t时刻并入Q的质量之和。而，

v为质点Q留下部分质心的绝对速度。称为广义密歇尔斯基方程。1)若

，即只有分离质量，没有并入质量，则2)若

，即只有并入质量，没有分离质量，则讨论方程火箭是典型的例子。3)若且，则即当没有并入质量，只有分离质量，并且其绝对速度为零时，质点动量对时间导数等于外力。4)若

且

，则即当没有并入质量，只有分离质量，并且其相对速度为零时，质系动量定理的形式与常质量系统相同。注意：这个结论对一般变质量系统不成立。例1雨滴开始下落时的质量为m0，在下落过程中，单位时间内凝结其上水汽质量λ为常数。不计空气阻力。求雨滴速度。根据题意：例2水流流量为q，速度为u，角度为ϴ。开始时车静止，质量m0，不计摩擦。求车速度。根据题意：设火箭在太空中运动，不受任何外力作用R=0

其中

是燃料向后喷射的相对速度，设与共线，取公共作用线为Ox轴，则例3火箭的运动若

，则当燃料燃完时（t=T），火箭速度为火箭发动机比冲的概念：齐奥尔科夫斯基火箭公式。例4：链条自由下落

已知：链条的密度、长度为：ρ、l。

求：链条自由下落时，磅秤的指示。

磅秤指示为已落于磅秤上的链条重量的三倍。解法一：考虑已落到磅秤上的链条为变质量质点，加入质点的绝对速度与相对速度均为

。由于链条下落时各环相互不挤压，故各环均为自由落体。下落x距离后有解法二：取链条整体为研究对象，应用质系动量定理求解。质系动量：质系动量定理：

，所以

N=3ρxg。定义：变质量刚体是指质点之间距离不变，且至少有一个质点是变质量质点的质系。设第i个质点的质量为其中是从零时刻到t时刻离开i质点的质量。是从零时刻到t时刻并入i质点的质量。变质量刚体的运动我们已经给出了变质量质系的动量矩定理：设O为惯性空间不动点，则对于刚体：分别为分离、并入第i个质点的质量的绝对速度。设分别是分离、并入第i个质点的质量的相对第i个质点的速度。则：作定轴转动的变质量刚体的运动微分方程为变质量刚体的运动微分方程为上式第二项成为：注意到：卫星消旋问题：设卫星消旋过程中每秒钟消耗燃料为q，燃料喷射速度为u，初始时刻卫星绕自转轴的转动惯量和自旋角速度为，假设卫星为环形刚体。求消旋到零角速度需多少燃料?例5解若很小，则有喷出去的角动量等于卫星减少的角动量。实际的卫星如何？火箭运动火箭垂直运动情况：提高火箭特征速度的途径提高质量比，需使用新材料及新结构

铝合金、镁合金、钛合金、高分子材料、复合材料 薄壳结构、薄壁结构、蜂窝夹层结构、杆系结构：m0/ms

9，鸡蛋而言，m0/ms=7煤油+液氧(苏联“卫星号”芯级)ur

=3000m/s偏二甲肼+红烟硝酸(长征一号一.二级)ur

=2500m/s偏二甲肼+四氧化二氮(长征三号一.二级)ur

=2900m/s液氢+液氧(长征三号三级)ur

=4300m/s提高喷射速度ur，需研制新型推进剂按目前的技术水平，考虑空气阻力、重力影响，实际到达速度小于第一宇宙速度。目前都用多级火箭入轨。设，则第一级第二级第三级多极火箭如果假设火箭在均匀重力场中竖直向上运动：实际的火箭如何？思考题除了提高发动机喷射速度和结构轻量化措施外，有没有其他提高火箭特征速度的新方法？交叉输送燃料，从而尽早抛掉无用质量。助推器的燃料燃烧的同时向芯级交叉输送燃料，保持芯级的燃料一直充满状态，助推器提前烧尽，烧尽后抛掉。肖智文（力7）、武迪，运载火箭推进剂交叉输送技术收效分析，力学与实践，Vol.42,No.4,pp.413-417密歇尔斯基方程的另一种推导方法如何研究变质量质点系的运动？t时刻t+Δt时刻对由m及Δm组成的封闭质点系应用动量定理：质量连续变化时：—加入质量的相对速度并入质量时：排出质量时：达朗贝尔原理（动静法)2025年7月25日动静法主动力、约束反力、惯性力形成平衡力系。公式中为三种力的主矢和主矩。引入惯性力Si=–miai得Fi+Ni+Si=0如果假想地在运动的质点上加上惯性力，则质点在主动力、约束力及惯性力作用下处于平衡。动静法将动力学问题转化为静力学问题，因而可运用静力学知识求解。非自由质点系：主动力Fi，约束力Ni miai=Fi+Ni

