2023年人教版中学七7年级下册数学期末质量监测附答案

2023年人教版中学七7年级下册数学期末质量监测附答案

一、选择题

1.下列各式中，正确的是（）

A.74=±2B.±716=4C.J（-4）2=-4D.舛=-2

2.下列是四个汽车标志图案，其中可看作由“基本图案"经过平移得到的是（）

D.=

3.在平面直角坐标系中，点A（-3,2）在（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.下列语句中：①同角的补角相等；②雪是白的；③画N4O8=N1：④他是小张吗？

⑤两直线相交只有一个交点.其中是命题的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.直线A8//CD,直线£尸与48,C0分别交于点E,F,EGLEF.若Zl=55。，则

B.35°C.45°D.55°

6.小雪在作业本上做了四道题目：①巧=-3；②士疝=4；③网=9；

④J（_6）2=-6,她做对了的题目有（）

A.1道B.2道C.3道D.4道

7.如图，已知直线A8//CD,NGEB的平分线EF交CD于点F,Zl=46°,则Z2等于

A.138°B.157°C.148°D.159°

8.如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆。1，。2,。3,…组成一条平

滑的曲线，点P从原点。出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒］个单位长度，则运动

到第2021秒时，点P所处位置的坐标是（）

C.(2021,1)D.(2022,0)

九、填空题

9.已知小V是实数，且在与+()」3丫=0，则个的值是.

十、填空题

10.已知点P(3,-1)关于x轴的对称点Q的坐标是(a+b,1-b),则a=_,b=

十一、填空题

11.如图，AD是△ABC的角平分线，DEJ_AB,垂足为E,若△ABC的面积为15,DE=3,

AB=6,则AC的长是

十二、填空题

12.如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当/2=5g时，z1=

13.如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点4B分别落在A,6的位置.如果Nl=

59。，那么N2的度数是.

十四、填空题

14.阅读下列解题过程：

计算：1+2+22+2、+224+225

解：设S=l+2+22+23++？?、？25①

则2s=2+2?+23++225+226②

由②-①得，5=226-1

运用所学到的方法计算：1+5+52+5、……+530=.

十五、填空题

15.已知点储在y轴上，纵坐标为4,点P(6,-4),则aOMP的面积是

十六、填空题

16.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“好”方向排列，如11,

0),(2,0),(2,1),(3,2),(3,1),(3.0),(4,0),根据这个规

律探索可得第2021个点的坐标是一.

一(5<)

木(4,3卜(5,3)

法%或52)

(2J)：«(3,1)*4,1)・(51)

»>•---->-»i

O

(10)(2,0)(3,0)(4:0)(5,0)

十七、解答题

17.计算：

(1)(-1严囱-我

(2)>/9-(--)-2+(^-2018)°-Vi25

2

十八、解答题

18.求下列各式中x的值

(1)81x2-16

(2)Ip=64

十九、解答题

19.已知如图，BC//EF,404=80。，Zl+ZC=160°,ZB=60°,求证：Z4=ZD.

完成下面的证明过程：

证明：:408=80。，

NCOO=ZA08=8O°()

_____________________(已知)

ZCO£>+Z1=I80°.()

4=100°.

•「Zl+ZC=160°,(已知)

ZC=16O°-Z1=

又4=60。，

/.ZB=ZC,

ABI/CD,()

ZA=Z£>.()

B

D

二十、解答题

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形48c三个顶点的坐标分别为(-2,-2),

(3,1),(0,2),若把三角形4BC向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度

得到三角形A&C,点A8、C的对应点分别为4、B'、C.

(1)在图中画出平移后的三角形A'&C;

(2)写出点4的坐标；

(3)三角形48c的面积为.

二十一、解答题

21.一个正数的两个平方根为2〃+1和〃-4,2〃是2〃?+4的立方根，回的小数部分是

k,求利+〃-k+岛的平方根.

二十二、解答题

22.如图，用两个面积为200c〃」的小正方形拼成一个大的正方形.

(1)则大正方形的边长是.

（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为

4:3,且面积为360c•小?

二十三、解答题

23.汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查

看河水及两岸河堤的情况.如图1,灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即|可转，

灯“射出的光束自即顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A射出

的光束转动的速度是。。/秒，灯“射出的光束转动的速度是〃/秒，且〃、b满足

,一照十（a十〃-4）2=0.假定这带水域两岸河堤是平行的，UPPQ//MN,且

ZBAN=45°.

