2024-2025学年湖南省永州四中直升班高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省永州四中直升班高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=6，A.4 B.5 C.6 D.72.已知函数为f(x)的定义域为R，f(x)>f(x−1)+f(x−2)，且当x<3时，f(x)=x，则下列结论中一定正确的是(

)A.f(10)>100 B.f(20)>1000 C.f(10)<1000 D.f(20)<100003.若sin(α+β)+cos(α+β)=2A.tan(α−β)=1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α−β)=−14.甲、乙、丙、丁共4名同学进行党史知识比赛，决出第1名到第4名的名次(名次无重复)，其中前2名将获得参加市级比赛的资格．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的资格．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，4人的排名有(    )种不同情况．A.6 B.8 C.10 D.125.已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是A.1 B.−1 C.0，1 D.−1，0，16.已知a+2a=b+3A.b<a<0 B.0<a<b<1 C.b+2a>a+7.若对任意的x∈(0,+∞)，ax−ln(2x)≥1恒成立，则实数a的最小值是(

)A.2 B.3 C.4 D.58.已知函数f(x)=xex+1−kx+k，有且只有一个负整数x0，使f(x0A.(23e,12] B.(0,二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知点M(1,0)关于直线mx−y+1=0(m∈R)的对称点N在直线x+y=0上，则实数m的值为(

)A.3 B.2 C.−310.已知点A(−5,4)和B(3,2)，则过点C(−1,2)且与A，B的距离相等的直线方程为(

)A.x+4y−7=0 B.x−4y−7=0 C.y=−14x−11.已知F1，F2是椭圆x2a12+y2bA.a12−b12=a22+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若随机变量X～N(1,σ2)，2P(X<0)=P(X≤2)=m，则m=13.已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD.当ACAB取得最小值时，BD=______．14.在各棱长均相等的正四面体PABC中，取棱PC上一点T，使PT=2TC，连接TA，TB，三棱锥T−PAB的内切球的球心为M，三棱锥T−ABC的内切球的球心为N，则平面MAB与平面NAB的夹角的正弦值是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，焦距为23．

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)过点P(−2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与16.(本小题15分)

已知一个黑色袋子里装有2个红球，4个白球，这些球除颜色不同外，其余均相同，甲同学每次从袋子中任取一个球，不放回，直到把两个红球都取出来即终止，记此时袋子里剩余球的个数为X．

(1)求甲同学取球两次即终止的概率；

(2)求随机变量X的分布列及期望．17.(本小题15分)

如图，我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设e1，e2分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量OP=xe1+ye2，则把实数对[x,y]叫做向量OP的“完美坐标”．

(1)若向量OP的“完美坐标”为[3,4]，求|OP|；

(2)已知[x1,y1]，[x2,y2]分别为向量a18.(本小题17分)

设函数y=f(x)的定义域为D，其导函数为f′(x)，区间I是D的一个非空子集.若对区间I内的任意实数x，存在实数t，使得x+t∈D，且使得f(x+t)≥(t+1)⋅f′(x)成立，则称函数y=f(x)为区间I上的“M(t)函数”．

(1)判断函数f(x)=cosx是否为[0,π]上的“M(π2)函数”，并说明理由；

(2)若函数g(x)=x2−ax是[0,2]上的“M(2)函数”．

(ⅰ)求a的取值范围；19.(本小题17分)

定义：若函数f(x)与g(x)在公共定义域内存在x使得f(x)+g(x)=0，则称f(x)与g(x)为“契合函数”．

(1)判断函数f(x)=e2x−2e2和g(x)=ex+1是否为“契合函数”；

(2)若函数f(x)=lnx−1和g(x)=−x2−ax+1不为“契合西数”，求a的取值范围；

(3)若函数参考答案1.B

2.B

3.C

4.C

5.D

6.D

7.A

8.A

9.AC

10.AD

11.ABD

12.2313.314.315.解：(Ⅰ)由题意得，

b=12c=23，∴b=1，c=3，a=2，

∴椭圆E的方程为x24+y2=1．

(Ⅱ)设过点P(−2,1)的直线为y−1=k(x+2)，B(x1,y1)，C(x2,y2)，

联立得y−1=k(x+2)x24+y21=1，即(1+4k2)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0，

