专题1.7全等三角形的判定（二）（举一反三讲义）数学浙教版2024八年级上学期

（1）找第三边——利用“SSS”2）找夹角——利用“SAS”；（1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”2）找（1）找一角——利用“AAS”2）若是直角找一边（1）找夹边——利用“ASA”2）找夹边外任意一边——利用“AAS”1．如图，在△ABC中，线段AB=AC，BD,CE都是△ABC的角平分线，连接DE的全等三角形的对数是()2．如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，则图中的全等三角形的对数是()3．如图，点C，D分别在线段OA，OB上，AD与BC相交于点E，若OC=OD，ÐA=ÐB，则图中全等三角形的对数为()4．如图1，已知AB=AC，D为ÐBAC的角平分线上一点，连接BD、CD；如图2，已知AB=AC，D、E为ÐBAC的角平分线上两点，连接BD、CD、BE、CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为ÐBAC的角平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、BF、CF；…,依次规律，第n个图形中全等三角形的对数是()5．如图，已知△ABC三条边的长都为10cm，三个内角都相等点P以每秒1cm速度沿AB向点B运动，点Q以每秒4cm速度沿折线A-C-B运动，当点Q到达点B时，点P也同时停止运动．如果点Q在边BC上，且以A、B、C中的两点和点Q为顶点构成的三角形与△PAC全等，那么运动的时6．如图，在△ABC中，AB=AC=12cm，BC=8cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，当点A出发沿边AD向终点D移动，动点Q以2cm/s的速度从点B出发沿边BC向终点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线BD向终点D移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接PM、QM，求动点M的速度为多少时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与△QBM全等（点B与点D是对应点”甲答：3cm/s，乙动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动，点P和点Q的速度分别为2cm/s和3cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束，在某时刻分别过点P和点Q作PE丄l于点E，QF丄l于点F，设9．题目：“如图，直线AM丄AN，AB平分ÐMAN，过点B作BC丄BA交AN于点C，且BC=AB．动点E从点A出发，沿射线AN运动，作BD丄BE，交直线AM于点D．关于BD和BE的关系，下列说法正确的是()A．点E只有在线段AC上运动时，BD和BE才相等B．点E只有在线段AC的延长线上时，BD和BE才相等C．点E在运动过程中，BD和BE一直相等(1)试判断线段FG与MH的关系，并说明理由．(1)如图2，点D是AB的延长线上的一点，猜想AD、BE的关系，并证明你的结论；(2)探究AB,BE,BD的数量关系，直接写出你(2)若直线AE绕点A旋转到图（2）位置时（BD<CE其余条件不变，问BD与DE，CE(3)若直线AE绕点A旋转到图（3）位置时（BD>CE其【初步感知】（1）特殊情形：如图①,若点D，E分别在边AB，AC上，则DB连接BD，CE，则BD，CE满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．14．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF分别交AD，(2)判断线段AD与BC的位置关系，并说明理由．(2)当点D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAE；AD的数量关系怎样？直线BE与直线AD的位置关系怎样？请说明理由．171）如图，在△ABC中，以BC为一边作△BCD，使得△ABC≌△DCB，画出所有符合条件的△BCD（用直尺和圆规作图，不写作法，保留弧相交于点D，连接AD,CD，则ÐADC的度数为()A．