专题28.2 解直角三角形及其应用-九年级数学人教版（下册）

第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用一、解直角三角形1．任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做_______________.2．在ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.（1）两锐角互余，即∠A＋∠B＝_______________；学科网（2）三边满足勾股定理，即a2＋b2＝_______________；（3）边与角关系sinA＝cosB＝_______________，cosA＝sinB＝_______________，tanA＝_______________，tanB＝_______________.二、解直角三角形在实际问题中的应用（一）俯角、仰角在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做_______________；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做_______________.(二)方向角1．方向角是以观察点为中心(方向角的顶点)，以正_______________或正_______________为始边，旋转到观察目标的方向线所成的_______________，方向角也称象限角．2．如图，我们说点A在O的北偏东30°方向上，点B在点O的南偏西45°方向上，或者点B在点O的西南方向．(三)坡度、坡角1．坡度通常写成1∶_______________的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝eq\f(h,l)＝_______________.2．一斜坡的坡角为30°，则它的坡度为_______________.(四)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程1．将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的函数模型)；2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用解直角三角形的有关性质解直角三角形；3．得到数学问题的答案；4．得到实际问题的答案．K知识参考答案：一、1.解直角三角形2.90°；c2；eq\f(a,c)；eq\f(b,c)；eq\f(b,a).二、（一）仰角，俯角（二）1.北，南，锐角（三）1.tanα2.1∶K—重点会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形K—难点会用解直角三角形中的有关知识建立数学模型，解决某些简单的实际问题K—易错用三角函数计算式，忽视“在直角三角形中”这个条件一、解直角三角形【例1】在ABC中，∠C＝90°.（1）已知a＝4，b＝8，求c；（2）已知b＝10，∠B＝60°，求a，c；（3）已知c＝20，∠A＝60°，求a，b.【解析】（1）∵在ABC中，∠C＝90°，a＝4，b＝8，∴；（2）∵在ABC中，∠C＝90°，b＝10，∠B＝60°，∴，；（3）∵在ABC中，∠C＝90°，c＝20，∠A＝60°，∴，.二、解直角三角形在实际问题中的应用【例2】如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上)，则河的宽度AB约是多少？(精确到0.1m，参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)【解析】由题意知，∠DAC＝∠EDA＝30°.∵在Rt△ACD中，CD＝21m，∴AC＝eq\f(CD,tan30°)＝eq\f(21,\f(\r(3),3))＝21eq\r(3)(m)．∵在Rt△BCD中，∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝21m，∴AB＝AC－BC＝21eq\r(3)－21≈15.3(m)．即河的宽度AB约是15.3m.【例3】如图，某大楼顶部有一旗杆AB，甲、乙两人分别在相距6米的C、D两处测得点B和点A的仰角分别是42°和65°，且C、D、E在一条直线上．如果DE＝15米，求旗杆AB的长大约是多少米？(结果保留整数，参考数据：sin42°≈0.67，tan42°≈0.9，sin65°≈0.91，tan65°≈2.1)【例4】如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？（参考数据：tan55°≈1.43，tan25°≈0.47）【解析】如题图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝eq\f(BD,AD)，∴BD＝AD·tan55°.在ACD中，∵tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)，∴CD＝AD·tan25°.∵BD＝BC＋CD，∴AD·tan55°＝20＋AD·tan25°，∴AD＝eq\f(20,tan55°－tan25°)≈20.83(海里)．而20.83海里>10海里，∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险．【名师点睛】解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．应先求出点A距BC的最近距离，若大于10海里则无危险，若小于或等于10海里则有危险．【例5】如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC＝9.8m，路基高BE＝5.8m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.6，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1m)．