（2）如图2,两灯同时转动，在灯A射出的光束到达AN之前，若两灯射出的光束交于点

C,过C作CD14C交PQ于点。，若NBCD=20。,求ZZMC的度数；

（3）若灯"射线先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯“射出的光束到达8Q

之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

二十四、解答题

24.已知ABIICD,点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之

间，NAMP=NPQN=a,PQ平分/MPN.

（1）如图①，求NMPQ的度数（用含a的式子表示）；

（2）如图②，过点Q作QEIIPN交PM的延长线于点E,过E作EF平分NPEQ交PQ于点

F.请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由：

（3）如图③，在（2）的条件下，连接EN,若NE平分NPNQ,请你判断NNEF与NAMP

的数量关系，并说明理由.

图①图②图③

二十五、解答题

25.在A48C中，N847=90。，点。是8c上一点，将△48。沿AO翻折后得到△AED,边

AE交BC于点F.

AA

>------ORF工B-----D\^FC

WOF(备用图)

⑴如图①，当4E_L8c时，写出图中所有与N8相等的角：；所有与NC相等的

角：.

(2)若NC-Z8=50°,ZBAD=x0(0<x<45).

①求N8的度数；

②是否存在这样的x的值，使得AOEF中有两个角相等.若存在，并求x的值；若不存

在，请说明理由.

【参考答案】

一、选择题

1.D

解析：D

【分析】

依据算术平方根、平方根、立方根的性质求解即可.

【详解】

解：A^«=2，故选项错误；

B、±>/16=±4>故选项错误；

C、加彳=4,故选项错误；

D、4=一2,故选项F询：

故选D.

【点睛】

本题主要考查的是立方根、平方根、算术平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关

键.

2.B

【分析】

根据平移的概念观察即可

【详解】

解：由“基本图案〃经过旋转得到

由“基本图案〃经过平移得到

由“基本图案〃经过翻折得到

不能由"基本图案〃经过平移得到

故选：B

【点睛】

本题考查

解析：B

【分析】

根据平移的概念观察即可

【详解】

解：由“基本图案”经过旋转得到

由“基本图案〃经过平移得到

由“基本图案”经过翻折得到

不能由“基本图案”经过平移得到

故选：B

【点睛】

本题考查平移的概念，考查观察能力

3.B

【分析】

根据各象限内点的坐标特征解答即可.

【详解】

解：点4（-3,2）在第二象限，

故选：B.

【点睛】

本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，

四个象限的符号特点分别是：第一象限（+,+）;第二象限（-,+）;第三象限

第四象限（+，・）.

4.C

【分析】

根据命题的定义分别对各语句进行判断.

【详解】

解：“同角的补角相等"是命题，"雪是白的"是命题；"画NAOB=RtN"不是命题；“他是小张

吗？”不是命题：“两直线相交只有一个交点”是命题.

故选：C.

【点睛】

本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两

部分组成，题设是已知事项，结论是由己知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那

么…〃形式.有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.

5.B

【分析】

由对顶角相等得NDFE=55:然后利用平行线的性质,得到N8EF=125°,即可求出Z2的度

数.

【详解】

解：由题意，根据对顶角相等，则

ZDFE=Z1=55°,

AB"CD,

ZDFE+ZB£F=180°,

ZBEF=180°-55o=125°,

JEG工EF,

ZFEG=90°,

Z2=125o-90°=35°；

故选：B.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，对顶角相等，解题的关键是掌握平行线的性质，正确的求出

ABEF=\25°.

6.A

【分析】

依据立方根、平方根算术平方根的定义求解即可

【详解】

①07-3故①正确;②±屈-±4,故②错误；

两=3g,故③错误;④脑7故④错误.

故选:A.

【点睛】

此题考查立方根，算术平方根和平方根，掌握运算法则是解题关键

7.B

【分析】

根据平行线的性质推出NG£3=N1,NGFE=NFEB,然后结合角平分线的定义求解即可

得出NGFE,从而得出结论.

【详解】

解：:AB//CD,

：.ZGEB=Z1=46°,NGFE=NFEB,

•••NGEB的平分线EF交CD于点、F,

NGEF=/FEB=上NGEB=23°,

2

/.NGFE=/FEB=23。,

Z2=180°-ZGFE=180°-23°=157°,

故选：B.