∵直线与椭圆相交，∴Δ=[(16k216.(1)设甲同学取球两次即终止为事件A，

则P(A)=A22A44A66=115；

(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，

则P(X=0)=C21X

0

1

2

3

4

P

1

4

1

21E(X)=1×415+2×15+3×215+4×115=43．

17.解：(1)因为OP的“完美坐标”为[3,4]，则OP=3e1+4e2，

又因为e1，e2分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为60°，

所以|e1|=|e2|=1，e1⋅e2=|e1|·|e2|cos60°=12，

所以|OP|=(3e1+4e2)2=9e12+24e1⋅e2+16e22=9+24×12+16=37．

(2)18.解：(1)因为f(x)=cosx，则f′(x)=−sinx，

因为f(x+π2)=cos(x+π2)=−sinx，(π2+1)⋅f′(x)=−(π2+1)⋅sinx．

又x∈[0,π]，所以sinx≥0，

所以f(x+π2)≥(π2+1)f′(x)对于任意x∈[0,π]恒成立．

故f(x)=cosx是[0,π]上的“M(π2)函数”．

(2)(ⅰ)g′(x)=2x−a，

由条件得(x+2)2−a(x+2)≥3(2x−a)对任意的x∈[0,2]恒成立，

即a(x−1)≤(x−1)2+3任意的x∈[0,2]恒成立．

①当x=1时，对一切a∈R成立．

②当0≤x<1时，a≥(x−1)+3x−1恒成立．

设F(x)=x−1+3x−1，则F′(x)=1−3(x−1)2<0对任意的x∈[0,1)恒成立，

所以F(x)在[0,1)上单调递减，可得a≥F(x)max=F(0)=−4．

③当1<x≤2时，由a≤(x−1)+3x−1恒成立．

设F(x)=x−1+3x−1，则F′(x)=1−3(x−1)2<0，所以F(x)在(1,2]上单调递减，

可得a≤F(x)min=F(2)=4．

综上所述，a的范围是[−4,4]．

19.解：(1)根据定义，若f(x)与g(x)为“契合函数”，则f(x)+g(x)=e2x−2e2+ex+1=0在公共定义域内有解．

即(ex+2e)(ex−e)=0，ex−e=0，解得x=1，

所以f(x)与g(x)为“契合函数”．

(2)令φ(x)=f(x)+g(x)=lnx−ax−x2，x∈(0,+∞)，

因为f(x)与g(x)不为“契合函数，又φ(x)为(0,+∞)上的连续函数，

所以φ(x)在(0,+∞)上无零点，即恒为负或恒为正．

(i)若φ(x)>0在(0,+∞)上恒成立，则φ(1)=−a−1>0，即a<−1，

又当a<−1时，φ(1−a)=ln(1−a)−a(1−a)−(1−a)2=ln(1−a)−(1−a)，

令u(x)=lnx−x，所以u′(x)=1x−1=1−xx，

令u′(x)>0，解得0<x<1，u(x)单调递增，令u′(x)<0，解得x>1，u(x)单调递减，

所以u(x)≤u(1)=−1<0，所以φ(1−a)<0，与假设矛盾，

所以不存在a使得φ(x)>0在(0,+∞)上恒成立．

(ii)若φ(x)<0在(0,+∞)上恒成立，即a>lnx−x2x，

令L(x)=lnx−x2x，所以L′(x)=1−lnx−x2x2，

又y=1−lnx−x2在(0,+∞)上单调递减，L′(1)=0，

所以当0<x<1时，L′(x)>0，L(x)单调递增，当x>1时，L′(x)<0，L(x)单调递减，

所以L(x)max=L(1)=−1，

所以a>−1，即a的取值范围是(−1,+∞)．

(3)令H(x)=f(x)+g(x)=xex+msinxmx，

由题意可得，H(x)在(0,π)上存在零点，

即ℎ(x)=xex+msinx在(0,π)上存在零点．又因为ℎ′(x)=(x+1)ex+mcosx，