动力学基础 课件 20-分析动力学2-拉格朗日力学；3-第一类拉格朗日力学；3-哈密顿方程

2025年7月25日第二类拉格朗日方程问题的提出非自由质系静力学非自由质系动力学平衡方程牛顿力学未知约束力未知数太多联立求解分析力学虚位移原理广义坐标无未知约束力方程数和自由度数相等牛顿力学分析力学动量方程主动力有势达-拉原理广义坐标主动力有势第一章：曲线坐标描述法空间一点位置可以由三个独立变量描述：能够唯一确定质点系可能位置的独立参数称为广义坐标。例如单摆的摆角。广义坐标数为根据需要可以任选k个可以确定质系可能位置的独立参数作为广义坐标，它们可以是距离、角度、面积等。广义坐标如果只有完整约束，广义坐标的变化就不再受任何约束限制。广义坐标形式的达朗贝尔-拉格朗日原理理想完整约束系统：广义坐标为：q1,q2,…,qn质系动力学普遍方程：广义惯性力完整系统广义主动力和广义惯性力相互平衡！拉格朗日关系式对t求导对

求偏导对qk求偏导第二类拉格朗日方程如主动力都是有势力：第二类拉格朗日方程L=T–V—拉格朗日函数，或动势主动力为势力时的拉格朗日方程第二类拉格朗日方程部分主动力有势：V为有势力的势能，Qk为非势力的广义力；拉格朗日方程的方程数等于质系自由度数，是最少量方程；不需要考虑理想约束的约束反力；只需要分析速度，不需分析加速度；拉格朗日方程是标量方程，避免复杂的矢量运算；所有问题的解题步骤相同，不需要特殊的技巧。拉格朗日方程的特点应用拉格朗日方程的解题步骤为：判断系统是否为完整约束，主动力是否有势，以决定能否应用拉格朗日方程以及应用何种形式的拉格朗日方程。确定系统的自由度数，选择合适的广义坐标。进行速度分析，按所选的广义坐标，写出系统动能、势能或广义力。把动能、广义力或拉格朗日函数代入拉格朗日方程。拉格朗日方程应用举例行星齿轮机构在水平面内运动。质量为m的均质曲柄AB带动行星齿轮II在固定齿轮I上纯滚动。齿轮II的质量为m2，半径为r2。定齿轮I的半径为r1。杆与轮铰接处的摩擦力忽略不计。当曲柄受力偶矩为M的常力偶作用时，用拉格朗日方程求曲柄的角加速度。例1其它解法？解：一个自由度，取φ为广义坐标。用拉格朗日方程求椭圆摆的运动微分方程φxxyABO例2解：取x和φ为广义坐标系统的势能为系统的动能为系统的拉格朗日函数为mAgmBgN解讨论

与动量定理对比φxxyABONmAgmBg讨论

与动量矩定理对比φxxyABONmAgmBg例3：2017年期末竞赛题第二题：铅锤面内有一如图所示的离心式调速器，上端质量为M，绕转动轴的惯量为I，四根杆长均为l；粗实线所示两根杆均质，质量为m；其余各部件的质量和惯量不计，所有摩擦不计；上端在外力矩T的作用下开始运动，求系统的运动微分方程或方程组；绕铅锤轴的转动角速度为ω时，外力矩T以及铰A处杆AB对上端的所有约束反力。解旋转机构上建一个旋转坐标系。分析系统特性：两个自由度、理想约束、三个刚体、三维运动、存在有势力和非势力。选取广义坐标：列写系统动能。转盘：杆件：用刚体动能的公式如何？列写势能：解解如角速度为ω恒定：半径为R的圆环在力偶矩为M的力偶作用下以角速度ω匀速转动，质量为m的小环可在圆环上自由滑动。已知圆环对y轴的转动惯量为J，忽略摩擦力。求为使圆环匀角速转动所需施加的力偶矩M（表示成θ的函数）。例4解：解除匀速转动约束条件，代之于作用力。系统具有两个自由度，取θ和φ为广义坐标。约束条件：讨论