41°B．49°C．51°201）如图1，AE是∠MAD的平分线，点C是AE上一点，点B是AM上一点，在AD上求作一点P，使得△ABC≌△APC，请保留清晰的作图痕迹．24．如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，上DBP=上DBC，则交DE于F.求证：EF=DF.的面积等于()A．2m2B．1m2积48cm2，那么△DEF的面积为()A．48cm2B．24cm2C．54cm2D．96cm2为边CB延长线上一点，且满足AQ=BE，连接QE交AB于点F，则DF的长为()(1)如图（1当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD30．如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交BC于点M．求让：MD=ME那么BD=32．如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED=EC．(2)猜想如图2，AE与DB的数量关系，并证明你的猜想．BC的长为．36．如图，已知ADⅡBC，AE，BE分别平分ÐDAB，ÐCBA．(1)求：上BEA度数．(2)判断：AF、BG、AB之间关系，并证明．是BC，CD上的点，且上EAF=60°,探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明ADTBC，垂足为D，则BD，CD，AC之间的等量关系是．40．如图，已知AP∥BC，7PAB的平分线与7CBA的平分线相交于点E，CE的连线交AP于点D，求证：AD+BC=AB．【详解】令EC和BD的交点为O．QBD,CE都是△ABC的角平分线Q上A是△ABD和△ACE的公共角:△ABD≌△ACE(ASA):BD=CE:△BCE≌△CBD(AAS):BE=DC:△BED≌△CDE(SAS):△EOB≌△DOC(AAS)【分析】图中有3对全等三角形，分别为△ABC≌△DEF；△ABF≌△DEC；△BCF≌△EFC，△ABC≌△DEF，理由为：由AB与DE平行，利与DE平行利用两直线平行得到一对内错角相等，由已知两对边相等，利用SAS可得证；【详解】解：图中的全等三角形的对数为3对，分别为△ABC=△DEF“AB,DE，“AF＝DC，:△ABC=△DEF（SAS证明：“AB,DE，:△ABF=△DEC（SAS“△ABC=△DEF，△ABF=△DEC，:BC＝EF，BF＝EC，:△BCF=△EFC（SSS:AC=BD，:AE=BE，:ÐCOE=ÐDOE，【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方形中有几对三角形全等，然后找规律．根据图1证出有1对三角形全等，根据图2证出有3对三角形全等，根据图3证出有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形在△ABD和△ACD中，:△ABD≌△ACD，:图1中有1对三角形全等；同理图2中△ABE≌△ACE，:BE=EC，又Q△ABD≌△ACD，:BD=CD，又DE=DE，:△BDE≌△CDE，:图2中有3对三角形全等；分当点Q在AC上时以及当点Q在BC上时的有两种情形CQ=AP或BQ=PA满足条件，分:t=10-4t，解得：t=2．:4t-10=t，解得：如图：当BQ=PA时，△ABQ≌△CAP，故答案为：2或或4．【详解】解：:点D为AB的中点，:BD=AB=6cm，:在△ABC中，AB=AC，:运动时间为s；:BP=4cm，:运动时间为s，【分析】本题考查了全等三角形的应用，由题意可DP=(8-t)cm，又由△ABD≌△△PDM≌△MBQ两种情况根据全等三角形的性质解答即可:DP=(8-t)cm，:△ABD≌△CDB，当△PDM≌△QBM时，则DP=BQ，DM=BM，:8-t=2t，DM=BM=BD=5cm，:此时点M的速度为当△PDM≌△MBQ时，则DP=BM，DM=BQ，:DP+BQ=BM+DM=BD，:此时点M的速度为6÷2=3cm/s；综上，动点M的速度为cm/s或3cm故选：A．【分析】本题考查全等三角形的性质，分△PEC≌△CFQ，且点P在AC上、点Q在BC上运动，△PEC≌△QFC，且点P与点Q重合，当△PEC≌△CFQ，且点Q在AC上、点P在BC上运动三种情况进行讨论求解即可．