2024-2025学年河北省唐山市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省唐山市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数(2+i)i的虚部为(

)A.2i B.2 C.−1 D.−i2.已知向量a=(m+1,1)，b=(3,−3)，若a/​/b，则A.2 B.−2 C.12 D.3.某公司生产A，B，C三种不同型号的电子产品，产量分别为100，400，300件，为检验不同产品的质量，现用分层抽样的方法从以上产品中抽取40件进行检验，则应从C种型号的产品中抽取的件数为(

)A.5 B.10 C.15 D.204.已知圆台上、下底面的半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为(

)A.2π B.73π C.835.唐山河头老街景区近期持续火爆出圈，甲、乙2人暑假来此地旅游的概率分别为25,23，假定2人的行动相互没有影响，则暑假至少有1A.15 B.45 C.2156.在△ABC中，已知C=π4，b=2，c=2，则BA.π6 B.π3 C.2π37.某小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加歌咏比赛，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是(

)A.至少有1名男生和至少有1名女生 B.至少有1名男生和全是男生

C.至少有1名男生和全是女生 D.恰有1名男生和恰有2名男生8.已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=π3，设aA.14 B.24 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在△ABC中，M为边AB的中点，则(

)A.AB=CB−CA B.BC=BA10.已知复数z=21−i，则(

)A.z−1是纯虚数 B.z−表示的点在第四象限

C.|z|=2 D.z11.在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，分别以边AB，BC，AC所在的直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，分别记为W1，W2，W3，则A.几何体W1侧面积为20π

B.几何体W2与几何体W3的体积之比为5：3

C.几何体W1与几何体W3的外接球半径之比为5：3

D.过几何体三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.数据：1，2，3，3，5的第50百分位数是______．13.某学校为了解高一学生每周的课余锻炼时间，统计数据如下：高一男生锻炼时长平均为4.2小时，方差为1.96；

高一女生锻炼时长平均为3.7小时，方差为1.91，高一年级男生女生人数之比为3：2，则该校高一学生每周平均锻炼时长的方差为______．

提示：s2=14.在△ABC中，已知2b−ac=cosAcosC，角C的内角平分线交AB于点E，且CE=6，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知平面向量a与b的夹角为45°，且|a|=1，|b|=2．

(1)求a⋅b；

(2)求|a+2b|16.(本小题15分)

如图，四棱锥S−ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD．

(1)求证：AC⊥平面SDB；

(2)若AB=1，直线SB与平面ABCD所成的角为60°，求四棱锥S−ABCD的体积．17.(本小题15分)

2025年5月22日16时49分，神舟二十号航天员陈冬、陈中瑞、王杰完成首次出舱任务，历时约8小时.安全返回天和核心舱.为了弘扬航天精神，某校组织高一学生进行了航天知识能力测试.现随机抽取100名学生的测试成绩(单位：分)，将所得数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，其频率分布直方图如图所示．

(1)求图中a的值；

(2)试估计本次航天知识能力测试成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)；

(3)该校准备对本次航天知识能力测试成绩不及格(60分以下)的学生，采用分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在[40,50)，[50,60)各一人的概率．18.(本小题17分)

如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面A1ACC1⊥平面ABC.D，E分别是棱BC，A1C1的中点．

(1)求证：DE//19.(本小题17分)

某小区拟在一个圆形的空地上，规划一个形状为四边形的花园.如图，四边形ABCD内接于圆O，△ABD为草坪区，△BCD为花卉区，根据规划已知AB=120米，AD=80米，∠BAD=60°．

(1)当∠BDC=45°时，求边BC的长；

(2)取BD的中点E，连接AE，求小径AE的长；

(3)若小径从A点直通C点，当线段AC最长时，求花卉区△BCD的面积．

答案解析1.【答案】B

【解析】解：z=i(2+i)=−1+2i，其虚部为2．

故选：B．

由复数的运算代入计算，即可得到结果．

本题主要考查复数的四则运算，复数的概念，属于基础题．2.【答案】B

【解析】解：向量a//b，b=(3,−3)，a=(m+1,1)，

得−3(m+1)=1×3，所以m=−2．

故选：B．3.【答案】C

【解析】解：由A，B，C三种不同型号的电子产品，产量分别为100，400，300件，

可得：分层抽样的抽样比为40100+400+300=120，

所以从C种型号的产品中抽取的件数为120×300=15．

故选：4.【答案】B

【解析】解：由题意，该圆台r=1，R=2，ℎ=1，

则该圆台的体积V=13πℎ(R2+r2+Rr)=5.【答案】B

【解析】解：因为甲、乙2人暑假来此地旅游的概率分别为25,23，

则暑假两人都没来此地旅游的概率为(1−25)×(1−23)=15，

所以暑假至少有6.【答案】A

【解析】解：在△ABC中，b=2<c=2，可得B<C，即B<π4，

由正弦定理bsinB=csinC，可得sinB=bsinCc7.【答案】D

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，当选到一男一女时，至少有1名男生和至少有1名女生同时发生，既不互斥也不对立，A错误

