2025年新高二数学暑假衔接(人教A版)【01-暑假复习】第09讲 立体几何中线线角、线面角、二面角问题全归纳（思维导图+知识串讲+8大考点+复习提升）（学生版）

第09讲立体几何中线线角、线面角、二面角问题全归纳

内容导航

串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

知识点01线线角的定义与求解

一、线线角主要是求异面直线所成角。

1、线线角的定义：

①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a//a，b//b，把a与b所成的锐角或直角叫

做异面直线a,b所成的角(或夹角)

1

②范围：0,

2

2、求异面直线所成角一般步骤：

（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．

（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．

（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．

（4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是0,，

2

所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．

3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：

①平行四边形平移法；

②中位线平移法；

③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．

知识点02线面角的定义与求解

1、直线与平面所成角的定义

如图，一条直线PA和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平

面的交点A叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜

线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成

的角.

2、垂线法求线面角（也称直接法）：

（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确

定垂足O；

（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；

（3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。

2

3、公式法求线面角（也称等体积法）：

用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。

公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。

ℎ

𝑠𝑖=��ℎ�

知识点03二面角

1、二面角的定义

①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.

②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个

半平面叫做二面角的面.

2、二面角的表示

①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角

-l-，如图(1).

②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这

个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2).

3、二面角的平面角

①自然语言

在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和

OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.

②图形语言

③符号语言

∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.

4、二面角大小的度量

①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面

角是直角的二面角叫做直二面角.

②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时，

规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是.

3

知识点04求二面角的一般方法

1、定义法

利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射

线所成的角就是二面角的平面角,一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对

角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等常用此法.

2、三垂线法

1.方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜

足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角

2.具体演示：在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足

为O，连接AO，则∠�AOB就是二面角的平面角�。

3、射影面积法

（1）方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为射影，

射影�

平面和平面所成的二面角的大小为，则.

�

这个方法对于无棱二面角的求解很简便。𝐶𝑖=�

（2）以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。

A

A'

BDC

证明：如图，平面内的△ABC在平面的射影为△A'BC，作ADBC于D，连结AD.

AA'于A'，D，

AD在内的射影为A'D.

又ADBC,BC，

A'DBC（三垂线定理的逆定理）.

ADA'为二面角—BC—的平面角.

4

11

设△ABC和△A'BC的面积分别为S和S'，ADA'，则SBCAD,S'BCA'D.

22

1'

'BCAD'

ADS

cos2.

AD1S

BCAD

2

4、补形法

当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线，然后借助

前述的定义法与三垂线法解题．

【考点一：利用平行四边形平移求线线角】

一、单选题

1．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1D与AB1所成的角为（）

A．30oB．45C．60oD．90

2．（23-24高一下·云南曲靖·期末）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1,AB12AB,M为A1C1的中点，则AM

与BC1所成角的余弦值为（）

1065

A．1B．C．D．

4410

3．（24-25高一下·天津和平·期中）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，

则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）

315103

A．B．C．D．

2553

4．（24-25高一下·浙江·期中）在正方体ABCDABCD中，P、M分别是BD、DD的中点，则直线AM

与BP所成角的余弦值为（）

83043023030

A．B．C．D．

15151515

5．（24-25高一下·黑龙江·月考）在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM

所成角的余弦值为（）

5

1326

A．B．C．D．

3333

【考点二：利用中位线平移求线线角】

一、单选题

1．（24-25高一下·河北邢台·期中）在正三棱锥PABC中，AB4，PA6，D是BC的中点，则异面直

线AD与PB所成角的余弦值是（）

3366

A．B．C．D．

9393

2．（24-25高一上·吉林·期末）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AC,A1B的中点，异面直

线MN与DD1所成角为（）

πππ5π

A．B．C．D．

64312

3．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，已知棱长都为4的四棱锥PABCD，底面ABCD是矩形，E为AD

的中点，则异面直线PC与BE所成角的余弦值为（）

3522

A．B．C．D．

41046

4．（23-24高一下·山东德州·月考）已知正四棱锥PABCD的所有棱长均为4,E为棱PA的中点，则异面直

线BE与PC所成角的余弦值为（）

6633

A．B．C．D．

3333

5．（23-24高一下·广西河池·期末）如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，

则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（）

6

3131313313

A．B．C．D．

26132613

6．（2025·新疆喀什·二模）《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷ABCDA1B1C1D1中，

282与

AB2A1B14，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线AA1EF所成角的余弦值为（）

3

1232

A．B．C．D．

2322

【考点三：补形法求线线角】

一、填空题

1．（2024高一·全国·专题练习）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ACBC3，ACB90，

点D是线段AA1上靠近A1的三等分点，则直线C1D与B1C所成角的余弦值为.