①如图①,当△PEC≌△CFQ，且点P在AC上、点Q在BC上运动时，此时AP=2tcm,BQ=3tcm，②如图②,当△PEC≌△QFC，且点P与点Q重合时，:6-2t=3t-8，③当△PEC≌△CFQ，且点Q在AC上、点P在BC上运动时，PC=CQ．此时点Q与点A重合，PC=CQ=AC故答案为或6【详解】解：①如图，点E在线段AC上运动时，∵AB平分ÐMAN，:BD=BE，②点E在线段AC的延长线上时，∵AB平分ÐMAN，BC=ABïï:BD=BE，综上可知：点E在运动过程中，BD和BE一直相等，故选：C．FG=MH；（2）由△EFG≌△NMH可得EG=NH，进而可证:FG=MH；:EG=NH，:EG-HG=NH-HG，:EH=NG．（1）根据等腰直角△CED得出CD=CE，上DCE（2）分两种情况：当点D是AB的延长线上的一点时，或当点D是线段AB上的一:AD=BE；（2）解：AB+BD=BE或AB-:AD=BE，又∵上ACB=90°,则∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，:AD=BE，:AB-BD=BE．（3）结论是：当B、C在AE两侧时，BD=DE+CE；当B、C在AE同侧时，:上ACE=上BAD；ïï:△ABD≌△CAE(AAS)；@Q△ABD≌△CAE，:BD=AE，AD=CE；:上ACE=上BAD；ïï:△ABD≌△CAE(AAS)，:BD=AE，AD=CE；:DE=BD+CE；（3）解：结论是：当B、C在AE两侧时，BD=DE+CE；理由：如图（1由（1）②知：BD=DE+CE；当B、C在AE同侧时，DE=BD+CE；:BD=AE，AD=CE；:DE=BD+CE．131）=2）DB=EC仍然成立，证明见解析3）BD=CE，BD丄CE，理由见解析是掌握三角形全等的判定．（1）根据线段的和差关系即可得到DB=【详解】解1）:AB=AC，AD=AE，:AB-AD=AC-AE，:BD=CE；在△ABD和△ACE中，ïìAB=ACï:△ABD≌△ACE(SAS)，:DB=EC；延长BD，分别交AC、CE于点F、G，:AB=AC，AD=AE，上BAC=上DAE=90°,:△ABD≌△ACE(SAS)，【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质．:EH+GH=FG+GH，:EG=FH，:ADⅡBC．:AE=AD，:上DAE-上CAD=上BAC-上CAD，:AB=CD+BD=BC．QAB=AC，:AB=AC=BC．:△ABC为等边三角形，:上ACE=上BAC=60°,:CEⅡAB．:BE=AD．:AC丄BC，延长BE交AD交于点F．如图：:△BCE≥△ACD(SAS)，（2）①作线段BC的垂直平分线，交BC于点E，则点E即为所求；②以点B为圆心，AC的长为半径画弧，再以点C为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的下方交于点M，连接BM，CM，连接AM交BC于点E，则点E即为所求．如图①,根据线段垂直平分线的定义可得点E是BC的中点；:△MCB≌△ABC(SSS)，:△MBE≌△ACM(AAS)，:BE=CE，即点E是BC的中点．等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活又AC=CA，∴△ABC≌△CDA(SSS)，:ÐD=ÐB=49°,201）见解析2）BC=BF+CE，证明见解析．【分析】本题考查角平分线定义，全等三角形判定（1）当AB=AP时，可以证明出△ABC≌△APC，即以点A为圆心，以AB长为半径画弧交AD于一点，则此点为所要求的点P，可以作出图形；在△ABC和△APC中，ïï:△ABC≌△APC，:以点A为圆心，以AB长为半径画弧交AD于一点，则此点为所要求的点P，如下图所示：在BC上截取BD=BF，在VBFO和△BDO中，ïï:△BFO≌△BDO(SAS)，Q上A=60°,BE、CF分别是ÐABC和ÐACB的角平分线，CF:上COE=180°-120°=60°,ïï:△COE≌COD(ASA)，:CE=CD，:BC=BF+CE．21．45【详解】解：如图，连接AB，:△ACE≌△BAD(SAS)，:△CAB是等腰直角三角形，故答案为：45．