2024-2025学年河北省唐山市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省唐山市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数(2+i)i的虚部为(

)A.2i B.2 C.−1 D.−i2.已知向量a=(m+1,1)，b=(3,−3)，若a/​/b，则A.2 B.−2 C.12 D.3.某公司生产A，B，C三种不同型号的电子产品，产量分别为100，400，300件，为检验不同产品的质量，现用分层抽样的方法从以上产品中抽取40件进行检验，则应从C种型号的产品中抽取的件数为(

)A.5 B.10 C.15 D.204.已知圆台上、下底面的半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为(

)A.2π B.73π C.835.唐山河头老街景区近期持续火爆出圈，甲、乙2人暑假来此地旅游的概率分别为25,23，假定2人的行动相互没有影响，则暑假至少有1A.15 B.45 C.2156.在△ABC中，已知C=π4，b=2，c=2，则BA.π6 B.π3 C.2π37.某小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加歌咏比赛，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是(

)A.至少有1名男生和至少有1名女生 B.至少有1名男生和全是男生

C.至少有1名男生和全是女生 D.恰有1名男生和恰有2名男生8.已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=π3，设aA.14 B.24 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在△ABC中，M为边AB的中点，则(

)A.AB=CB−CA B.BC=BA10.已知复数z=21−i，则(

)A.z−1是纯虚数 B.z−表示的点在第四象限

C.|z|=2 D.z11.在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，分别以边AB，BC，AC所在的直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，分别记为W1，W2，W3，则A.几何体W1侧面积为20π

B.几何体W2与几何体W3的体积之比为5：3

C.几何体W1与几何体W3的外接球半径之比为5：3

D.过几何体三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.数据：1，2，3，3，5的第50百分位数是______．13.某学校为了解高一学生每周的课余锻炼时间，统计数据如下：高一男生锻炼时长平均为4.2小时，方差为1.96；

高一女生锻炼时长平均为3.7小时，方差为1.91，高一年级男生女生人数之比为3：2，则该校高一学生每周平均锻炼时长的方差为______．

提示：s2=14.在△ABC中，已知2b−ac=cosAcosC，角C的内角平分线交AB于点E，且CE=6，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知平面向量a与b的夹角为45°，且|a|=1，|b|=2．

(1)求a⋅b；

(2)求|a+2b16.(本小题15分)

如图，四棱锥S−ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD．

(1)求证：AC⊥平面SDB；

(2)若AB=1，直线SB与平面ABCD所成的角为60°，求四棱锥S−ABCD的体积．17.(本小题15分)

2025年5月22日16时49分，神舟二十号航天员陈冬、陈中瑞、王杰完成首次出舱任务，历时约8小时.安全返回天和核心舱.为了弘扬航天精神，某校组织高一学生进行了航天知识能力测试.现随机抽取100名学生的测试成绩(单位：分)，将所得数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，其频率分布直方图如图所示．

(1)求图中a的值；

(2)试估计本次航天知识能力测试成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)；

(3)该校准备对本次航天知识能力测试成绩不及格(60分以下)的学生，采用分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在[40,50)，[50,60)各一人的概率．18.(本小题17分)

如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面A1ACC1⊥平面ABC.D，E分别是棱BC，A1C1的中点．

(1)求证：DE//19.(本小题17分)

某小区拟在一个圆形的空地上，规划一个形状为四边形的花园.如图，四边形ABCD内接于圆O，△ABD为草坪区，△BCD为花卉区，根据规划已知AB=120米，AD=80米，∠BAD=60°．

(1)当∠BDC=45°时，求边BC的长；

(2)取BD的中点E，连接AE，求小径AE的长；

(3)若小径从A点直通C点，当线段AC最长时，求花卉区△BCD的面积．

参考答案1.B

2.B

3.C

4.B

5.B

6.A

7.D

8.C

9.AB

10.ABC

11.AC

12.3

13.2

14.1815.(1)已知平面向量a与b的夹角为45°，且|a|=1，|b|=2，

则a⋅b=|a||b|cos45°=1×2×2216.(1)证明：因为四棱锥S−ABCD的底面是正方形，所以AC⊥BD，

又SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以SD⊥AC，又BD∩SD=D，

所以AC⊥平面SDB；

(2)因为SD⊥平面ABCD，所以直线SB与平面ABCD所成的角为∠SBD=60°，

又易知BD=2，所以SD=3BD=617.(1)由题意可得(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1，解得a=0.03；

(2)估计本次航天知识能力测试成绩的平均数为：

(0.010×45+0.015×55+0.015×65+0.03×75+0.025×85+0.005×95)×10=71；

(3)因为[40,50)，[50,60)的频率比为0.010：0.015=2：3，

设抽取的5人中[40,50)有2人为a，b、[50,60)有3人为A，B，C，

任抽2人有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC，共10种情况，

其中分数在[40,50)，[50,60)各一人有aA，aB，aC，bA，bB，bC，共6种情况，

故所求为61018.(1)证明：取A1B1中点F，连接EF，BF，

由E是A1C1的中点，

所以EF//B1C1//BC,EF=12B1C1=BD，

所以四边形BDEF是平行四边形，所以DE//BF，

又因为BF⊂平面A1ABB1且DE⊄平面A1ABB1，

所以DE//平面A1ABB1．

(2)在平面ACC1A1内过点A1作A1H⊥AC于H，

因为平面A1ACC1⊥平面ABC，侧面A1ACC1∩平面ABC=AC，

所以A1H⊥平面ABC，因为AB⊂平面ABC，所以A1H⊥AB，

在平面ABC内过H作HG⊥AB于G，连接A1G，19.(1)四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=60°，则∠BCD=120°，

在△ABD中，用余弦定理：BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcos∠BAD，代入AB=120，AD=80，cos60°=12，

得BD2=1202+8