动力学基础 课件 29-微振动基础；30-稳定性-定常线性系统稳定性

微振动基础1引言往复运动是自然界中非常普遍的现象；振动是力学系统普遍的现象。微振动是系统在稳定平衡位置附近的微幅振动，通常是线性振动。线性系统是在动力学中可以解析求解的一大类系统。单自由度系统自由振动（无阻尼、有阻尼）单自由度系统强迫振动二自由度系统的振动多自由度系统的振动2φxxyABORCφ

O基本概念自由振动：强迫振动：激励：响应：单自由度振动：多自由度振动：连续系统振动：3kcm单自由度振动4例1物块B的质量M、弹簧系数k，杆的质量m、长度l；忽略摩擦力。建立微幅振动的微分方程。5代入拉格朗日方程可得：单自由度系统自由振动固有圆频率固有频率周期6km初始条件：单自由度系统有阻尼的自由振动粘性阻尼（或线性阻尼）阻尼系数标准形式7kcm阻尼比：

=c/2mn=n/

n特征方程n=c/2m弱阻尼情况(

<1)特征方程根是两个共轭复数。方程的通解为：初始条件：衰减周期：减幅系数：两个邻近振幅之间的比值。对数减幅系数：过阻尼(

>1)和临界阻尼(

=1)情况9

>1时特征方程有两个不同的实根，并且为负数。方程的通解为：

=1时特征方程有两个相同的实根。方程的通解为：例210kcm如图质量-弹簧-阻尼系统，在自由振动了10周后期振幅减为原来的50%。求其阻尼比。

=c/2mn=n/n单自由度系统的强迫振动主要讨论简谐激励下的强迫振动问题。11kcm该方程的解＝齐次通解＋非齐次特解：称为稳态响应。与激励频率相同的简谐振动。振幅与相位与初始条件无关。考虑非简谐激励如何？幅频响应特性12定义振幅放大因子：称为共振。无阻尼时，如果激励频率与系统固有频率相同，根据常微分方程理论，特解的形式不同。幅频特性13低频区λ<<1，振动幅值比趋于1高频区λ>>1，振动幅值比趋于0共振区λ≈1，振动幅值比在小阻尼时，可以很大；低频区λ<<1：

相位趋于014高频区

λ>>1：相位趋于

。共振区

λ≈1：相位为/2；系统共振时的重要特征：相位差为/2，与阻尼比无关。相频特性例315kcx如图所示，具有偏心转子的电机模型，角速度为ω，偏心率为e,偏心质量为m，分析强迫振动规律。由x方向质心运动定理：例4如图所示汽车在dsin(2πx/l)的路面上以12.5m/s运动时求激振频率。再求车的临界速度。其中16mk多自由振动17多自由度系统的自由振动（两个自由度为例）工程中的绝大多数系统是多自由度的。二自由度系统包含了多自由度系统主要的运动特性。18mck二自由度系统的振动问题张紧的弦上有两个质点（m），张力为T。由于研究微振动，可认为两个质点上下运动过程中张力不变。19质量矩阵：M刚度矩阵：K坐标列阵：x张紧的弦振动几个自由度？主振型20可假设方程组的特解为：分别为两个质点的振幅代入方程得：振幅非零的充要条件为：称为原微分方程组的特征方程。对应的多项式称为特征多项式。

称为特征值。称为第i阶固有圆频率。可得出两个特征向量：称为第i阶主振型（主模态）。模态坐标21四个未定参数由位置、速度四个初始条件确定。系统的两个特解为：第i阶主振动。根据线性常微分方程理论，系统通解为：一般情况下实际的运动不是简谐振动，也不一定是周期运动，两个频率之比为有理数时周期运动。称为第i阶主刚度。称为第i阶主质量。q称为模态坐标。模态叠加法。模态矩阵模态一定正交吗？例522k2k2m1.5mm3kx1x2x3如图所示系统，系统的具体参数见图。试写出系统的振动方程，并求固有频率和主振型。解：建立如图所示坐标系：用分析力学或牛顿力学方法建立系统微分方程。多自由度系统的强迫振动23系数矩阵不满秩对应系统自由振动，也就是对应齐次方程的解；满秩时，对应系统的强迫振动响应。显然，振幅的表达式有形式：为共振现象。设其非齐次特解为：分别为系统的两个固有频率。作业第九章：1、2、5、8、10、1224运动稳定性引言离心调速器卫星姿态控制卫星姿态小角度被动稳定系统的状态方程形式用拉格朗日方程或牛顿力学建立的动力学方程为二阶常微分形式：用哈密顿正则方程建立的动力学方程为一阶常微分方程，直接有状态方程形式：高阶常微分方程形式：稳定性的定义