【解析】如题图，过点C作CF⊥AD于点F，则CF＝BE，EF＝BC，∠A＝α，∠D＝β.∵BE＝5.8m,i＝1∶1.6,i′＝1∶2.5，∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m)，DF＝2.5×5.8＝14.5(m)，∴AD＝AE＋EF＋DF＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)．即铁路路基下底宽AB为33.6m.【名师点睛】利用坡度与坡角解决实际问题的关键是将坡度与坡角放入可解的直角三角形中，没有直角三角形一般要添加辅助线(垂线)构造直角三角形．三、用三角函数计算时，忽视了“在直角三角形中”这个条件解锐角三角形或钝角三角形时，要注意添加适当的辅助线，构造直角三角形.【例6】如图，在ABC中，∠A=30°，AC=4，AB=，求BC的长.【错解】∵在ABC中，∠A=30°，AB=，∴.∴【错因分析】误将ABC当作直角三角形即误认为.【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，在中，∠A=30°，AC=4，∴CD=2，AD=.∵AB=,∴.∴.1．如图，在ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC=6，∠C=45°，tan∠ABC=3，则BD等于A．2 B．3C．3 D．22．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=15米，则树的高AB(单位：米)为A． B．C．15tan37° D．15sin37°3．如图，在海拔200米的小山顶A处，观察M，N两地，俯角分别为30°，45°，则M，N两地的距离为A．200米 B．200米C．400米 D．200（+1）米4．如图，从山顶望地面、两点，测得它们的俯角分别为和，已知米，点在上，则山高A．米 B．米C．米 D．米5．如图，某水库堤坝横截面迎水坡的坡度是，堤坝高为，则迎水坡面的长度是A． B．C． D．6．下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是__________m．7．如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则sin∠BPC=__________.8．如图，小明沿着一个斜坡从坡底A向坡顶B行走的过程中发现，他毎向前走60m，他的高度就升高36m，则这个斜坡的坡度等于__________．9．如图，在菱形ABCD中，于E，，，则菱形ABCD的面积是__________．10．一艘货轮以18km/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，货轮继续向东航行30分钟后到达C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B的距离是__________km.11．某地铁站口的垂直截图如图所示，已知∠A=30°，∠ABC=75°，AB=BC=4米，求C点到地面AD的距离（结果保留根号）．12．如图，AD是ABC的角平分线，且AD=，∠C=90°，AC=8，求BC及AB．13．已知：如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8cm，AC＝10cm，求AB，BD的长.14．如图，在ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，D是AC上一点，若tan∠DBC=，则AD的长为A．2 B．4C． D．15．如图，在四边形ABCD中，则AB＝A．4 B．5C． D．16．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为A．60nmile B．60nmileC．30nmile D．30nmile17．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向上，距离灯塔为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B处，海轮航行的距离AB长是A．2海里 B．海里C．海里 D．海里18．在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC=2，则AB=______________．19．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______________米结果保留根号．20．如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为______m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）21．随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）22．如图，某日在我国某岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留小数点后一位）参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236．23．某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在D点测得旗杆顶端E点的仰角为30°.已知小明和小军的距离BD＝6m，小明的身高AB＝1.5m，小军的身高CD＝1.75m，求旗杆的高EF.(结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73)24．（2018·益阳市）如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了A．米 B．米C．米 D．米25．（2018·重庆市b卷）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）A．21.7米 B．22.4米C．27.4米 D．28.8米26．