【点睛】

本题考查平行线的性质和角平分线的定义，理解并熟练运用平行线的基本性质是解题关

键.

8.C

【分析】

根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出第2021秒时点P的坐

标.

【详解】

半径为1个单位长度的半圆的周长为：，

•・•点P从原点0出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度

解析：c

【分析】

根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出第2021秒时点P的坐标.

【详解】

半径为1个单位长度的半圆的周长为：gx2乃xl=/r,

速度为每秒］个单位长度,

•・•点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动

・・・点P1秒走/个半圆,

当点P从原点。出发，沿这条曲线向右运动,运动时间为1秒时,点P的坐标为（1

1），

当点P从原点。出发，沿这条曲线向右运动,运动时间为2秒时,点P的坐标为（2

0）,

当点P从原点。出发，沿这条曲线向右运动,运动时间为3秒时,点、P的坐标为（3

1）,

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动,运动时间为4秒时,点P的坐标为（4

0）,

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动,运动时间为5秒时,点P的坐标为（5

1）,

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动,运动时间为6秒时,点P的坐标为（6

0),

可得移动4次图象完成一个循环，

202U4=505...1,

「•点P运动到2021秒时的坐标是（2021,1）,

故选：C.

【点睛】

此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问

题.

九、填空题

9.6

【解析】

【分析】

根据平方和算术平方根的非负性，求出x、y的值，代入计算得到答案.

【详解】

解：由题意得,x-2=0,y-3=0,

解得，x=2,y=3,

xy=6,

故答案为：6.

【点睛

解析：6

【解析】

【分析】

根据平方和算术平方根的非负性，求出x、y的值，代入计算得到答案.

【详解】

解：由题意得，x-2=0,y-3=0,

解得，x=2,y=3,

xy=6,

故答案为：6.

【点睛】

本题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为。时，这几个非负数都为0是解题的

关键.

十、填空题

10.0

【分析】

根据题意结合关于x轴对称点的性质得出关于a,b的等式，进而求出答案.

【详解】

解：•・•点P(3,-1)关于x轴的对称点Q的坐标是(a+b,1-b),

a+b=3,l-b=l,

解析:0

【分析】

根据题意结合关于x釉对称点的性质得出关于。，b的等式，进而求出答案.

【详解】

解：二•点P(3,-1)关十x轴的对称点Q的坐标是(a+b,1-b),

a+b=3,l-b=l,

解得：a=3»b=0,

故答案为：3,0.

【点睛】

此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出。，b的值是解题关键.

十一、填空题

11.4

【分析】

过点D作DF_LAC,则由AD是△ABC的角平分线，DF±AC,DE±AB,可以得到

DE二DF,可由三角形的面积的〃进而解得AC的长.

【详解】

过点D作DF±AC

,/AD是4AB

解析：4

【分析】

过点D作DFJ_AC,则由AD是△ABC的角平分线，DF_LAC,DE±AB,可以得到DE=DF,可由

三角形的面积的+S,"0c=SAABCAABxDE+|ACxDF=15,进而解得AC的长.

【详解】

过点D作DF±AC

TAD是△ABC的角平分线，DF±AC,DE±AB,

/.DE=DF,

又三角形的面积的1Atm+SAADC=S'W，

即LABxDE+1ACxDF=15,

22

解得AC=4

【点睛】

主要考查了角平分线的性质，三角形的面枳，掌握角平分线的性质及三角形的面积是解题的

关键.

十二、填空题

12.36°

【分析】

如图，根据平行线的性质可得N3=N2,然后根据平角的定义解答即可.

【详解】

解：如图，二•三角尺的两边aIIb,

/.Z3=Z2=545,

Zl=180°-90°-Z3=36°.

故

解析；36。

【分析】

如图，根据平行线的性质可得/3=/2,然后根据平角的定义解答即可.

【详解】

解：如图，二•三角尺的两边allb,

/.Z3=Z2=54?,

...Zl=1800-900-z3=36°.

故答案为:36°.

【点睛】

本题以三角板为载体，主要考查了平行线的性质和和平角的定义，属于基础题型，熟练掌

握平行线的性质是解题关犍.