或Fi+Ni–miai=0虚位移原理：刚体平衡方程：例1设飞球调速器的主轴O1y以匀角速度ω转动。试求调速器两臂的张角α。设重锤C的质量为M，飞球A、B的质量各为m，各杆长均为l，杆重可以忽略不计。解：选球B为研究对象，加惯性力列平衡方程：S=mlω

2sinα取重锤C为研究对象：惯性力的概念开普勒：任何物体都将给予企图改变它运动状态的其它物体以阻力(惯性力)。当物体运动状态发生变化时，由于物体的惯性，对外界产生反作用，抵抗运动的变化。这种抵抗力称为惯性力。惯性力的大小等于质量乘加速度，方向与加速度相反，作用在使此物体产生加速度的其它物体上。mFaaF假如你在一个封闭的箱子里，能否区分你所受的力是引力还是惯性力？质量均为m的两小球C和D用长为2l的无质量刚性杆连接，并以其中点固定在铅垂轴AB上，杆与AB轴之间的夹角为α

，轴AB以匀角速度ω转动。A、B轴承间的距离为h。求A、B轴承的约束反力。例2yACOαDBzmgYBZBmgYALOSCSD解：加惯性力，画受力图动量矩定理例3设长为l、质量为m的均质杆，以常角速度ω绕铅垂轴转动，如图所示。求杆与铅垂轴的夹角和O点的约束力。惯性力系可简化为一合力：解：取OA杆为研究对象，加惯性力系三角形分布力系：动量矩定理：LO=JOω?dx惯性力系的简化惯性力系向任意固定点O简化，主矢量为主矩为（质量不变系统）动静法与动量定理和动量矩定理完全等价！惯性力系的简化惯性力系向质心C简化，主矢量为主矩为惯性力系的简化绕垂直于质量对称面定轴转动的刚体三心重合：摆动中心、撞击中心、惯性中心在质量对称平面内运动的刚体aCεC例4设转子的偏心距e，质量m，转轴垂直于转子的对称面，转子的对称面与两轴承的距离相等。如转子以匀速ω转动，求轴承的动约束力。O1O2CeωaaN1N2解：受力分析，加惯性力由平衡方程得：Ω很大时动反力远大于静反力!RS例5质量为m、半径为R的均质圆盘沿倾角为α的斜面上只滚不滑。试求圆盘的质心加速度和斜面对圆盘的约束力。不计滚动摩阻。解：取x为广义坐标加惯性力：列平衡方程：达朗贝尔－拉格朗日原理2025年7月25日达朗贝尔－拉格朗日原理具有理想、双面约束的非自由质系，其可能运动ri=ri(t)是真实运动的充分必要条件是：既适用于定常、完整约束，也适用于非定常、非完整约束。动力学普遍方程解析法几何法必要性：充分性：建立如图所示系统的运动微分方程。例6解：牛顿定律TT'运动分析受力分析列写运动微分方程分别取各质点为研究对象方程中出现未知的约束反力！解法1几何法m1gm2g几个自由度？广义坐标？是否理想约束系统？研究对象？解法2解析法m1gm2g讨论达朗贝尔-拉格朗日原理以理想约束系统为研究对象不包含理想约束的约束力—最少量方程牛顿定律分别取各质点或刚体为研究对象—解除约束方程包含理想约束的约束反力，增加了未知量—需要和约束条件联立请比较用牛顿定律和达朗贝尔－拉格朗日原理解题的优缺点。确定研究对象：理想约束系统整体受力分析：画出作功的主动力运动分析：分析加速度给出虚位移，找出它们之间的关系几何法：利用运动学中速度分析的方法，找出各点虚位移

之间的关系解析法：对约束方程进行变分，即可求得各点虚位移

之间的关系列出动力学方程，并求解解题步骤建立如图所示单摆的运动微分方程。例7an解：理想约束系统取系统整体为研究对象例8已知：离心调速器以匀角速ω

转动。各杆长度为