对于B，两名都是男生时，至少有1名男生和全是男生同时发生，既不互斥也不对立，B错误

对于C，至少有1名男生和全是女生，是对立事件，C错误

对于D，恰有1名男生和恰有2名男生，互斥而不对立，D正确．

故选：D．

根据互斥一定对立，对立不一定互斥的定义逐项分析判断即可．

本题考查互斥事件、对立事件的判断，注意互斥事件、对立事件的联系，属于基础题．8.【答案】C

【解析】解：直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四面体ACB1D1的六条棱所在直线能表征直四棱柱各个面上所有对角线，

该四棱柱的所有棱长都为2，∠BAD=π3，

则AB1=AD1=B1C=CD1=22，B1D1=2,AC=23，

在△AB1D1中，cos∠B1A9.【答案】AB

【解析】解：在△ABC中，AB=CB−CA，A选项正确；

BC=BA+AC，B选项正确；

在△ABC中，M为边AB的中点，则2CM=CB+CA，C选项错误；10.【答案】ABC

【解析】解：复数z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，

z−1=i是纯虚数，故A正确；

z−=1−i表示的点(1,−1)在第四象限，故B正确；

|z|=2，故C正确；

(1+i)2+2(1+i)+2=4+4i≠011.【答案】AC

【解析】解：根据题意易知△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，

对于A选项，因为W1是底面圆半径为4，母线长为5的圆锥，

所以其侧面积为π×4×5=20π，所以A选项正确；

对于B选项，因为W2是底面圆半径为3，高为4的圆锥，

所以其体积为13×9π×4=12π，

又W3是底面圆半径为125，直线AC为轴的共底面的两个圆锥组合而成，

所以体积为V3=13π×(125)2×5=485π，V2V3=54，所以B选项错误；

对于C选项，因为W1轴截面等腰三角形底角正弦为35，

所以其外接球半径为r1=52×35=256，

又W3的外接球半径r3=12AC=52，所以r12.【答案】3

【解析】解：已知数据：1，2，3，3，5，

又5×50%=2.5，

的第50百分位数为第三个数，即为3．

故答案为：3．

根据第50百分位数定义可解．

本题考查百分位数相关知识，属于中档题．13.【答案】2

【解析】解：高一男生、女生锻炼时长平均数为x−=4.2,y−=3.7，方差分别为s12=1.96,s22=1.91，

则该校高一学生每周锻炼时长的平均数z−14.【答案】18【解析】解：在△ABC中，由2b−ac=cosAcosC及正弦定理得2sinB−sinAsinC=cosAcosC，

即2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB，

则cosC=12，解得C=π3，

由S△ACE+S△BCE=S△ABC，得12b×6sinπ6+115.【答案】1；

13；

k=3【解析】(1)已知平面向量a与b的夹角为45°，且|a|=1，|b|=2，

则a⋅b=|a||b|cos45°=1×2×22=1；

(2)|a+2b|=a216.【答案】证明见解析；

63【解析】(1)证明：因为四棱锥S−ABCD的底面是正方形，所以AC⊥BD，

又SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以SD⊥AC，又BD∩SD=D，

所以AC⊥平面SDB；

(2)因为SD⊥平面ABCD，所以直线SB与平面ABCD所成的角为∠SBD=60°，

又易知BD=2，所以SD=3BD=6，

所以四棱锥S−ABCD的体积为13×1×1×6=63．

(1)要证明17.【答案】0.030；

71；

35．【解析】(1)由题意可得(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1，解得a=0.03；

(2)估计本次航天知识能力测试成绩的平均数为：

(0.010×45+0.015×55+0.015×65+0.03×75+0.025×85+0.005×95)×10=71；

(3)因为[40,50)，[50,60)的频率比为0.010：0.015=2：3，

设抽取的5人中[40,50)有2人为a，b、[50,60)有3人为A，B，C，

任抽2人有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC，共10种情况，

其中分数在[40,50)，[50,60)各一人有aA，aB，aC，bA，bB，bC，共6种情况，

故所求为610=35．

(1)根据频率和为1求得a；

(2)由频率直方图的平均数求法可求得本次航天知识能力测试成绩的平均数；

18.【答案】证明见解析；

2．

【解析】(1)证明：取A1B1中点F，连接EF，BF，

由E是A1C1的中点，

所以EF//B1C1//BC,EF=12B1C1=BD，

所以四边形BDEF是平行四边形，所以DE/​/BF，

又因为BF⊂平面A1ABB1且DE⊄平面A1ABB1，

所以DE/​/平面A1ABB1．

(2)在平面ACC1A1内过点A1作A1H⊥AC于H，

因为平面A1ACC1⊥平面ABC，侧面A1ACC1∩平面ABC=AC，

所以A1H⊥平面ABC，因为AB⊂平面ABC，所以A1H⊥AB，

在平面ABC内过H作HG⊥AB于G，连接A1G，

又因为A1H∩HG=H，A119.【答案】40423米；

2019米；【解析】(1)四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=60°，则∠BCD=120°，

在△ABD中，