（2018·长春市）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为A．800sinα米 B．800tanα米C．米 D．米27．（2018·阜新市）如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30°，点B到塔底C的水平距离BC是30m，那么塔AC的高度为_____________m（结果保留根号）．28．（2018·无锡市）已知ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则ABC的面积等于_____________．29．（2018·黄石市）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是_____________米．（结果保留根号）30．（2018·锦州市）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者.在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别是45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米.为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数.参考数据：tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,≈1.4）31．（2018·本溪市）如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m．（1）求∠CAE的度数；（2）求这棵大树折断前的高度？（结果精确到个位，参考数据：，，）．32．（2018·兰州市）如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为18米，在B处，E处分别测得CD顶部点D的仰角为，，求CD的高度结果保留根号33．（2018·青海省）如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度小宇同学在A处观测对岸点C，测得，小英同学在距点A处60米远的B点测得，请根据这些数据算出河宽精确到米，，．34．（2018·莱芜市）在小水池旁有一盏路灯，已知支架AB的长是0.8m，A端到地面的距离AC是4m，支架AB与灯柱AC的夹角为65°．小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45°，在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50°（点C、E、D在同一直线上），求小水池的宽DE．（结果精确到0.1m）（sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan50°≈1.2）35．（2018·镇江市）如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73．36．（2018·盘锦市）两栋居民楼之间的距离CD=30米，楼AC和BD均为10层，每层楼高3米．（1）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻B楼的影子落在A楼的第几层？（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．37．（2018·大庆市）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：≈2.449，结果保留整数）38．（2018·徐州巿）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据：≈1.414，≈1.732.1．【答案】A【解析】∵AC=6，∠C=45°∴AD=AC⋅sin45°=6×=6，∵tan∠ABC=3，∴=3，∴BD==2，故选：A．2．【答案】C【解析】在直角ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=15，∴tanC=，则AB=BC•tanC=15tan37°．故选C．3．【答案】D【解析】过A作AB⊥MN于B,在ABM中,在ABN中,∴BN=AB=200，米.故选D.5．【答案】A【解析】∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，∴，∵BC=40m，∴AC=40m，∴AB==80m，故选：A．6．【答案】4【解析】过C作CE⊥AB，交AB的延长线于E，在CBE中，∠CBE＝180°－∠CBA＝30°，已知BC＝8cm，则CE＝BC＝4cm，即h＝4cm，故答案为4.7．【答案】【解析】过点A作AE⊥BC于点E，∵AB=AC=5，∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴∠BPC=∠BAE．在BAE中，∴sin∠BPC=sin∠BAE==．故答案为．8．【答案】1：【解析】∵小明沿着一个斜坡从坡底A向坡顶B行走的过程中发现，他毎向前走60m，他的高度就升高36m，则水平距离为=48（m），∴这个斜坡的坡度等于36：48=1：．故答案为：1：．9．【答案】【解析】∵sinD=，∴，∴AD=12，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD=12，∴菱形ABCD的面积=12×8=96cm2．故答案为：96cm2．10．【答案】18【解析】作CE⊥AB于E，根据题意，得AC=9km，∵∠CAB=45°，∴CE=AC•sin45°=9km，∵灯塔B在它的南偏东15°方向，∴∠NCB=75°，又∠CAB=45°，∴∠B=30°，∴BC==＝18km，故答案为：18．11．【答案】C点到地面AD的距离为：（2+2）m．