2．（23-24高一下·宁夏吴忠·期末）在三棱锥PAOB中，PB2OA4,PA平面AOB,OAOB,POA45，

则AB与PO所成的角的余弦值为．

3．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在三棱锥ABCD中，ABAC1，ABAC，AD2，AD

平面ABC，E为CD的中点，则直线BE与AD所成角的余弦值为.

7

【考点四：求线面角（定义法和等积法）】

一、单选题

1．（24-25高一下·河北邢台·期中）在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD是菱形，ABC60，

2AA13AB，E是棱A1D1的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的余弦值是（）

7313

A．B．C．D．

4422

2．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）三棱锥CPAB中，若PAPB，APCBPC60，PC2,PAPB，

则直线PC与平面PAB所成角的正弦值是（）

1236

A．B．C．D．

2233

3．（23-24高一下·重庆·月考）如图所示，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，

PAAD2AB2，M为PD的中点，则CD与平面ACM所成角的余弦值为（）

3361

A．B．C．D．

2332

二、解答题

4．（24-25高一下·湖南·期中）如图，在四面体ABCD中，BDC90,ABBC2,CD1,AD7，点M

1

为线段AC的中点，且MDAC.

2

8

(1)证明：直线AB平面BCD；

(2)求直线MD与平面ABC所成角的正弦值；

5．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是AB的中点，底面VABC的边长

为2，BB13．

求证：平面；

(1)BC1//CA1D

(2)求三棱锥B1A1DC的体积；

(3)求直线AB与平面A1DC所成角的正弦值．

6．（24-25高一下·江苏镇江·月考）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA

平面ABCD，Q为棱PD的中点.

(1)求证：PB//平面ACQ；

(2)已知：AQPD

①求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值；

②求点P到平面ACQ的距离.

9

【考点五：已知线面角求其他量】

一、单选题

1．（24-25高一上·贵州·月考）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为

30，则四棱锥C1ABCD的体积为（）

8283

A．82B．C．D．83

33

2．（23-24高一下·山东烟台·月考）已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC，直线AC1与平面ABCD所

5

成角的正弦值为,N为线段BC的中点，则直线AB1与直线C1N所成角的余弦值为（）

5

2223

A．B．C．D．

3366

二、解答题

3．（23-24高一下·江西九江·期末）如图，在三棱锥ABCD中，O为BD的中点，OCD是边长为1的等

边三角形，ABCD.

(1)证明：CD平面ABC；

(2)若ABAC,AO与平面BCD所成的角为60o，求三棱锥ABCD的体积.

4．（23-24高一下·辽宁·期末）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，P是线段A1B上的动点.

(1)求证：平面BDD1B1平面A1BC1；

3

(2)PB1与平面A1BC1所成的角的余弦值为，求PB的长．

3

10

5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分别是棱AC,A1C1的中点，F为

线段B1E上的点．

(1)证明：CF//平面A1BD；

15EF

(2)若ABBCCABB12，当DF与平面A1BD所成角的正弦值为时，求的值．

10FB1

【考点六：求二面角】

一、单选题

1．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·月考）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角C1ABD的平面

角等于（）

A．30B．45C．60D．90

2．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·开学考试）在四面体ABCD中，已知△ABD为等边三角形，VABC为

等腰直角三角形，斜边AB4，CD27，则二面角CABD的大小为（）

25

A．B．C．D．

6336

3．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知VABC中，AC1，AB2，BC3，点M为AB中点，连接

CM．将△ACM沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面ACM平面BCM，则二面角ABCM

的余弦值为（）

213132395

A．B．C．D．

1313135

11

二、解答题

4．（23-24高一下·福建福州·月考）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三

角形，AB2，侧面PAD底面ABCD，M是PD的中点.