十三、填空题

13.62°

【分析】

根据折叠的性质求出NEFB'=N1=59°,ZBTC=180°-Z1-ZEFB'=62°,根据

平行线的性质：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，

③两直线平行，同旁

解析：62。

【分析】

根据折叠的性质求出NEFB，=N1=59。，N8午C=180。-/1-NEF夕=62。，根据平行线的性

质：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内

角互补.：求出即可.

【详解】

解：••・将一张长方形纸片沿EF折叠后，

点A、8分别落在4、夕的位置，Z1=59%

ZEFB'=N1=59%

Z87<=180~1-ZEF3'=62",

・「四边形48CD是矩形，

/.ADWBC,

：.Z2=ZBTC=62°,

故答案为：62。.

【点睛】

本题考查了对平行线的性质和折叠的性质的应用，解此题的关键是求出NB，FC的度数，注

意：①两宜线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内

角互补.

十四、填空题

14..

【分析】

设S=,等号两边都乘以5可解决.

【详解】

解：设S:①

则5S=©

②-①得4S=,

所以S=.

故答案是：.

【点睛】

本题考查了有理数运算中的规律性问题，此题参照例子，采用类比的

531_1

解析：--

4

【分析】

设S=l+5+52+53+……+53%等号两边都乘以5可解决.

【详解】

解：设S=1+5+5?+5、……+5”)①

则5s=5+5?+53++5^+5'②

②-①得4s=5J，

531-1

所以S=2__1.

4

炉_1

故答案是：二」.

4

【点睛】

本题考查了有理数运算中的规律性问题，此题参照例子，采用类比的方法就可以解决.

十五、填空题

15,【分析】

由M点的位置易求OM的长，在根据三角形的面积公式计算可求解.

【详解】

解：在y轴上，纵坐标为4,

0M=4,

P(6,-4),

SAOMP=OM*|xP|

=x4x6

=12

解析：【分析】

由M点的位置易求0M的长，在根据三角形的面积公式计算可求解.

【详解】

解：:M在y轴上，纵坐标为4,

。例=4,

.:P(6,-4),

5AOMP=yO/W*|xp|

=gx4x6

=12.

故答案为12.

【点睛】

本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，根据三角形的面积公式求解是解题的关

键.

十六、填空题

16.(64,4)

【分析】

横坐标为1的点有1个，纵坐标只是0;横坐标为2的点有2个，纵坐标是0

或1;横坐标为3的点有3个，纵坐标分别是0,1,2…横坐标为奇数，纵坐标

从大数开始数；横坐标为偶数，则从0

解析：(64,4)

【分析】

横坐标为1的点有1个，纵坐标只是0；横坐标为2的点有2个，纵坐标是。或1；横坐

标为3的点有3个，纵坐标分别是0,1,2…横坐标为奇数，纵坐标从大数开始数；横坐标

为偶数，则从。开始数.

【详解】

解：把第一个点(1,0)作为第一列，(2,1)和(2,0)作为第二列，

依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，

第〃列有〃个数.则，列共有心士D个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列

2

点的顺序由下到上.

因为1+2+3+...+63=2016,则第2021个数一定在第64歹IJ,由下到上是第5个数.

因而第2021个点的坐标是(64,4).

故答案为：(64,4).

【点睛】

本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律，题目

比较典型，但是•道比较容易出错的题目.

十七、解答题

17.（1）;（2）-5.

【分析】

（1）直接利用算术平方根以及立方根的定义化简得出答案;

（2）直接利用算术平方根以及立方根的定义化简得出答案.

【详解】

（1）

=1+-2

（2）

=3-4+

解析：（1）拒一2；（2）-5.

【分析】

（1）直接利用算术平方根以及立方根的定义化简得出答案；

（2）直接利用算术平方根以及立方根的定义化简得出答案.

【详解】

⑴（-1产闽-我

=l+x/2-l-2

=72-2

（2）x/9-（--）-2+（^--2018）°-Vl25

2

=3-4+1-5

=-5

【点睛】

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

十八、解答题

18.（1）；（2）

【分析】

（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；

（2）方程利用立方根的定义开立方即可求出解.

【详解】

解：（1）方程变形得：，

解得：；

（2）开立方得：，

解得：.

4

解析：（1）x=±-；（2）x=5

【分析】

（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；

（2）方程利用立方根的定义开立方即可求出解.

【详解】

解：⑴方程变形得：9=登，

O1

解得：、=土。

（2）开立方得：x-l=4,

解得：x=5.