:AC=AD，:ΔABC@ΔAED(SSS):上B=上E【分析】连接AD，可证△ABD≥△ACD，根据全等三角形对应角相等可以得到在△ABD与△ACD中:△ABD≥△ACD(SSS)，，o，【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，:△ABD为等腰三角形，∵VABC为等边三角形，:AC=BC，:ΔABC≌ΔBDG，:BC=DG，:BE=DG，:ΔBFE≌△GFD，:EF=DF.【点睛】法是解题的关键.:DE=AC=1m，【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形【详解】解：作AM丄BC于M，DN丄EF于N，如图，:△ABM≌△DEN(AAS)，:AM=DN，:S△DEF=S△ABC=48cm2．故选：A．【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，全等三角形AAS判定证出△ADQ≌△BGE，得到DQ=GE，AD=BG，再证出又QAQ=BE，:△ADQ≌△BGE(AAS)，:DQ=GE，AD=BG，:△QDF≌△EGF(AAS)，:DF=GF，可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；证明：过点E作EF//AB交BC于点F，:<ABC=<C；:<EFC=<C，:EF=EC．:EF=BD．:<ADM=<MEF．在△DBM和△EFM中:△DBM≥△EFM，:DM=EM．:<ABC=<C；:<EFC=<C，:EF=EC．:EF=BD．在△DBM和△EFM中:△DBM≥△EFM；:DM=EM；:△DBM一△EFM，:BD：EF=DM：ME，“AB=AC， :EF=EC，:BD：EC=DM：ME=1：2，性质、相似三角形的判定和性质，利用平行构:△BDF是等边三角形，:BD=DF，:DF=CE，:∆FMD≈∆CME，:MD=ME．质，过点E作AC的平行线，交BC的延长线于点F，证得△EBD≌△EFC后即可证得BD=CF，然后利用等边三角形的性质可得AE=CF，即可求得BD的长，解【详解】解：过点E作AC的平行线，交BC的延长线于点F，:△BEF是等边三角形，:BD=CF，故答案为：2．角的性质得到ÐBED=30°,得到ÐD=ÐBED，则BD=BE，证得AE=DB；（2）过E作EFⅡBC交AC于F，先证明△AEF是等边三角形，得到AE=EF=AF，再用:ÐD=ÐBCE=30°,∵ÐABC=ÐD+ÐBED，:ÐD=ÐBED，:BD=BE，:AE=DB．过E作EFⅡBC交AC于F，:△AEF是等边三角形．:AE=EF=AF．:△DEB≌△ECF(AAS)．本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线定义，余角的性质，（2）延长AE、DC交于点F，如图所示：:ABⅡDF，:点E为BC的中点，:BE=CE，:△ABE≌△FCE，:DE丄AF，:DE=DE，:△AED≌△FED，34．AE=BF，AE丄BF，证明见解析．得到AE=BF，延长AE交BF于D，交OB于C，则上BCD=上ACO【详解】解：AE=BF，AE丄BF，证明如下：:在△OAB与△OEF中，:AE=BF；延长AE交BF于D，交OB于C，则上BCD=上ACO，:AE丄BF，:AE=BF，AE丄BF．性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定；延长AB、CD长于点E，证明【详解】解：延长AB、CD长于点E，:△ADE≌△ADC，:DE=CD=4，AE=AC，故答案为：8．定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的性（2）延长AE，交BC点H，先证明△ABE≌△HBE(ASA)得到AE=EH，AB=BH，再证明△AFE≌△HGE(AAS)得到AF=GH，进而可求解．QAE，BE分别平分ÐDAB，ÐCBA，:上BEA=90°;（2）解：AB=BG+AF，理由如下：延长AE，交BC点H，:△ABE≌△HBE(ASA)，:AE=EH，AB=BH，QADⅡBC，:ÐAFE=ÐHGE，在△AFE和△HGE中，:△AFE≌△HGE(AAS)，:AF=GH，(3)结论EF=BE+FD不成立，结论：EF=BE-FD；证明见解析．（21）中的结论EF=BE+FD仍然成立．如图2中，延长CB至M，使BM=DF，连（3）结论EF=BE+FD不成立，结论：EF=BE-FD．如图3中，在BE上截取BG，使