(1)求证:AM平面PCD；

(2)求C点到平面PAB的距离；

(3)求侧面PBC与底面ABCD所成二面面角的余弦值.

5．（24-25高一下·天津·期中）已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，E、F

分别是AB、PD的中点，且PAAD2,AB4.

(1)求证:AF平面PDC

(2)求点A到平面PED的距离.

(3)求平面PCE与平面PAD所成锐二面角的正弦值.

6．（24-25高一下·吉林松原·期中）如图，三棱锥ABCD中，△ABD是边长为2的等边三角形，CD23，

平面ABD平面BCD，ADCD，P，M分别为AD，CD的中点.

(1)证明：BP平面ACD；

(2)求MP与平面BPC所成角的余弦值；

(3)求二面角PBMD的正弦值.

12

7．（2025·江苏淮安·模拟预测）斜三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长都为2，A1AC60，平面AA1C1C平

面ABC.

(1)若D为CC1中点，E点在线段BC上，且BE2EC，求证：A1B∥平面ADE；

--

(2)求二面角A1ABC的正弦值.

【考点七：已知二面角求其他量】

一、单选题

π

1．（24-25高一上·福建福州·月考）如图，已知二面角l平面角的大小为，其棱l上有A、B两点，

3

AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都与AB垂直.已知AB2，ACBD2，则CD（）

A．4B．8C．22D．6

π

2．（23-24高一下·广东惠州·期末）已知直三棱柱ABCA1B1C1的体积为8，二面角C1ABC的大小为，

4

且ACBC，CC12，则点A1到平面ABC1的距离为（）

222

A．2B．C．D．

234

3．（23-24高一下·江苏无锡·月考）如图，已知正四棱锥PABCD的底面边长2，侧面与底面所成的二面

角的正切值为2，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为（）

13

6312

A．B．C．D．

3332

二、解答题

4．（23-24高一下·浙江温州·期末）如图，VABC绕边BC旋转得到△DBC，其中ACBC2，ACBC,AE

平面ABC，DE∥AC．

(1)证明：BC平面ACD；

(2)若二面角BDEC的平面角为60，求锐二面角DCBA平面角的正弦值．

5．（23-24高一下·贵州黔西·月考）如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起使得点D到点D¢的

位置，连接BD，O为AC的中点.

(1)若平面DAC平面ABC，求BD的长度.

2

(2)不考虑点D¢与点B重合的位置，若二面角ABDC的余弦值为，求BD的长度.

3

6．（23-24高一下·浙江金华·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，ABC120，

AB1，PA5，PDCD，PBBD，点N在棱PC上，平面PBD平面ABCD．

14

(1)证明：ABPB；

(2)若PA//平面BDN，求三棱锥NPAD的体积；

πPN

(3)若二面角NBDC的平面角为，求．

4NC

1

7．（2024高一下·全国·专题练习）在直角梯形ABCD中，DBAD90，ADDCABa（如图

2

所示），将△ADC沿AC折起，将D翻折到D′，记平面ACD为α，平面ABC为β，平面BCD为γ.

(1)若二面角AC为直二面角，求二面角CB的大小；

(2)若二面角AC为60°，求三棱锥DABC的体积．

8．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，

E，F，G分别是AB，PD，PC的中点.

(1)若ADPA，求证：AF平面PDC；

(2)若二面角PECD的正切值为2，且AD2，AB22，求EG与平面PDE所成角的正弦值.

【考点八：线面角、二面角中的探索性问题】

一、解答题

1．（23-24高一上·上海·期末）如图，已知正方形OBDC的边长为1，AO平面OBDC，三角形ABC是等

边三角形．

15

(1)求异面直线AC与BD所成的角的大小；

(2)在线段AC上是否存在一点E，使得ED与平面BCD所成的角大小为30？若存在，求出CE的长度，若

不存在，说明理由.

2．（23-24高一下·广东茂名·月考）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD底面ABCD，底面ABCD是

直角梯形，AB//DC，ADAB，PDPAADAB1，CD2，E是PA的中点.

(1)证明：DE平面PAB；

πDG

(2)底边CD上是否存在异于端点的一点G，使得直线PG与平面PBD所成的角为？若存在，求出的

6DC

值；若不存在，请说明理由.