【点睛】

本题考查了立方根，以及平方根，解题的关键是熟练掌握各自的求解方法.

十九、解答题

19.见解析

【分析】

根据平行线的判定和性质定理以及对顶角相等即可得到结论.

【详解】

解：证明：・•.NAOB=80°,

/.ZCOD=ZAOB=80°（对顶角相等）.

BCIIEF（已知），

ZCOD+

解析：见解析

【分析】

根据平行线的判定和性质定理以及对顶角相等即可得到结论.

【详解】

解：证明：408=80°,

ZCOD=Z408=80。（对顶角相等）.

BCIIEF（己知）,

NCOD+N1=180。（两直线平行，同旁内角互补）.

Z1=100°.

...Z1+ZC=160°（已知）,

ZC=1600-Z1=60°.

又「Z8=60。，

ZB=ZC.

」.4811CD（内错角相等，两直线平行）.

AZ4=ZD（两直线平行，内错角相等）.

【点睛】

本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直

线平行，内错角相等.也考查了对顶角的定义.

二十、解答题

20.（1）见解析；（2）；（3）

【分析】

（1）根据平移规律确定，，的坐标，再连线即为平移后的三角形；

（2）根据平移规律写出的坐标即可；

（3）可将三角形补成一个矩形，用矩形的面积减去三个直角形的面

解析：（1）见解析；（2）（3）7

【分析】

（1）根据平移规律确定A，。’的坐标，再连线即为平移后的三角形A'8'C；

（2）根据平移规律写出K的坐标即可；

（3）可将三角形补成一个矩形，用矩形的面积减去三个直角形的面积即可.

【详解】

（1）如图所示，三角形A'6'C'即为所求；

（2）若把三角形48c向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形

A9C,点人的坐标为（-3,1）；

（3）三角形48c的面积为：4x5-gx2x4-gxlx3-gx3x5=7.

【点睛】

本题主要考查了图形的平移，以及三角形在坐标轴上的计算，切割法的运用，掌握平移规

律和运用切割法求面积是解题的关键.

二十一、解答题

21.【分析】

根据平方根的性质即口、.求出的值，根据立方根的定义求得的值，根据求得的小

数部分是，即可求得答案.

【详解】

••・一个正数的两个平方根为和,

解得：，

・•,是的立方根，

•♦，

解得：，

•,

解析：±3

【分析】

根据平方根的性质即可求出〃的值，根据立方根的定义求得加的值，根据6<屈<7求得

病的小数部分是3即可求得答案.

【详解】

一个正数的两个平方根为2〃+1和〃-4,

2〃+1+(〃-4)=0,

解得：〃=1,

••・2〃是2/n+4的立方根,

(2〃y=2m+4,

解得：m=2,

V6<>/39<7,

・••屈的整数部分是6,则小数部分是：*=屈-6,

//7+/?-^+>/39=2+l-(V39-6j+\/39=9,

机+〃一女+屈的平方根为：±5/9=±3.

【点睛】

本题考查了平方根的性质，立方根的定义，估算无理数的大小，解题的关键是正确理解平

方根的定义以及“夹逼法”的运用.

二十二、解答题

22.(1)；(2)无法裁出这样的长方形.

【分析】

(1)先计算两个小正方形的面积之和，在根据算术平方根的定义，即可求解；

(2)设长方形长为cm,宽为cm,根据题意列出方程，解方程比较4x与20的

大小

解析：(1)20；(2)无法裁出这样的长方形.

【分析】

(1)先计算两个小正方形的面积之和，在根据算术平方根的定义，即可求解；

(2)设长方形长为4xcm,宽为3xcm,根据题意列出方程，解方程比较4x与20的大小即

可.

【详解】

解：(1)由题意得，大正方形的面积为200+200=400c",

边长为：j400=20c?〃；

(2)根据题意设长方形长为4工cm,宽为3xcm,

由题：4x-3x=360

则丁=30

.x>0

x->/30

二长为4历

4屈>20

二无法裁出这样的长方形.

【点睛】

本题考杳了算术平方根，根据题意列出算式(方程)是解决此题的关键.

