专题15.3 分式方程-八年级数学人教版（上册）

1．分式方程的定义分母中含未知数的方程叫做__________．【归纳】（1）分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．（2）方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别．（3）分母中含有字母的方程未必是分式方程．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．（2）解分式方程的一般方法和步骤：①去分母：方程两边同乘__________，把分式方程化为整式方程；②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等；③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．简称为一化，二解，三检验．（3）解分式方程产生不适合原方程解的原因：在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解．3．分式方程的应用分式方程的应用基本思路和方法：一审：审清题意，弄清已知量和未知量；二找：找出等量关系；三设：设未知数；四列：列出分式方程；五解：解这个方程；六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求；七答：写出答案．在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．K知识参考答案：1．分式方程2．最简公分母K—重点分式方程的解法，分式方程的应用K—难点分式方程的应用K—易错解分式方程时忘记检验方程的根一、分式方程的解法检验的方法1．直接检验法：是将解的值分别代入原分式方程的左边和右边进行检验．直接检验法不仅能检验求得的解是不是原分式方程的解，而且能检验求得的解是否正确．2．公分母检验法：是把求得的解代入最简公分母中进行检验，使最简公分母为0的解不是原分式方程的解．公分母检验法比较简单，因此被广泛运用．【例1】解方程时，去分母得A． B．C． D．【答案】C【解析】观察可得最简公分母是（x-1）（x-3），方程两边都乘最简公分母，即可把分式方程转换为整式方程．方程两边同乘（x-1）（x-3）得（x-1）（x-3）+2（x-3）=（x-5）（x-1），故选C．【例2】解方程：．二、分式方程的应用1．在实际问题中，有时题目中包含多个等量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部（或大部分）题意的等量关系列方程．2．在一些实际问题中，有时直接设出题中所求的未知数可能比较麻烦，可以间接地设末知数；有时设一个未知数不容易表示等量关系，可设多个未知数，即设辅助未知数．【例3】某煤矿原计划x天生存120t煤，由于采用新的技术，每天增加生存3t，因此提前2天完成，列出的方程为A． B．C． D．【答案】D【解析】因为原计划x天生产120吨煤，所以原计划每天生产吨，因为采取新的技术，提前2天，所以现在每天生产吨，因为现在每天比原计划每天增加3吨，所以可列方程是，故选D．【例4】甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？【解析】设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，由题意，得：，解得：x=90，经检验得：x=90是这个分式方程的解．x+54=144．答：特快列车的平均速度为90km/h，动车的速度为144km/h．三、含有字母系数的分式方程的解法解含有字母系数的分式方程的方法：解含有字母系数的分式方程和解含有实数系数的分式方程一样，均是先通过去分母将分式方程转化为整式方程，然后解这个整式方程，最后检验．但要注意：（1）去分母时方程两边乘最简公分母，需验证最简公分母是否等于0；（2）在将系数化为1时，要注意分类讨论系数是不是0．学#@科网【例5】若关于x的方程有正数解，则A．m>0且m≠3 B．m<6且m≠3 C．m<0 D．m>6【答案】B1．下面是分式方程的是A． B．C． D．2．以下是解分式方程，去分母后的结果，其中正确的是A． B．C． D．3．分式方程=1的解为A．x=-1 B．x= C．x=1 D．x=24．若分式方程的解为2，则a的值为A．4 B．1 C．0 D．25．某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为A． B．C． D．6．分式方程去分母时，两边都乘以__________．7．解分式方程的解是__________．8．若x=2是方程的解，则a=__________．9．解方程：（1）；（2）．10．一列火车从车站开出，预计行程为450千米，当它出发3小时后，因特殊情况而多停一站，因此耽误30分钟，后来把速度提高了20%，结果准时到达目的地，求这列火车原来的速度．11．已知关于x的分式方程．（1）若方程的增根为x=2，求a的值；（2）若方程有增根，求a的值；（3）若方程无解，求a的值．12．若关于x的方程无解，则m的值是A．-2 B．2 C．1 D．-413．若关于x的分式方程=1的解为正数，则字母a的取值范围是A．a<2 B．a≠2 C．a>1 D．a>1且a≠214．当x=__________时，的值相等．15．规定，若，则x为__________．16．已知关于x的分式方程与分式方程的解相同，求m2-2m的值．17．某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？18．（2018·湖北荆州）解分式方程-3=时，去分母可得A．1-3（x-2）=4 B．1-3（x-2）=-4C．-1-3（2-x）=-4 D．1-3（2-x）=419．（2018·四川甘孜州）若是分式方程的根，则的值为A．6 B．-6 C．4 D．-420．（2018·甘肃兰州）关于x的分式方程的解为负数，则a的取值范围是A． B．C．且 D．且21．（2018·黑龙江绥化）某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同．若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为A． B．C． D．22．（2018·辽宁阜新）甲、乙两地相距600km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用4h，已知高为A．=4 B．=4C．=4 D．=4×223．（2018·贵州铜仁）分式方程=4的解是x=__________．24．（2018·四川达州）若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为__________．25．（2018·广西贺州）解分式方程：+1=．26．（2018·辽宁盘锦）东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？1．【答案】D2．【答案】B【解析】去分母，得．去括号，得．故选B．3．【答案】A【解析】去分母得：2x-1=x-2，解得x=-1，经检验x=-1是分式方程的解，则分式方程的解为x=-1．故选A．4．【答案】A【解析】把x=2代入分式方程得，解得a=4，故选A．5．【答案】A【解析】设原计划每亩平均产量x万千克，由题意得：．故选A．6．【答案】（x+2）（x−2）【解析】方程两边都乘最简公分母（x+2）（x−2）．故答案为：（x+2）（x−2）．化简得-4x=-16，解得x=4．经检验，x=4是原方程的解．所以原方程的解是x=4．（2）方程两边都乘以（x+1）（x-1），去分母，得4-（x+1）（x+2）=-（x+1）（x-1）．解得x=．经检验，x=是原方程的解．所以原方程的解是x=．10．【解析】设这列火车原来的速度为x千米/时，根据题意，得+，解得x=75，经检验x=75是原方程的解，答：这列火车原来的速度为75千米/时．11．【解析】（1）原方程去分母并整理，得（3-a）x=10．因为原方程的增根为x=2，所以（3-a）×2=10，解得a=-2．12．【答案】A【解析】∵分式方程无解，∴．把原方程去分母得：，把代入方程，得．故选A．13．【答案】D【解析】去分母得：，则且，解得：a>1且a≠2．故选D．14．【答案】-14【解析】，解得：，经检验：符合题意．故答案为：．15．【答案】-1【解析】∵，，∴，解此分式方程得；，经检验：是这个方程的根，故的值是．故答案为：-1．16．【解析】解分式方程，得x=3．经检验，x=3是该方程的解．将x=3代入=，得，解得m=，∴m2-2m=（）2-2×=-．17．【解析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意得：，答：至少应安排甲队工作10天．18．【答案】B【解析】方程两边同时乘以（x-2），得1-3（x-2）=-4，故选B．19．【答案】A【解析】由题意得：，解得a=6，故选A．20．【答案】D【解析】分式方程去分母得：，即，因为分式方程解为负数，所以，且，解得：且，故选D．21．【答案】C【解析】乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运件电子产品，依题意得：，故选C．22．【答案】C【解析】设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，由题意得=4，故选C．23．【答案】-9学科@网【解析】去分母得：3x-1=4x+8，解得：x=-9，经检验x=-9是分式方程的解，故答案为：-9．24．【答案】1或25．【解析】方程两边同时乘以（x+1）（x-1），得：4+x2-