3．（24-25高一上·北京·期中）已知VABC中，ABBC，BC6，AB3，分别取边AB,AC的点D,E，

△

使得AD2,DE//BC，将VADE沿DE折起到A1DE的位置，设点M为棱A1D的中点，点P为的A1B中点，

棱BC上的点N满足BN2NC.

(1)求证：MN//平面A1EC；

3

(2)试探究在VADE的折起过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥NPCE的体积为，若存在，求出二

6

面角A1DEB的大小，若不存在，请说明理由.

16

4．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，已知三棱台ABCA1B1C1中，平面ABB1A1平面BCC1B1，VABC

是以B为直角顶点的等腰直角三角形，且AB2AA12A1B12BB12.

(1)证明：AB1平面BB1C1C；

(2)求直线AB1与平面ABC所成角的大小；

π

(3)在线段CC上是否存在点F，使得二面角FABC的大小为，若存在，求出线段CF的长，若不存在，

16

请说明理由.

uuuruuur

5．（23-24高一下·重庆·期末）正方形ABCD中，AB2，M为CD的中点，BNBC，(0,1)．将ADM

沿AM翻折到PAM，CMN沿MN翻折到PMN，连接AN．

(1)求证：PMAN：

1

(2)当时，求二面角PANM的正弦值；

2

3

(3)设直线PM与平面AMN所成角为，问是否存在0,，使得sin能取得最大值，若存在，求出最

4

大值，若不存在，请说明理由．

6．（23-24高一下·广东佛山·期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC,ABAA13,BC1,P是

BC1上一动点，BPBC101,M是CC1的中点，Q是AM的中点.

17

1

(1)当时，证明:PQ//平面ABC;

4

(2)在答题卡的题(2)图中作出平面AB1P与平面ACC1A1的交线(保留作图痕迹,无需证明);

14

(3)是否存在，使得平面AB1P与平面ACC1A1所成二面角的余弦值为?若存在求满足条件的值，若

4

不存在，则说明理由.

一、单选题

1．（2025高一·全国·专题练习）在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1D和CD1与底面所成的角分别为45和30，

则异面直线A1D与B1D1所成角的余弦值为（）

3235

A．B．C．D．

4444

2．（23-24高一下·广东潮州·期末）已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若AB23，

CD4，EFAB，则EF与CD所成的角为（）

A．30B．45C．60D．90

3．（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AB1与平面ACC1A1所成的角为（）

A．30oB．45C．60oD．90

4．（23-24高一下·天津滨海新·期中）在四面体ABCD中，已知△ABD为等边三角形，VABC为等腰直角

三角形，斜边AB4，CD2，则二面角CABD的大小为（）

πππ2π

A．B．C．D．

6433

二、填空题

5．（24-25高一下·江苏常州·期中）在矩形ABCD中，AB3,AD4,PA平面ABCD,PA3，则平面PBD

与平面ABCD的夹角的正切值为.

6．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，A1C与平面B1BCC1所成的角

为45，则该正三棱柱的体积为．

7．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知某圆台轴截面的周长为624，母线与底面成45角，圆台的高为

2，该圆台的体积为．

8．（24-25高一下·重庆荣昌·月考）已知三棱锥PABC满足PAAB,BCPC,ABBC，且

AB1,BC2,PA5，则该三棱锥外接球的表面积为，异面直线AC与PB所成夹角的余弦值

为．

9．（24-25高一下·上海·月考）如图，在45的二面角l的棱l上有A,B两点，点C,D分别在、内，

18

且ACAB,ABD45，ACABBD1，则CD的长度为．

三、解答题

10．（24-25高一下·湖南·期中）如图1，已知在VABC中，AC3，BC4，ACBC，E，F分别是AB，

1

AC上的点，EFBC，将△AEF沿EF翻折至PEF，连接PB，PC，得到如图2所示的四棱锥PEFCB，

3

若平面PEF与平面PBC相交于直线m．

(1)求证：m//BC；

(2)当PFPC时，求直线PE与平面BCFE所成角的正弦值．

π

11．（24-25高一下·安徽芜湖·月考）如图，直三棱柱ABCABC中，ACB，E、F分别为AB、B1C1

1112

的中点．

(1)求证：EFBC；