几何解释：思考由上式描述的单摆，摆角初始值为10度运动是否上述李雅普诺夫意义下稳定？0点是不是李雅普诺夫意义下稳定？定常线性系统的稳定性扰动方程的稳定性考察一个解的稳定性。也就是，它受到扰动后偏离情况。给扰动量：稳定性感兴趣的不是方程解本身，而是解受到扰动后偏离情况如何的问题。定常线性系统的运动稳定性与初始条件无关。非线性系统会如何？定常线性系统的扰动微分方程定义：矩阵F

Rn×n的指数矩阵函数是指级数其中I表示单位矩阵。

于是有：定常线性系统的稳定性相似变换：A~B，使得C−1AC=B。则A与B的秩、行列式、特征值相同。并且可以证明：由线性代数知识，

A

Rn×n,∃C,detC≠0C−1AC=J=diag(J1,…,Jp)(1≤p≤n)J是A的Jordan标准型，λi(i=1,…,p)是A的p个互异特征值，记为

。λi的代数重数记为ni，则Jordan标准型Jik是对应于λi的Jordan块，nik×nik方阵,且αi称为λi的几何重数(λi对应的线性无关特征向量构成空间的维数)，1≤αi≤ni。定常线性系统的稳定性例：分析J的情况。系统维数n=7，互异特征值个数p=2。λ1的代数重数n1=5，λ2的代数重数n2=2。λ1的几何重数α1=3，λ2的几何重数α2=1。定常线性系统的稳定性K还可写成

称为m(=nik)阶幂零矩阵，因为定常线性系统的稳定性分析稳定性时区分3种不同情况：(1)

λi为单根；(2)λi为重根，但几何重数=代数重数；(3)λi为重根，但几何重数<代数重数。定常线性系统的稳定性例：计算J的eJt。系统维数n=7,互异特征值个数p=2.λ1的代数重数n1=5,λ2的代数重数n2=2.λ1的几何重数α1=3,λ2的几何重数α2=1.

定常线性系统的稳定性标准线性微分方程组解的一般形式举例以二维几何重数1为例：线性定常系统稳定性完全取决于系数矩阵的特征值。若Re(λi)<0,i=1,2,…,p,若存在λi

σ(A)，Re(λi)>0，则若存在λi

σ(A)，Re(λi)=0，则有下面几种情况：1)2)λi=0，αi<ni≥2，以αi=1,ni=2为例3)，4)Im(λi)=ω≠0,αi<ni≥2,以αi=1,ni=2为例，Re(λi)≤0,i=1,2,…,p且对应于Re(λi)=0有αi=ni。

不能将后一个条件简单地理解为零实部的特征根是单根，因为可以有代数重数=几何重数>1的情况。显然，线性系统的渐近稳定是指数渐近稳定的。显然，线性系统的稳定与系统方程的解有界等价。定常线性系统的稳定性结论首先计算出系统的全部特征值若特征值均有负实部，则系统稳定，而且渐近稳定；若特征值有实部为正的，则系统不稳定；若实部为零的特征值均为单根，而其余根均有负实部，则系统稳定，但不是渐近稳定（有时称临界稳定）；若实部为零的重特征值的代数重数都等于其几何重数(Jordan块为一阶)，而其余根均有负实部，则系统临界稳定；若实部为零的重特征值中有几何重数小于代数重数者(Jordan块为高阶)，则系统不稳定。定义：多项式f(λ)=0的所有根的实部为负数，则称为稳定多项式（有时称Hurwitz多项式），记为f

H[λ]。

f

H[λ]的必要条件是全部系数大于零。证明：因所有根实部为负，设其形式为稳定多项式是由两类因子

和

相乘得到，由于这些因子的系数都是正数，故稳定多项式的全部系数均为正数。利用特征多项式系数判断稳定性的方法例定理3：f(λ)=det(λI−A)=0是稳定多项式的充分必要条件为下面矩阵的主子式都大于零（Routh-Hurwitz判据）。构造规则：