小环的相对运动规律物理意义？质点相对于非惯性参考系运动的微分方程向圆环切向投影讨论

矢量力学解法约束反力对y轴的矩为零第二类拉格朗日方程：用拉格朗日方程列写系统的运动微分方程。例5解：取x和xr为广义坐标。C讨论OxC机械能守恒水平动量守恒积分积分已知：

m,M,k,a。求：系统运动微分方程。例6解：选x,xr为广义坐标xr的坐标原点宜选在弹簧静平衡位置处！讨论能否直接找出系统的守恒量？即能否直接找出拉格朗日方程的积分结果？作业第七章：3、7、9、11、思考题：如右图所示，质量M的对称刚体，可绕固定点O做定点运动。O点到刚体质心距离为l，刚体内对称轴上有一光滑滑槽，里边有一质量m小球由刚度k的弹簧连到O点。用拉格朗日方程建立系统微分方程。给出首次积分，分析其物理意义。om第一类拉格朗日方程2025年7月25日带乘子拉格朗日方程(第一类…)N–质点/刚体总数

r–完整约束的总数s–非完整约束的总数自由度数:广义坐标数为：非完整约束质点系的广义坐标与自由度：带乘子拉格朗日方程(第一类…)完整约束，广义坐标相互独立考虑广义坐标不独立的情况：系统含非完整约束，选取多余的广义坐标更方便研究问题，如闭环系统。考虑最简单情况：含1个非完整约束（或者广义坐标有1个冗余），由关系式，求等时变分得：不妨假设b1不为零，一定可以选取使得：广义坐标q2,…,qN相互独立前面已经有：与约束联立，求解N+1个未知数。合起来有：如果有多个非完整约束或冗余的广义坐标，把所有独立的都加到方程上，与多个冗余约束联立求解。如果主动力都是有势力，则称为广义约束反力。与约束联立，求解N+r个未知数。图示机构在水平面内运动，A与B质量均为m，忽略杆的质量，不考虑摩擦，试写出运动微分方程例1

例1

用冗余约束的方法联立求解：作业第七章：18哈密顿(Hamilton)正则方程定义Hamilton函数：势能仅依赖于广义坐标及时间，拉格朗日函数（动能）对广义速度的海斯式非零，可解出广义速度：考虑双面、理想约束，主动力均为有势力的质点系：拉格朗日方程为n个二阶常微分方程，以广义坐标为变量。广义动量：哈密顿正则方程推导例1求无主动力作用自由质点的哈密顿函数。设质点质量m。反解广义速度得：带入哈密顿函数得：哈密顿正则方程推导这2N个一阶微分方程称为Hamilton正则方程。循环积分？可以直接看出来。广义能量积分？L不显含t，则H也不显含t。哈密顿正则方程推导哈密顿正则方程首次积分循环积分：广义能量积分：拉格朗日函数不显含t时哈密顿函数也不显含t，因此小车的车轮在水平地面上作纯滚动，每个轮子的质量为m1，半径为r，车架质量不计。车上有一质量弹簧系统，弹簧刚度系数为k，物块质量为m2，物块与平板间的摩擦忽略不计。求哈密顿正则方程和首次积分。例2选取x和xr为广义坐标。解广义动量为：反解广义速度：哈密顿函数为：广义动量守恒；广义能量守恒；哈密顿函数本身是广义能量。正则方程：刘维尔定理（Liouville'stheorem）哈密顿系统的运动过程中相体积保持不变。相空间（PhaseSpace）的概念：边界里边的相点能否跑出边界？考察相空间相点的散度：哈密顿系统的相空间相当于不可压缩流体。刘维尔定理（Liouville'stheorem）哈密顿系统的运动中，沿着相轨迹，相点密度保持不变。例3：相体积演化过程弹簧振子单摆哈密顿原理哈密顿原理积分变分原理与微分变分原理：考虑理想、双面、完整约束质点系。哈密顿原理：质点系约束为理想、双面、完整；所有主动力为有势力。则：哈密顿作用量的等时变分在正路上等于零。即：正路旁路因此，等时变分时d和δ可以交换。质点在正路上r，则相同时刻在旁路上为：质点在正路上，则相同时刻在旁路上为：定义哈密顿作用量：在两个端点，变分满足：如用广义坐标表示：正路旁路例4初速度为v0，角度α抛质点m。分别计算正路与O到B直线匀速运动的哈密顿作用量。抛物线：直线：哈密顿原理与拉格朗日函数的等价性从拉格朗日方程推导哈密顿原理：哈密顿原理与拉格朗日函数的等价性从哈密顿原理推导拉格朗日方程：广义坐标变分独立，例5：积分变分原理在近似计算中的应用x(0)=0，x(1)=1，用近似法求质点的运动方程。下面近似求解。用三段直线近似方程的解。设各段右边x的值为：α1，α2，1，则例5例5也可用四段直线近似