【解析】过点B作BE⊥AD于E，作BF∥AD，过C作CF⊥BF于F，在ABE中，∵∠A=30°，AB=4m，∴BE=2m，由题意可得：BF∥AD，则∠FBA=∠A=30°，在CBF中，∵∠ABC=75°，∴∠CBF=45°，∵BC=4，∴CF=sin45°•BC=∴C点到地面AD的距离为：12．【答案】BC=8，AB=16【解析】∵cos∠CAD==，∴∠CAD=30°，又∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAC=60°，则BC=AC·tan∠BAC=8·=8，AB===16.13．【答案】AB=，BD=【解析】∵CD⊥AB，CD＝8cm，AC＝10cm，∴根据勾股定理得：AD=6，∴sinA==，cosA==，∴在Rt△ABC中，AB==，BD=AB-AD=.15．【答案】D【解析】如图，延长AD，BC交于点E，则∠E=30°，在CDE中，CE=2CD=6（30°锐角所对直角边等于斜边的一半），∴BE=BC+CE=8，在ABE中，AB=BE·tanE=8×=.故选D.16．【答案】B【解析】如图，作PE⊥AB于E．在PAE中，∵∠PAE=45°，PA=60nmile，∴PE=AE=×60=nmile，在PBE中，∵∠B=30°，∴PB=2PE=nmile．故选B．17．【答案】C【解析】记灯塔P的正北方向为射线PC的方向.根据题意可知∠APC=55°，PC∥AB，AP=2海里.∵PC∥AB，∠APC=55°，∴∠PAB=55°.∵在ABP中，AP=2海里，∠PAB=55°，∴AB=AP·cos∠PAB=2cos55°（海里）.故选C.18．【答案】4【解析】∵CE所在直线垂直平分线段AD，∴CE平分∠ACD，

∴∠ACE=∠DCE．∵CD平分∠BCE，

∴∠DCE=∠DCB．∵∠ACB=90°，∴∠ACE=∠ACB=30°，

∴∠A=60°，∴AB==4．故答案为：4．19．【答案】【解析】由于，，，在中，，米，在，，米，米，故答案为：.20．【答案】9.5【解析】过D作DE⊥AB于点E，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，∴∠ADE＝53°，∵BC＝DE＝6，∴AE＝DE•tan53°≈6×1.33≈7.98，∴AB＝AE＋BE＝AE＋CD＝7.98＋1.5＝9.48≈9.5，故答案为：9.521．【答案】224【解析】过点C作CD⊥AB于点D，在ADC和BCD中，∵∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640，∴∴∴∴∴1088﹣864=224（公里），答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．22．【答案】20【解析】过点B作BD⊥AC于点D，由题意可知：∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，则∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=30°，在ABD中，BD=AB•sin∠BAD=20×=10，在BCD中，BC==20．答：此时船C与船B的距离是20海里．23．【答案】约为10.3m【解析】过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，∴MN＝CD－AB＝1.75－1.5＝0.25(m)．∵∠EAM＝45°，∴AM＝ME.设AM＝ME＝xm，则CN＝(x＋6)m，EN＝(x－0.25)m．∵∠ECN＝30°，∴tan∠ECN＝，解得x≈8.8，则EF＝EM＋MF≈8.8＋1.5＝10.3(m)．答：旗杆的高EF约为10.3m．24．【答案】A【解析】在AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，BO=AB•sinα=300sinα米．故选A．25．【答案】A【解析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在CDN中，∵，设CN=4k，DN=3k，∵CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在AEM中，tan24°=，∴0.45=，∴AB=21.7（米），故选A．26．【答案】D【解析】在ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，∴tanα=，∴AB=，故选D．27．【答案】【解析】∵在点B处测得塔顶A的仰角为30°，∴∠B=30°，∵BC=30，∴tan∠B=，∴AC=BC＝30×＝10，故答案为10.28．【答案】15或10【解析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在ABD中，∵∠B=30°，AB=10，∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，在ACD中，∵AC=2，∴CD=，则BC=BD+CD=6，∴S△ABC=•BC•AD=×6×5=15；如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD=5，CD=，则BC=BD-CD=4，∴S△ABC=•BC•AD=×4×5=10．综上，ABC的面积是15或10，故答案为15或10．29．【答案】100（1+）【解析】如图，∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，∴∠A=60°，∠B=45°，在ACD中，∵tanA=，∴AD==100，在BCD中，BD=CD=100，∴AB=AD+BD=100+100=100（1+）．答：A、B两点间的距离为100（1+）米．故答案为100（1+）．30．【答案】云梯需要继续上升的高度约为9米.【解析】过点作于点，于点，∵，∴，∴四边形为矩形.∴米.∴（米），由题意可知，，，∵，∴，在中，，∴（米）.在中，，∴（米）.∴（米）.答：云梯需要继续上升的高度约为9米.31．【答案】（1）75°；（2）这棵大树折断前高约10米．【解析】（1）延长交于点，在中，，∴．又∵，∴；（2）过点作，垂足为，在中，，，∴．，∴，在中，，∴，．∴（米）．答：这棵