二十三、解答题

23.(1),；(2)30°；(3)15秒或82.5秒

【分析】

(1)解出式子即可；

(2)根据，用含t的式子表示出，根据(2)中给出的条件得出方程式，求出

t的值，进而求出的度数；

(3)根据灯B的

解析：(1)”=3,b=l；(2)30°：(3)15秒或82.5秒

【分析】

(1)解出式子,-34+(〃+人4)2=0即可：

(2)根据尸用含t的式子表示出N8C4,根据(2)中给出的条件得出方程式

ZBCD=900-ZBCA=90c-[1800-(2r)°]=(2r)°-90°=20°,求出t的值，进而求出/SAC

的度数；

(3)根据灯8的要求，t<150,在这个时间段内A可以转3次，分情况讨论.

【详解】

解：(1)-劝|+3+b-4)2=0.

乂。-3勿20,(67+/?-4r>0.

.\a=3,/?=1；

(2)设A灯转动时间为/秒，

QBDP

如图，作CE〃PQ,而尸Q//MM

/.PQHCEHMN、

：.ZACE=Z1CAN=180°-3Z°,乙BCE=/CBD=『,

Z.BCA=ZCBD+KAN=/°+180°-(3/)°=180°-(2/)°,

vZACD=90°,

NBCD=90。-/BCA=90。-[l80°-(27)°]=(2/)°-90°=20°,

.\r=55

ZOW=180°-(3r)°,

AZBAC=45o-[180o-(3z)o]=(3r)o-i35o=165o-135o=30°

(3)设A灯转动，杪，两灯的光束互相平行.

依题意得0<1<150

①当0</<60时，

两河岸平行，所以N2=Z3=（3。。

两光线平行，所以N2=Nl=30+产

所以，Z1=Z3

BP：3r=30+n

解得r=15；

②当60CZV120时,

两光束平行，所以N2=/3=（30+/）。

两河岸平行，所以N1+N2=18O。

Zl=3r-180°

所以，3・180+30+1=180,

解得£=82.5；

③当120</vl50时，图大概如①所示

3r-360=r+30,

解得/=195>150（不合题意）

综上所述，当7=15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行.

【点睛】

这道题考察的是平行线的性质和一元一次方程的应用.根据平行线的性质找到对应角列出

方程是解题的关键.

二十四、解答题

24.（1）2a；（2）EF_LPQ,见解析；（3）ZNEF=ZAMP,见解析

【分析】

1）如图①，过点P作PRIIAB,可得ABIICDIIPR,进而可得结论；

（2）根据已知条件可得2NEPQ+2NPEF=

解析：（1）2ct：（2）EF_LPQ,见解析；（3）NNEF=^NAMP,见解析

【分析】

1）如图①，过点P作PRIIAB,可得ABIICDIIPR,进而可得结论；

（2）根据已知条件可得2/EPQ+2NPEF=180。，进而可得EF与PQ的位置关系；

（3）结合（2）和已知条件可得/QNE=NQEN,根据三角形内角和定理可得NQNE=g

（180°-ZNQE）=；（180。-3a）,可得NNEF=1800-NQEF-NNQE-NQNE,进而可

得结论.

【详解】

解：（1）如图①，过点P作PRIIAB,

图①

ABIICD,

ABIICDIIPR,

/.ZAMP=ZMPR=a,/PQN=NRPQ=a,

ZMPQ=NMPR+ZRPQ=2a；

(2)如图②，EFJ_PQ,理由如下：

E

AA/B

图⑵

,/PQ平分NMPN.

ZMPQ=ZNPQ=2a,

QEIIPN,

/.ZEQP=ZNPQ=2a,

/.ZEPQ=ZEQP=2a,

,/EF平分NPEQ,

...ZPEQ=2NPEF=2ZQEF,

•「ZEPQ+NEQP+NPEQ=180°,

2ZEPQ+2NPEF=180°,

ZEPQ+NPEF=90",

ZPFE=180°-90*=90°,

/.EFJ_PQ：

(3)如图③，ZNEF=^ZAMP,理由如下:

图③

由(2)可知：ZEQP=2a,ZEFQ=90°,

ZQEF=90°-2a,

ZPQN=a,

ZNQE=ZPQN+ZEQP=3a,

丁NE平分/PNQ,

ZPNE=ZQNE,

,/QEIIPN,

ZQEN=NPNE,

/.ZQNE=NQEN,

ZNQE=3a,

/.ZQNE=y(180°-ZNQE)=y(180°-3a),

/.ZNEF=180°-ZQEF-ZNQE-ZQNE

=180°-(90°-2a)-3a-J(180°-3a)